Múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad

Marta quiere repartir $28$ pegatinas entre sus $4$ amigos a partes iguales.

1. a) ¿Cuántas pegatinas recibirá cada uno? ¿Sobra alguna?
2. b) ¿Es $28$ divisible entre $4$?
3. c) ¿Es $4$ un divisor de $28$?

Un saltamontes está entrenando para una competición. En cada salto avanza exactamente $6$ decímetros.

Escribe la distancia total que ha recorrido tras dar $1, 2, 3, 4, 5$ y $10$ saltos. ¿Cómo se llaman estos números respecto al $6$?

Sabiendo que la igualdad $15 \cdot 4 = 60$ es cierta, completa las siguientes frases usando correctamente las palabras múltiplo o divisor:

1. a) El número $60$ es ____ de $15$.
2. b) El número $4$ es ____ de $60$.
3. c) El número $60$ es ____ de $4$.
4. d) El número $15$ es ____ de $60$.

Observa el siguiente esquema de "salto de números" y completa las frases utilizando las palabras múltiplo, divisor o divisible:

1. a) $60$ es .................... de $12$.
2. b) $12$ es .................... de $180$.
3. c) $180$ es .................... por $60$.
4. d) Si añadimos el número $5$ al esquema, ¿qué relación tendría con el $60$?

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, poniendo un ejemplo o un contraejemplo en cada caso:

1. a) Si un número es divisor de $10$, también es divisor de todos los múltiplos de $10$ (como $20, 30, 40...$).
2. b) El conjunto de los divisores de un número es infinito.
3. c) Si un número $a$ es múltiplo de $b$, entonces $b$ es divisor de $a$.
4. d) Cualquier número natural es, al menos, divisible por sí mismo y por la unidad.

Identifica cuáles de los siguientes números son divisores de $24$ realizando las divisiones necesarias:

Recuerda: Un número es divisor de otro si al dividirlos el resto es igual a $0$.

Un diseñador gráfico está organizando una galería de $30$ iconos cuadrados idénticos para una página web. Quiere disponerlos formando un rectángulo completo (sin que sobren iconos).

1. a) Encuentra todas las formas posibles de organizar los iconos (por ejemplo: $1$ fila de $30$).
2. b) ¿Qué relación matemática tienen las dimensiones de esos rectángulos con el número $30$?
3. c) Si el diseño solo permite que el lado más corto del rectángulo tenga al menos $3$ iconos, ¿cuántas opciones tiene ahora?

En un refugio de animales han recibido una donación de $48$ latas de comida para gatos. Quieren almacenarlas en cajas pequeñas, de forma que todas las cajas tengan el mismo número de latas y no sobre ninguna.

1. a) Escribe todos los divisores de $48$.
2. b) Si el encargado quiere que en cada caja haya más de $5$ latas pero menos de $15$, ¿qué opciones de empaquetado tiene? Indica el número de latas por caja y cuántas cajas necesitaría en cada caso.

Un bibliotecario tiene que colocar libros en estantes donde caben exactamente $3$ libros en cada hueco. Para saber rápidamente si puede completar los estantes sin que sobren libros, utiliza el criterio de divisibilidad del $3$.

Calcula la suma de las cifras de los siguientes números y di cuáles son divisibles por $3$:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Completa en tu cuaderno la siguiente tabla escribiendo SÍ o NO en cada casilla, aplicando los criterios de divisibilidad que has aprendido:

Un número es divisible por $4$ si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de $4$.

Observa los siguientes años y di cuáles serían "años especiales" por ser divisibles entre $4$:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Sustituye la letra $A$ por una cifra para que el número resultante sea múltiplo de $9$. Recuerda que la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

En clase de Plástica estamos creando patrones con teselas cuadradas. Para hacer un "supercuadrado", necesitamos que el número total de teselas sea un cuadrado perfecto.

1. a) Si tenemos un bote con $80$ teselas, ¿cuántas teselas sobran si queremos formar el cuadrado más grande posible?

