Propiedades de los radicales y racionalización
Valentina resolvió un problema y le quedó $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$. Su compañero Thiago, en otro cálculo, llegó a $5\sqrt3-2\sqrt3$. ¿Se puede dejar así? ¿Hay una forma más cómoda de escribir cada uno? En esta página vas a ver cómo llevar expresiones con radicales a una forma más simple, y por qué cada paso es válido: todo sale de las definiciones y de las propiedades de las potencias, no de recetas para memorizar.
Simplificar: la raíz de un producto
Un radical es una potencia de exponente fraccionario: $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$. Con esa definición y las propiedades de las potencias que ya conocés se justifica todo lo que sigue.
Con esto se pueden escribir los radicales de otra manera, sin cambiar su valor. Mirá cómo se lee $\sqrt{72}$:
La misma idea funciona al revés: un número que está afuera puede entrar al radical si lo escribimos como una raíz del mismo índice, $a=\sqrt[n]{a^n}$. Así, $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b}$.
Reducir el índice
Si el exponente del radicando y el índice tienen un divisor común, se simplifica como una fracción: $\sqrt[6]{27}=27^{1/6}=(3^3)^{1/6}=3^{3/6}=3^{1/2}=\sqrt3$. El índice bajó de $6$ a $2$ al dividir por el máximo común divisor, $3$.
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) $\sqrt{72}$ b) $\sqrt[3]{250}$
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
- a) $\sqrt{72}$
- b) $\sqrt[3]{250}$
Introduce los factores enteros dentro del radical y simplifica si es posible: a) $3 \sqrt{5}$ b) $2 \sqrt[4]{3}$
Introduce los factores enteros dentro del radical y simplifica si es posible:
- a) $3 \sqrt{5}$
- b) $2 \sqrt[4]{3}$
Simplifica los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente por su máximo común divisor: a) $\sqrt[6]{27}$ b) $\sqrt[8]{16}$
Simplifica los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente por su máximo común divisor:
- a) $\sqrt[6]{27}$
- b) $\sqrt[8]{16}$
Sumar y restar radicales semejantes
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Se suman como los términos con la misma parte literal: $5\sqrt3-2\sqrt3+4\sqrt3=(5-2+4)\sqrt3=7\sqrt3$. Es sacar $\sqrt3$ como factor común.
Realiza las siguientes sumas y restas de radicales semejantes: a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$
Realiza las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:
- a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
- b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$
Realiza la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes: $3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$
Realiza la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes:
$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$
Multiplicar y dividir radicales del mismo índice
Con el mismo índice, la propiedad de la raíz de un producto, leída de derecha a izquierda, dice $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$. Lo mismo vale para el cociente. Después se puede reescribir el resultado como en la sección anterior.
Realiza las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extrae factores si es posible: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$
Realiza las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extrae factores si es posible:
- a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
- b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$
Racionalizar denominadores
Racionalizar es escribir una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador. No cambia el valor: se multiplica numerador y denominador por un mismo número, o sea, la fracción por $1$. Lo que hay que decidir es por qué número conviene multiplicar.
Denominador monomio
Pensalo con exponentes. En $\dfrac{6}{\sqrt3}$ el denominador es $3^{1/2}$. Si lo multiplicamos por $3^{1/2}$, el exponente pasa a $1$ y la raíz desaparece: $\dfrac{6}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$.
Denominador binomio: el conjugado
Si el denominador es $\sqrt a+\sqrt b$ (o $\sqrt a-\sqrt b$), se multiplica por su conjugado, que cambia el signo del medio. Funciona por el producto notable suma por diferencia: $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$, que eleva cada raíz al cuadrado y elimina los dobles productos.
Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado:
- a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
- b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
Racionaliza las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador: a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
Racionaliza las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador:
- a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
- b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
Racionaliza las siguientes fracciones con raíces de índice mayor que 2: a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$ b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$
Racionaliza las siguientes fracciones con raíces de índice mayor que 2:
- a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
- b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$
Racionaliza el denominador y simplifica al máximo la siguiente expresión: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
Racionaliza el denominador y simplifica al máximo la siguiente expresión:
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica al máximo operando el numerador: $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica al máximo operando el numerador:
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones irracionales. Para ello, racionaliza primero cada fracción por separado y luego efectúa la resta:…
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones irracionales. Para ello, racionaliza primero cada fracción por separado y luego efectúa la resta:
$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
Radicales con letras y productos notables
Cuando el radicando tiene letras (que suponemos positivas), se razona igual: cada potencia que es múltiplo del índice sale de la raíz.
