Porcentajes
Una tienda de deportes de Asunción anuncia: «50 % de descuento más un 20 % adicional: ¡70 % de descuento total!». ¿Es verdad? Y si en la factura de una compra figura el precio con el 10 % de IVA incluido, ¿cómo sabés cuánto costaba sin IVA? Los porcentajes están en las ofertas, en las facturas y en los resultados de los partidos. Entenderlos bien evita que te engañen.
Calcular un porcentaje
Un porcentaje se puede escribir de tres maneras: como porcentaje, como fracción y como número decimal. Por ejemplo, $35\,\% = \dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$. Los porcentajes mayores que $100\,\%$ también existen: $120\,\% = \dfrac{120}{100} = 1{,}2$.
Observá la cuadrícula de la figura, formada por $100$ casillas. a) ¿Qué porcentaje de las casillas están coloreadas? b) ¿Qué porcentaje queda sin colorear?
Observá la cuadrícula de la figura, formada por $100$ casillas.
a) ¿Qué porcentaje de las casillas están coloreadas?
b) ¿Qué porcentaje queda sin colorear?
Calcula mentalmente: a) El $25\%$ de $240$. b) El $10\%$ de $380$. c) El $50\%$ de $96$. d) El $75\%$ de $800$.
Calcula mentalmente:
a) El $25\%$ de $240$.
b) El $10\%$ de $380$.
c) El $50\%$ de $96$.
d) El $75\%$ de $800$.
Expresa cada porcentaje como número decimal y como fracción irreducible: a) $35\%$ b) $4\%$ c) $120\%$
Expresa cada porcentaje como número decimal y como fracción irreducible:
a) $35\%$
b) $4\%$
c) $120\%$
¿Qué porcentaje es una parte del total?
A veces conocés la parte y el total, y querés saber qué porcentaje es. Se hace la división parte ÷ total y el decimal se pasa a porcentaje, multiplicando por $100$.
Con esta misma idea se calcula el porcentaje de variación: si algo pasa de un valor inicial a un valor final, el porcentaje es $\dfrac{\text{final} - \text{inicial}}{\text{inicial}} \cdot 100\,\%$. Siempre se compara con el valor inicial. Por ejemplo, una chipa que pasa de ₲5.000 a ₲6.000 aumenta $\dfrac{1.000}{5.000} = 0{,}2$, o sea un $20\,\%$.
De los $30$ alumnos de una clase, $18$ son chicas. ¿Qué porcentaje de la clase son chicas? ¿Y chicos?
De los $30$ alumnos de una clase, $18$ son chicas. ¿Qué porcentaje de la clase son chicas? ¿Y chicos?
Una jugadora de básquetbol encestó $17$ de los $25$ tiros libres que lanzó esta temporada. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?
Una jugadora de básquetbol encestó $17$ de los $25$ tiros libres que lanzó esta temporada. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?
El gráfico muestra los cómics que una tienda vendió entre el lunes y el viernes de la semana pasada. a) ¿Qué porcentaje de las ventas de la semana se hicieron el…
El gráfico muestra los cómics que una tienda vendió entre el lunes y el viernes de la semana pasada.
a) ¿Qué porcentaje de las ventas de la semana se hicieron el viernes?
b) ¿En qué porcentaje aumentaron las ventas del viernes con respecto al lunes?
Aumentos y descuentos: el factor multiplicativo
Si una campera de ₲80.000 tiene un $30\,\%$ de descuento, podés calcular primero cuánto te descuentan y restarlo. Pero hay un camino más corto: pagás el $70\,\%$ del precio.
Completa en tu cuaderno: a) Si te rebajan el $30\%$, pagas el $\%$ del precio. b) Si un precio sube un $12\%$, pagas el $\%$ del precio original. c) Si has consumido el…
Completa en tu cuaderno:
a) Si te rebajan el $30\%$, pagas el ____ $\%$ del precio.
b) Si un precio sube un $12\%$, pagas el ____ $\%$ del precio original.
c) Si has consumido el $45\%$ de la batería, te queda el ____ $\%$.
Unos championes de $\text{₲}\ 420\,000$ están rebajados un $15\%$. ¿Cuántos guaraníes te ahorrás? ¿Cuánto pagás?
Unos championes de $\text{₲}\ 420\,000$ están rebajados un $15\%$. ¿Cuántos guaraníes te ahorrás? ¿Cuánto pagás?
Una campera que costaba $\text{₲}\ 524\,300$ se rebaja un $30\%$. ¿Cuántos guaraníes descuentan? ¿Cuál es el precio final?
Una campera que costaba $\text{₲}\ 524\,300$ se rebaja un $30\%$. ¿Cuántos guaraníes descuentan? ¿Cuál es el precio final?
