Patrones y regularidades. Sucesiones

Observa las siguientes secuencias numéricas y escribe los dos términos siguientes de cada una, explicando la regla que siguen:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

La sucesión de Fibonacci empieza así: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Escribe los cuatro términos siguientes.

Observa la secuencia $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escribe los tres términos siguientes.

• ¿Cuál es el término que ocupa el lugar $25$? ¿Es positivo o negativo?

Una manualidad consiste en construir triángulos en cadena con palillos, como se muestra en la figura.

• ¿Cuántos palillos se necesitan para construir la figura 4?

• ¿Y para la figura 5?

Observa la secuencia de figuras formadas por puntos de la imagen.

• ¿Cuántos puntos tendrá la figura 4? ¿Y la figura 5?

• ¿Qué relación hay entre el número de la figura y la cantidad de puntos?

Una empresa de construcción apila bloques formando escaleras, como se muestra en la figura.

• Cuenta los bloques de las figuras 1, 2 y 3 y calcula cuántos bloques tendrá la figura 4.

• ¿Cuántos bloques tendrá la figura 10?

• Escribe una expresión general para el número de bloques de la figura $n$. (Pista: une cada escalera con su simétrica para formar un rectángulo.)

La sucesión $a_n$ tiene por término general $a_n = 4n - 1$. Calcula los términos $a_1$, $a_5$ y $a_{20}$.

Una sucesión empieza en $7$ y cada término se obtiene sumando $6$ al anterior. Escribe sus cinco primeros términos y calcula el término que ocupa el lugar $10$.

Martina empieza las clases con $\$10\,000$ en su alcancía y, a partir de entonces, guarda $\$3\,000$ cada semana.

• Escribí la secuencia del dinero acumulado al final de cada una de las cinco primeras semanas.

• ¿Cuánto dinero tendrá al final de la semana $12$?

Considera la sucesión $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Halla su término general $a_n$.

• Comprueba si $157$ es un término de la sucesión y, en caso afirmativo, indica qué lugar ocupa.

• ¿Pertenece $200$ a la sucesión? Razona la respuesta.

El anfiteatro de un colegio tiene $12$ asientos en la primera fila, y cada fila posterior tiene $3$ asientos más que la anterior.

• Escribí el número de asientos de las primeras cuatro filas.

• Hallá el término general $a_n$ que da los asientos de la fila $n$.

• Si el anfiteatro tiene $15$ filas, ¿cuántos asientos tiene la última fila?

Un alumno afirma que el término general de la sucesión $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ es $a_n = 2n$. Indica si la afirmación es verdadera o falsa, razona tu respuesta y escribe el término general correcto.

Observa la sucesión $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Calcula las diferencias entre términos consecutivos. ¿Qué patrón siguen esas diferencias?

• Compara los términos con los cuadrados perfectos y halla el término general $a_n$.

• Calcula $a_{15}$.

En un torneo de pádel del barrio, cada pareja juega una vez contra cada una de las demás.

• Completá una tabla con el número de partidos del torneo si participan $2,\ 3,\ 4$ y $5$ parejas.

• Hallá una expresión general para el número de partidos con $n$ parejas. (Pista: cada pareja juega contra $n - 1$ rivales, pero así cada partido se cuenta dos veces.)

• ¿Cuántos partidos se juegan si participan $12$ parejas?

Una sucesión se define por recurrencia así: $a_1 = 2$ y $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcula los cinco primeros términos.

• Compara cada término con las potencias de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) y describe el patrón que observas.

• A la vista del patrón, ¿cuál será el valor de $a_{10}$?

En su libro Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, planteó este problema: una pareja de conejos recién nacida tarda un mes en hacerse adulta; a partir de entonces, cada mes tiene una nueva pareja de crías, que a su vez siguen la misma regla. Ningún conejo muere.

• Partiendo de una única pareja recién nacida, completa una tabla con el número de parejas al final de cada uno de los seis primeros meses.

• Escribe la ley de recurrencia que sigue la sucesión.

• ¿Cuántas parejas habrá al cabo de $10$ meses?

El comedor de un campamento une mesas cuadradas en fila para sentar a los participantes, como se muestra en la figura.

• ¿Cuántas personas pueden sentarse si se unen $4$ mesas?

• Halla el término general que da el número de comensales con $n$ mesas.

• Para la cena de clausura asisten $42$ personas. ¿Cuántas mesas hay que unir, como mínimo, para que quepan todos?

Observa la sucesión de fracciones $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Halla su término general $a_n$.

• Calcula $a_{10}$ y $a_{100}$ con tres cifras decimales.

• Los términos crecen cada vez más, pero ¿puede algún término llegar a ser mayor que $1$? Razona la respuesta observando la expresión del término general.

Zenón de Elea (siglo V a. C.) se preguntaba por las sumas infinitas. Imagina un cuadrado de lado $1$ del que se sombrea la mitad; después, la mitad de la parte que queda; después, la mitad de lo que queda, y así sucesivamente.

• Escribe la fracción del cuadrado que se ha sombreado tras cada uno de los cuatro primeros pasos.

• Halla el término general $s_n$ de la fracción sombreada tras $n$ pasos. (Pista: observa que en cada paso falta por sombrear $\frac{1}{2^n}$ del cuadrado.)

• Si el proceso continuara indefinidamente, ¿a qué valor se acercaría la superficie sombreada?

La figura muestra cómo un cuadrado de $4 \times 4$ puntos puede construirse añadiendo capas en forma de «L».

1. a) Escribe la suma que representa la figura a partir del número de puntos de cada capa y comprueba el resultado.
2. b) Formula una conjetura: ¿a cuánto suman los $n$ primeros números impares?
3. c) Comprueba tu conjetura para $n = 6$.

Dos compañeros discuten sobre el término general de la sucesión que empieza $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana dice que es $a_n = 2^n$.

• Bruno dice que puede ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Comprueba que ambas expresiones generan los tres primeros términos.

• Calcula el cuarto término según cada una de las dos expresiones. ¿Coinciden?

• Saca conclusiones: ¿los tres primeros términos de una sucesión determinan su término general de forma única?

El triángulo de Tartaglia (o de Pascal) se construye colocando unos en los bordes y rellenando cada casilla interior con la suma de las dos que tiene encima:

• Suma los números de cada una de las cinco filas y escribe la secuencia de esas sumas.

• Halla el término general de esa secuencia.

• ¿Cuánto suman los números de la fila $12$?

Los números triangulares son $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (puntos que forman un triángulo) y los cuadrados son $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Comprueba con los cuatro primeros casos que cada número cuadrado (a partir del $4$) es la suma de dos números triangulares consecutivos.

• Escribe esa propiedad con una igualdad algebraica usando los términos generales $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ y $C_n = n^2$, y demuéstrala.

• Ilustra con un dibujo de puntos por qué es cierta la propiedad para $C_4 = 16$.

La conjetura de Collatz, propuesta en 1937 y aún sin demostrar, parte de cualquier número natural y aplica esta regla: si el número es par, se divide entre $2$; si es impar, se multiplica por $3$ y se suma $1$. La conjetura afirma que siempre se acaba llegando a $1$.

• Aplica la regla partiendo de $7$ y escribe la secuencia completa hasta llegar a $1$.

• Haz lo mismo partiendo de $11$.

• Comprueba la conjetura para tres números elegidos por ti, uno de ellos mayor que $50$. ¿Crees que comprobar muchos casos demuestra que la conjetura es cierta? Comenta tu respuesta.