Los productos notables también valen con radicales, porque $(\sqrt a)^2=a$.
Demuestra, desarrollando los productos notables y simplificando, que el resultado de la siguiente expresión es un número entero:…
Demuestra, desarrollando los productos notables y simplificando, que el resultado de la siguiente expresión es un número entero:
$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$
Extrae todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifica la expresión resultante: $\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$
Extrae todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifica la expresión resultante:
$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$
Aplicaciones en geometría y física
Los radicales aparecen cuando usás el teorema de Pitágoras o fórmulas con raíces. Conviene dejar el resultado exacto, simplificado y racionalizado, y usar la calculadora solo para aproximar al final.
En un taller de carpintería, se va a cortar un tablero rectangular cuyas dimensiones exactas son $\sqrt{12}$ dm de ancho y $\sqrt{27}$ dm de largo. Calcula el área y el…
En un taller de carpintería, se va a cortar un tablero rectangular cuyas dimensiones exactas son $\sqrt{12}$ dm de ancho y $\sqrt{27}$ dm de largo. Calcula el área y el perímetro del tablero, expresando los resultados de forma exacta mediante radicales simplificados.
La velocidad $v$ (en m/s) de una onda que viaja por una cuerda tensa se calcula con la fórmula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, donde $F$ es la tensión en newtons y $\mu$ la…
La velocidad $v$ (en m/s) de una onda que viaja por una cuerda tensa se calcula con la fórmula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, donde $F$ es la tensión en newtons y $\mu$ la densidad lineal en kg/m. Si una cuerda de guitarra está sometida a una tensión $F = 12$ N y tiene una densidad $\mu = 5$ kg/m, halla el valor exacto de $v$. Racionaliza el denominador y extrae los factores posibles.
Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ cm. Recuerda que la diagonal de un cubo se calcula como…
Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ cm. Recuerda que la diagonal de un cubo se calcula como $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Expresa el resultado de la forma más simplificada posible.
En diseño gráfico, las proporciones basadas en el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se consideran estéticamente perfectas. Un lienzo tiene forma de rectángulo…
En diseño gráfico, las proporciones basadas en el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se consideran estéticamente perfectas. Un lienzo tiene forma de rectángulo áureo (el cociente entre su lado mayor y su lado menor es $\phi$). Si el lado menor del lienzo mide exactamente $\sqrt{5}-1$ metros, calcula la longitud exacta del lado mayor. Simplifica el resultado al máximo.
La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ metros y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ metros cada uno.…
La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ metros y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ metros cada uno. Calcula el valor exacto de la altura $h$ sobre la base y el área total de la fachada. Racionaliza los resultados si aparecen raíces en el denominador.
En física, la velocidad $v$ de un objeto se puede despejar a partir de su energía cinética $E_c$ y su masa $m$ mediante la fórmula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Si un…
En física, la velocidad $v$ de un objeto se puede despejar a partir de su energía cinética $E_c$ y su masa $m$ mediante la fórmula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Si un prototipo de vehículo tiene una masa de $m = \sqrt{3}$ kg y su energía cinética es $E_c = 45$ J, calcula el valor exacto de su velocidad. Racionaliza y extrae los factores posibles de la raíz resultante.
Ampliación: raíz de raíz e índices distintos
Todo se resuelve pasando a potencias y operando los exponentes.
Raíz de raíz. Un exponente se multiplica por otro: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\left(a^{1/n}\right)^{1/m}=a^{1/(m\cdot n)}=\sqrt[m\cdot n]{a}$.
Índices distintos. Para unir radicales en uno solo, buscamos un denominador común en los exponentes.
Expresa como un único radical y simplifica el resultado: a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$ b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$
Expresa como un único radical y simplifica el resultado:
- a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
- b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$
Reduce a índice común y realiza la siguiente multiplicación y división de radicales: $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$
Reduce a índice común y realiza la siguiente multiplicación y división de radicales:
$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$
Simplifica la siguiente expresión introduciendo los factores en el radical más interior y expresándolo como una única raíz: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$
Simplifica la siguiente expresión introduciendo los factores en el radical más interior y expresándolo como una única raíz:
$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$
Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados, expresando el resultado como una única raíz: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$
Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados, expresando el resultado como una única raíz:
$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$
Volvé al principio: con el conjugado, $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}=\sqrt6-2$, y la resta de semejantes da $5\sqrt3-2\sqrt3=3\sqrt3$.