Porcentajes encadenados
Volvamos a la tienda de deportes. Unos championes cuestan ₲120.000, con «50 % de descuento más un 20 % adicional». El segundo descuento se aplica sobre el precio ya rebajado.
Porcentaje de un porcentaje
Si en una encuesta el $40\,\%$ practica deporte en equipo y, de esos, el $25\,\%$ juega al básquetbol, el porcentaje del total que juega al básquetbol es $0{,}40 \cdot 0{,}25 = 0{,}10$, o sea $10\,\%$. También se multiplican los factores.
Ofertas y comparación de precios
Para comparar ofertas, calculá el precio final de cada una. Por ejemplo, un «3×2» en marcadores significa que pagás $2$ de cada $3$: pagás $\dfrac{2}{3} \approx 66{,}67\,\%$ del total, o sea que la rebaja es de $33{,}33\,\%$. Con planes que combinan cuota mensual y condiciones (meses gratis, descuento por pago anual), calculá el costo del período completo y recién ahí comparás.
Un videojuego que costaba $\text{₲}\ 420\,000$ subió un $10\%$ en la campaña de navidad y, pasadas las fiestas, el nuevo precio bajó un $10\%$. a) ¿Cuál fue el precio…
Un videojuego que costaba $\text{₲}\ 420\,000$ subió un $10\%$ en la campaña de navidad y, pasadas las fiestas, el nuevo precio bajó un $10\%$.
a) ¿Cuál fue el precio tras la subida?
b) ¿Cuál es el precio tras la bajada?
c) ¿Ha vuelto al precio original? Si no es así, ¿qué porcentaje ha variado en total?
En una encuesta a $1\,500$ jóvenes, el $40\%$ afirma practicar deporte en equipo y, de esos, el $25\%$ juega al básquetbol. ¿Cuántos jóvenes juegan al básquetbol? ¿Qué…
En una encuesta a $1\,500$ jóvenes, el $40\%$ afirma practicar deporte en equipo y, de esos, el $25\%$ juega al básquetbol. ¿Cuántos jóvenes juegan al básquetbol? ¿Qué porcentaje del total representan?
Una tienda de deportes anuncia: «Rebajas del $50\%$ más un $20\%$ adicional: ¡un $70\%$ de descuento total!». Unos championes de la tienda cuestan $\text{₲}\ 840\,000$.…
Una tienda de deportes anuncia: «Rebajas del $50\%$ más un $20\%$ adicional: ¡un $70\%$ de descuento total!». Unos championes de la tienda cuestan $\text{₲}\ 840\,000$. Explicá el error del anuncio, calculá el descuento porcentual real que se aplica y el precio final correcto de los championes.
Deshacer un porcentaje: del precio final al precio base
Si conocés el precio final con el porcentaje ya aplicado y querés el precio de partida, hacés la operación inversa: dividís por el factor. Se parece a resolver una ecuación: si $\text{base} \cdot 1{,}10 = \text{final}$, entonces $\text{base} = \text{final} : 1{,}10$.
El mismo método sirve para otros datos: «el $25\,\%$ más de seguidores y ahora hay $1.800$» quiere decir $\text{antes} \cdot 1{,}25 = 1.800$, así que $\text{antes} = 1.800 : 1{,}25 = 1.440$. Y si te dicen que $360$ alumnos son el $37{,}5\,\%$ del total, el total es $360 : 0{,}375 = 960$.
Cuando hay varios factores, dividís por el producto de todos. Si unos auriculares costaron ₲88.000 con un descuento del $20\,\%$ y luego $10\,\%$ de IVA, el factor total es $0{,}80 \cdot 1{,}10 = 0{,}88$ y el precio base es $88.000 : 0{,}88 = 100.000$.
Por unos pantalones rebajados un $15\%$ he pagado $\text{₲}\ 416\,500$. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?
Por unos pantalones rebajados un $15\%$ he pagado $\text{₲}\ 416\,500$. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?
En un colegio, $360$ alumnos practican algún deporte federado, lo que representa al $37,5\%$ del total. a) ¿Cuántos alumnos tiene el colegio? b) ¿Cuántos no practican…
En un colegio, $360$ alumnos practican algún deporte federado, lo que representa al $37,5\%$ del total.
a) ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
b) ¿Cuántos no practican deporte federado?
Lucía compró en una página web unos auriculares por $\text{₲}\ 677\,600$. Ese precio ya incluía un descuento del $20\%$ sobre el precio base y, además, un $21\%$ de IVA…
Lucía compró en una página web unos auriculares por $\text{₲}\ 677\,600$. Ese precio ya incluía un descuento del $20\%$ sobre el precio base y, además, un $21\%$ de IVA aplicado después del descuento. ¿Cuál era el precio base de los auriculares, sin descuento ni IVA?