1. b) ¿Cuántas teselas nos faltarían, como mínimo, para poder formar el siguiente cuadrado de tamaño superior?

Encuentra el valor de la cifra desaparecida, representada por la letra $A$, en cada uno de estos números para que se cumpla la condición indicada:

1. a) $24A$ es divisible por $4$ y por $3$ a la vez.
2. b) $51A$ es divisible por $11$.
3. c) $A72$ es divisible por $9$ pero no por $10$.

Un repostero ha horneado una bandeja de galletas. Sabe que tiene más de $70$ galletas pero menos de $85$. Si las reparte en cajas de $6$ unidades, no le sobra ninguna. Si las reparte en cajas de $9$, tampoco le sobra ninguna.

1. a) ¿Cuántas galletas ha horneado exactamente?
2. b) Justifica tu respuesta utilizando los criterios de divisibilidad del $2$ y del $3$ para explicar por qué el número es divisible por $6$.

Aplica el criterio de divisibilidad del $11$ para determinar cuáles de los siguientes números son múltiplos de $11$. Para aquellos que no lo sean, indica cuánto deberías sumarles para que sí lo fueran:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

Considera un número natural $n$ que cumple las siguientes dos propiedades:

1. $n$ es un múltiplo común de $12$ y $15$.

2. $n$ es un divisor de $360$.

Escribe todos los valores posibles de $n$. Para cada valor hallado, indica cuál es el divisor más pequeño (distinto de $1$) y el múltiplo de $n$ más pequeño que sea mayor que $1\,000$.

En una convención de videojuegos, el número de asistentes es un valor comprendido entre $700$ y $750$. Si sabemos que este número es divisible por $3$, por $11$ y por $2$ a la vez, ¿cuántas personas asistieron exactamente a la convención? Explica cómo has descartado las otras posibilidades.

Una empresa de eventos quiere organizar un concierto en una sala rectangular. Han comprado un total de $150$ sillas. El organizador quiere disponerlas de forma que todas las filas tengan el mismo número de sillas, pero con las siguientes restricciones:

• Debe haber más de $5$ filas.

• En cada fila debe haber más de $10$ sillas.

• El número de sillas por fila debe ser un divisor de $450$ pero no puede ser múltiplo de $4$.

Halla todas las formas posibles de organizar las sillas (filas y sillas por fila) que cumplan estas condiciones.

Averigua el valor de las cifras desconocidas $A$ y $B$ en el número $5A1B$ sabiendo que:

• El número es divisible por $2$ y por $3$ simultáneamente.

• El número es un múltiplo de $11$.

• La cifra $A$ es un divisor de $16$ y la cifra $B$ es un múltiplo de $4$ (distinto de cero).

Razona paso a paso cómo descartas las opciones hasta encontrar el número correcto.

Un hacker ha dejado una pista para descifrar la contraseña de un servidor. La contraseña es el número más pequeño de cuatro cifras, $2A3B$, que cumple simultáneamente estas tres condiciones:

• Es divisible por $2$ pero no por $4$.

• Es divisible por $9$.

• Es divisible por $5$.

¿Cuál es la contraseña del servidor? Razona tu respuesta aplicando los criterios paso a paso.

Busca todos los valores posibles para las cifras $X$ e $Y$ de manera que el número de cinco cifras $4X12Y$ sea divisible por $4$ y por $9$ al mismo tiempo. Ten en cuenta que puede haber más de una combinación ganadora.

Un número capicúa de tres cifras es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $525$). Halla un número capicúa de tres cifras que sea divisible por $11$ y que, al sumar sus cifras, el resultado sea un múltiplo de $3$. ¿Es la única solución posible?

Determina, sin realizar la división larga, si el número $N = 10^5 + 8$ es divisible por $2, 3, 4, 9$ y $11$. Justifica cada respuesta enunciando la propiedad o el criterio de divisibilidad correspondiente. (Pista: escribe primero el número con todas sus cifras).