Conservación de la cantidad de movimiento en sistemas aislados
Dos amigos están parados sobre patines en una pista lisa, quietos. Se empujan y cada uno sale para su lado. ¿Por qué salen en sentidos opuestos? ¿Y por qué el más liviano sale más rápido? Con una sola idea, la conservación de la cantidad de movimiento, vas a poder responder esto y también explicar cómo acelera un cohete en el vacío.
La cantidad de movimiento
Pensá en dos cuerpos que se mueven a la misma velocidad: una bicicleta y un ómnibus. Frenar al ómnibus cuesta mucho más. Lo mismo pasa con una pelota de rugby y una de ping-pong lanzadas igual de rápido. Lo que cuesta detener un cuerpo depende de su masa y de su velocidad a la vez. Esa combinación se llama cantidad de movimiento.
Como $\vec p$ es un vector, el signo importa. En una dimensión elegimos un sentido positivo (por ejemplo, la derecha) y un cuerpo que va hacia la izquierda tiene $p$ negativa.
Una bicicleta con su ciclista tiene una masa total de $80\ \text{kg}$ y circula por la Rambla de Montevideo a $5\ \text{m/s}$. Calculá el módulo de su cantidad de…
Una bicicleta con su ciclista tiene una masa total de $80\ \text{kg}$ y circula por la Rambla de Montevideo a $5\ \text{m/s}$. Calculá el módulo de su cantidad de movimiento e indicá en qué unidades del Sistema Internacional se expresa.
Sistema, fuerzas internas y externas
Para estudiar una interacción, primero hay que decidir qué cuerpos vamos a mirar juntos. Ese conjunto es el sistema; todo lo demás es el ambiente.
Las fuerzas se clasifican según el sistema elegido:
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Fuerzas internas: las que se hacen entre sí los cuerpos del sistema.
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Fuerzas externas: las que ejerce el ambiente sobre algún cuerpo del sistema (la Tierra, el piso, el aire, otra persona que no está en el sistema).
Si Mateo y Valentina se empujan, y tomamos como sistema «Mateo + Valentina», el empujón de uno al otro es interno. Las fuerzas internas aparecen siempre de a pares, de igual módulo y sentido opuesto (tercera ley de Newton). En cambio, el peso de cada uno y la normal de la pista son externas.
Sistema aislado y conservación
Para un sistema de varios cuerpos, la cantidad de movimiento total es la suma vectorial de las de cada cuerpo:
$$\vec p_{total} = \vec p_1 + \vec p_2 + \dots = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots$$Las fuerzas internas aparecen de a pares iguales y opuestas. Mientras actúan, uno de los cuerpos gana cantidad de movimiento y el otro la cambia en la misma cantidad pero con signo contrario: el total no varía. Solo las fuerzas externas pueden cambiar $\vec p_{total}$.
Dos aclaraciones útiles:
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No hace falta que no haya fuerzas externas: alcanza con que se compensen. Sobre los patinadores actúan el peso y la normal, pero se anulan, así que en horizontal el sistema está aislado.
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El principio vale componente a componente. Una dirección puede conservarse y otra no.
Explicá con tus palabras qué significa que un sistema esté «aislado» desde el punto de vista de la cantidad de movimiento. Indicá qué ocurre con la cantidad de…
Explicá con tus palabras qué significa que un sistema esté «aislado» desde el punto de vista de la cantidad de movimiento. Indicá qué ocurre con la cantidad de movimiento total de un sistema cuando la suma de las fuerzas externas que actúan sobre él es nula.
Mateo (masa $60\ \text{kg}$) y Valentina (masa $50\ \text{kg}$) están parados en reposo sobre patines en una pista lisa. Calculá la cantidad de movimiento total del…
Mateo (masa $60\ \text{kg}$) y Valentina (masa $50\ \text{kg}$) están parados en reposo sobre patines en una pista lisa. Calculá la cantidad de movimiento total del sistema formado por los dos antes de que se empujen y explicá cómo lo sabés sin hacer más cuentas.
Empujones y retrocesos
Si un sistema parte del reposo, su cantidad de movimiento total inicial es cero. Como se conserva, después también es cero:
$$m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = \vec 0 \quad\Rightarrow\quad m_1\vec v_1 = -m_2\vec v_2$$Las cantidades de movimiento de los dos cuerpos son iguales en módulo y de sentidos opuestos. Por eso salen en sentidos contrarios, y el de menor masa sale con mayor velocidad: $v_1/v_2 = m_2/m_1$.
