Modelo mecano-cuántico
El modelo de Bohr predecía bien el espectro del hidrógeno, pero trataba al electrón como una bolita girando en una órbita perfectamente definida, igual que un planeta alrededor del Sol. Dos ideas del siglo XX obligaron a abandonar esa imagen: que la materia también se comporta como onda, y que hay un límite fundamental a la precisión con la que se puede conocer el movimiento de una partícula. ¿Dónde está entonces el electrón en el átomo? Lo vas a responder al final de la página.
Dualidad onda-partícula: la hipótesis de de Broglie
En 1927, Davisson y Germer dispararon electrones contra un cristal de níquel y observaron figuras de difracción idénticas a las que produce la luz. ¿Cómo puede una partícula con masa y carga comportarse como una onda?
La relación se escribe así:
$$\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$$donde $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ es la constante de Planck, $m$ la masa en kg y $v$ la velocidad en m/s. En este curso solo la enunciamos y la usamos: no hace falta deducirla.
Un electrón rápido tiene una longitud de onda del orden de las distancias entre átomos de un sólido ($\sim 10^{-10}\ \text{m}$). Por eso los electrones difractan al atravesar un cristal, igual que la luz atraviesa una rejilla. En cambio, una mota de polvo tiene una longitud de onda tan pequeña que ningún instrumento puede detectarla.
Un haz de electrones viaja a una velocidad constante de $2{,}20 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Datos: masa del electrón…
Un haz de electrones viaja a una velocidad constante de $2{,}20 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Datos: masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.
- a) Calculá la longitud de onda de de Broglie asociada a cada electrón del haz.
- b) Justificá si dicha longitud de onda es comparable con las distancias interatómicas típicas en un sólido (del orden de $10^{-10}\,\mathrm{m}$) y qué consecuencia física tiene este hecho para la difracción de partículas.
Considerá dos partículas con la misma velocidad de $15{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$: un neutrón libre muy lento y una mota de polvo microscópica cuya masa es de…
Considerá dos partículas con la misma velocidad de $15{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$: un neutrón libre muy lento y una mota de polvo microscópica cuya masa es de $2{,}00 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{g}$. Datos: masa del neutrón $m_{\mathrm{n}} = 1{,}675 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.
- a) Calculá la longitud de onda de de Broglie asociada a cada una de las dos partículas.
- b) Compará los valores obtenidos con dimensiones observables (como la luz visible o el espaciado atómico) y razoná por qué el comportamiento ondulatorio es relevante para el neutrón pero totalmente inapreciable para la mota de polvo.
El principio de incertidumbre de Heisenberg
¿Por qué ocurre? Para «ver» un electrón hay que iluminarlo, y un fotón lo bastante energético para fijar bien su posición le transfiere tanto impulso que cambia su velocidad. No es un defecto del instrumento: es una propiedad de la naturaleza.
Para un electrón dentro de un átomo, la incertidumbre en la posición resulta enorme frente al tamaño del átomo: no tiene sentido hablar de una trayectoria precisa.
La velocidad de un electrón se determina experimentalmente como $v = 4{,}50 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ con una incertidumbre del $0{,}10\,\%$. Datos:…
La velocidad de un electrón se determina experimentalmente como $v = 4{,}50 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ con una incertidumbre del $0{,}10\,\%$. Datos: $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $\pi = 3{,}1416$.
- a) Determiná la incertidumbre mínima en la medida de su posición ($\Delta x$).
- b) A partir del resultado, explicá por qué el concepto clásico de trayectoria definida no es aplicable a un electrón dentro del átomo.
Orbitales atómicos: la función de onda y la probabilidad
Si es imposible medir una trayectoria, ¿cómo describimos dónde está el electrón? La mecánica cuántica cambia la pregunta: en lugar de «¿dónde está?», pregunta «¿con qué probabilidad lo encontraremos en cada región?».
No necesitás resolver la ecuación de Schrödinger: alcanza con interpretar sus resultados. Conocer el orbital no permite predecir con certeza dónde estará el electrón en una medida concreta, solo la probabilidad de cada posición (consecuencia del principio de Heisenberg).
Cada punto del dibujo no es una posición del electrón en un instante: la densidad de puntos indica dónde es más probable encontrarlo. La línea de contorno encierra la región con el 90 % de probabilidad.
Orbitales $p$ y el signo de $\psi$
Un orbital $2p$ tiene dos lóbulos a ambos lados del núcleo, y entre ellos hay un plano nodal. Para $2p_z$ ese plano es el $xy$ (el que contiene al núcleo y es perpendicular al eje $z$), y allí la probabilidad de encontrar al electrón es cero.
Los signos $+$ y $-$ de los lóbulos son el signo de la función de onda $\psi$ en cada región. Son como la fase de una onda (cresta o valle), no una carga eléctrica: la densidad de probabilidad $|\psi|^2$ es positiva en ambos lóbulos. Importan en el enlace: si dos orbitales se solapan con el mismo signo (en fase) se refuerzan y favorecen el enlace; con signos opuestos se anulan parcialmente.
En el marco de la mecánica cuántica se sustituye el concepto de órbita del modelo de Bohr por el de orbital atómico. a) Definí con precisión el término «orbital atómico»…
En el marco de la mecánica cuántica se sustituye el concepto de órbita del modelo de Bohr por el de orbital atómico.
- a) Definí con precisión el término «orbital atómico» indicando qué magnitud física representa el cuadrado de la función de onda ($|\psi|^2$).
- b) Indicá si conocer el orbital permite predecir con certeza la posición de un electrón antes de medirla y justificá tu respuesta citando el principio físico correspondiente.
La siguiente ilustración esquematiza una sección bidimensional de la densidad de puntos correspondiente a un orbital atómico tipo $s$, donde se destacan una región…
La siguiente ilustración esquematiza una sección bidimensional de la densidad de puntos correspondiente a un orbital atómico tipo $s$, donde se destacan una región interior de alta densidad relativa (A) y una zona periférica de menor densidad (B), delimitadas por una superficie de contorno. Observá el diagrama
y respondé las siguientes cuestiones:
- a) Explicá el significado físico de la densidad de puntos en este diagrama y justificá por qué en el modelo cuántico no se dibuja una órbita circular o elíptica precisa.
- b) Describí qué representa la línea de contorno exterior indicada habitualmente en los manuales para este tipo de orbital y razoná si los signos algebraicos ($+$ o $-$) que a veces se asignan a las funciones de onda representan carga eléctrica positiva o negativa.
Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considerá la representación espacial y las propiedades mecano-cuánticas de los orbitales atómicos $2p$. a) Describí la geometría tridimensional de un orbital $2p_z$,…
Considerá la representación espacial y las propiedades mecano-cuánticas de los orbitales atómicos $2p$.
- a) Describí la geometría tridimensional de un orbital $2p_z$, indicando el número de lóbulos, la posición de su plano nodal y el valor de la probabilidad de encontrar al electrón en dicho plano.
- b) En las representaciones gráficas de los orbitales $2p$ suele colorearse un lóbulo con signo positivo ($+$) y el otro con signo negativo ($-$). Explicá detalladamente el significado físico de estos signos, diferenciándolo de la carga eléctrica, y analizá cómo influye esta propiedad en la formación de enlaces por solapamiento en fase o en oposición de fase.
Volvé al principio: ¿dónde está el electrón en el átomo? No hay una posición ni una órbita definidas; hay un orbital que nos dice con qué probabilidad lo encontraríamos en cada región.