Ejercicios: Modelo mecano-cuántico

Un haz de electrones viaja a una velocidad constante de $2{,}20 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Datos: masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

1. a) Calculá la longitud de onda de de Broglie asociada a cada electrón del haz.
2. b) Justificá si dicha longitud de onda es comparable con las distancias interatómicas típicas en un sólido (del orden de $10^{-10}\,\mathrm{m}$) y qué consecuencia física tiene este hecho para la difracción de partículas.

La velocidad de un electrón se determina experimentalmente como $v = 4{,}50 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ con una incertidumbre del $0{,}10\,\%$. Datos: $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $\pi = 3{,}1416$.

1. a) Determiná la incertidumbre mínima en la medida de su posición ($\Delta x$).
2. b) A partir del resultado, explicá por qué el concepto clásico de trayectoria definida no es aplicable a un electrón dentro del átomo.

En el marco de la mecánica cuántica se sustituye el concepto de órbita del modelo de Bohr por el de orbital atómico.

1. a) Definí con precisión el término «orbital atómico» indicando qué magnitud física representa el cuadrado de la función de onda ($|\psi|^2$).
2. b) Indicá si conocer el orbital permite predecir con certeza la posición de un electrón antes de medirla y justificá tu respuesta citando el principio físico correspondiente.

La siguiente ilustración esquematiza una sección bidimensional de la densidad de puntos correspondiente a un orbital atómico tipo $s$, donde se destacan una región interior de alta densidad relativa (A) y una zona periférica de menor densidad (B), delimitadas por una superficie de contorno. Observá el diagrama

y respondé las siguientes cuestiones:

1. a) Explicá el significado físico de la densidad de puntos en este diagrama y justificá por qué en el modelo cuántico no se dibuja una órbita circular o elíptica precisa.
2. b) Describí qué representa la línea de contorno exterior indicada habitualmente en los manuales para este tipo de orbital y razoná si los signos algebraicos ($+$ o $-$) que a veces se asignan a las funciones de onda representan carga eléctrica positiva o negativa.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considerá dos partículas con la misma velocidad de $15{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$: un neutrón libre muy lento y una mota de polvo microscópica cuya masa es de $2{,}00 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{g}$. Datos: masa del neutrón $m_{\mathrm{n}} = 1{,}675 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

1. a) Calculá la longitud de onda de de Broglie asociada a cada una de las dos partículas.
2. b) Compará los valores obtenidos con dimensiones observables (como la luz visible o el espaciado atómico) y razoná por qué el comportamiento ondulatorio es relevante para el neutrón pero totalmente inapreciable para la mota de polvo.

Considerá la representación espacial y las propiedades mecano-cuánticas de los orbitales atómicos $2p$.

1. a) Describí la geometría tridimensional de un orbital $2p_z$, indicando el número de lóbulos, la posición de su plano nodal y el valor de la probabilidad de encontrar al electrón en dicho plano.
2. b) En las representaciones gráficas de los orbitales $2p$ suele colorearse un lóbulo con signo positivo ($+$) y el otro con signo negativo ($-$). Explicá detalladamente el significado físico de estos signos, diferenciándolo de la carga eléctrica, y analizá cómo influye esta propiedad en la formación de enlaces por solapamiento en fase o en oposición de fase.