Camila (masa $45\ \text{kg}$) y Bruno (masa $60\ \text{kg}$) están en reposo, uno frente al otro, sobre patines en una pista horizontal sin rozamiento. Se empujan y…
Camila (masa $45\ \text{kg}$) y Bruno (masa $60\ \text{kg}$) están en reposo, uno frente al otro, sobre patines en una pista horizontal sin rozamiento. Se empujan y Camila sale hacia la izquierda con velocidad de módulo $2{,}0\ \text{m/s}$. Calculá la velocidad de Bruno (módulo y sentido) y explicá por qué se conserva la cantidad de movimiento del sistema.
Un cañón de juguete de $10\ \text{kg}$ está en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento y dispara horizontalmente un proyectil de $0{,}50\ \text{kg}$ con…
Un cañón de juguete de $10\ \text{kg}$ está en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento y dispara horizontalmente un proyectil de $0{,}50\ \text{kg}$ con velocidad de $20\ \text{m/s}$. Calculá la velocidad de retroceso del cañón y compará los módulos de las cantidades de movimiento del proyectil y del cañón.
Explosiones y sistemas en movimiento
En una explosión, un cuerpo se rompe en fragmentos por fuerzas internas muy intensas y muy breves. Las fuerzas externas (como el peso) son despreciables frente a ellas durante ese instante, así que la cantidad de movimiento total se conserva, aunque el cuerpo ya se estuviera moviendo:
$$m\vec v_{antes} = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2$$En una explosión la energía cinética aumenta porque se transforma energía interna del sistema. En otros procesos (choques que deforman) puede disminuir. Que $\vec p$ se conserve no dice nada sobre $E_c$.
El cohete
Un cohete en el espacio funciona igual que el cañón: expulsa gases hacia atrás y, para que $p$ total se conserve, la nave gana cantidad de movimiento hacia adelante. No necesita aire para empujar: la interacción es entre el cohete y los gases que él mismo expulsa.
Una piedra de $3{,}0\ \text{kg}$ que se mueve a $4{,}0\ \text{m/s}$ hacia la derecha estalla en dos fragmentos. Uno de $1{,}0\ \text{kg}$ sale a $10\ \text{m/s}$ hacia…
Una piedra de $3{,}0\ \text{kg}$ que se mueve a $4{,}0\ \text{m/s}$ hacia la derecha estalla en dos fragmentos. Uno de $1{,}0\ \text{kg}$ sale a $10\ \text{m/s}$ hacia la derecha. Calculá la velocidad del otro fragmento e indicá si la energía cinética del sistema se conserva en la explosión. Justificá.
Un cohete de $500\ \text{kg}$ (incluido el combustible) está en el espacio, lejos de todo cuerpo, con velocidad $0$ respecto de un observador. Expulsa de golpe…
Un cohete de $500\ \text{kg}$ (incluido el combustible) está en el espacio, lejos de todo cuerpo, con velocidad $0$ respecto de un observador. Expulsa de golpe $50\ \text{kg}$ de gases a $300\ \text{m/s}$ respecto del observador. a) Calculá la velocidad del cohete después de la expulsión. b) Explicá por qué un cohete puede acelerar en el vacío si no hay aire contra el cual «empujar». c) Analizá si la energía cinética del sistema aumentó o disminuyó y de dónde proviene la diferencia.
Velocidades relativas: la balsa
Un caso que confunde: alguien camina sobre una balsa que flota. La velocidad que te dan suele ser relativa a la balsa, pero la conservación se escribe con velocidades respecto de un mismo sistema de referencia inercial (la orilla).
La relación es: $$v_{\text{persona/orilla}} = v_{\text{persona/balsa}} + v_{\text{balsa/orilla}}$$
Santiago, de $70\ \text{kg}$, está sobre una balsa de $30\ \text{kg}$ en reposo en un lago tranquilo, y el rozamiento con el agua se puede despreciar. Camina de un…
Santiago, de $70\ \text{kg}$, está sobre una balsa de $30\ \text{kg}$ en reposo en un lago tranquilo, y el rozamiento con el agua se puede despreciar. Camina de un extremo al otro de la balsa a $1{,}5\ \text{m/s}$ respecto de la balsa. a) Calculá la velocidad de la balsa respecto de la orilla mientras él camina. b) Calculá la velocidad de Santiago respecto de la orilla. c) Explicá qué pasa con la balsa cuando Santiago se detiene.
Resumen
Volvé al principio: los amigos con patines salen en sentidos opuestos porque $\vec p$ total debe seguir siendo cero, y el más liviano sale más rápido porque tiene menos masa para igualar la misma cantidad de movimiento.