Subir y bajar no se compensa
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones, apoyándote en ejemplos numéricos: a) Si un precio sube un $50\%$ y después baja un $50\%$, vuelve al precio…
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones, apoyándote en ejemplos numéricos:
a) Si un precio sube un $50\%$ y después baja un $50\%$, vuelve al precio inicial.
b) Aplicar dos rebajas del $10\%$ seguidas equivale a una sola rebaja del $19\%$.
c) El $5\%$ de una cantidad es la mitad del $10\%$ de esa misma cantidad.
d) Si el $90\%$ de los alumnos aprobó un examen, suspendió $1$ de cada $10$.
El precio de la entrada a un parque acuático bajó un $20\%$ al terminar el verano. Al llegar la siguiente temporada, el parque quiere recuperar exactamente el precio…
El precio de la entrada a un parque acuático bajó un $20\%$ al terminar el verano. Al llegar la siguiente temporada, el parque quiere recuperar exactamente el precio original. ¿En qué porcentaje debe subir el precio rebajado? Explica por qué la respuesta no es un $20\%$.
Las ventas de una librería cayeron un $35\%$ en febrero respecto a enero. En marzo, las ventas se recuperaron hasta alcanzar de nuevo el nivel de enero. ¿En qué…
Las ventas de una librería cayeron un $35\%$ en febrero respecto a enero. En marzo, las ventas se recuperaron hasta alcanzar de nuevo el nivel de enero. ¿En qué porcentaje aumentaron las ventas de marzo respecto a las de febrero? Redondea el resultado a las centésimas.
Porcentajes mayores que 100
Un porcentaje mayor que $100\,\%$ no es ningún error: significa más que el total de referencia. El $150\,\%$ de $60$ es $60 \cdot 1{,}5 = 90$. El $200\,\%$ de una cantidad es el doble. Un aumento del $100\,\%$ duplica la cantidad, y uno del $200\,\%$ la triplica (factor $1 + 2 = 3$). En cambio, un descuento nunca puede pasar del $100\,\%$, porque ya pagarías $0$.
Los porcentajes menores que $1\,\%$ también existen: el $0{,}5\,\%$ de $800$ es $800 \cdot 0{,}005 = 4$.
Calcula: a) El $150\%$ de $60$. b) El $0,5\%$ de $800$.
Calcula:
a) El $150\%$ de $60$.
b) El $0,5\%$ de $800$.
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando cada respuesta con un ejemplo numérico: a) Una cantidad no puede aumentar más de un $100\%$. b)…
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando cada respuesta con un ejemplo numérico:
a) Una cantidad no puede aumentar más de un $100\%$.
b) El $200\%$ de una cantidad es el doble de esa cantidad.
c) Si el precio de un producto pasa de $\text{₲}\ 350\,000$ a $\text{₲}\ 1\,050\,000$, ha aumentado un $200\%$.
d) Es imposible rebajar un precio un $110\%$.
Gráficos circulares: el porcentaje como ángulo
En un gráfico circular el círculo entero representa el total, el $100\,\%$. Como una vuelta completa mide $360^\circ$, cada porcentaje ocupa un sector con un ángulo proporcional.
También se puede ir al revés: si un sector mide $54^\circ$, es el $\dfrac{54}{360} = 0{,}15$ del total, o sea el $15\,\%$.
En una encuesta a $400$ jóvenes, el $64\%$ afirma practicar deporte cada semana. ¿Cuántos jóvenes lo practican?
En una encuesta a $400$ jóvenes, el $64\%$ afirma practicar deporte cada semana. ¿Cuántos jóvenes lo practican?
Un contenedor de reciclaje recoge $800$ kg de envases. El $45\%$ del peso es plástico y, de ese plástico, solo el $60\%$ se puede reciclar. a) ¿Cuántos kilos de plástico…
Un contenedor de reciclaje recoge $800$ kg de envases. El $45\%$ del peso es plástico y, de ese plástico, solo el $60\%$ se puede reciclar.
a) ¿Cuántos kilos de plástico hay en el contenedor?
b) ¿Cuántos kilos se reciclan realmente?
c) ¿Qué porcentaje del total del contenedor se recicla?
Interés simple (ampliación)
Cuando depositás plata en el banco o la cooperativa, te pagan intereses: un porcentaje del capital cada período. En el interés simple, el porcentaje se calcula siempre sobre el capital inicial.
Si falta otro dato, se despeja con operaciones inversas: $C = \dfrac{I}{\frac{r}{100}\cdot t}$, o bien $t = \dfrac{I}{C \cdot \frac{r}{100}}$. Por ejemplo, para ganar ₲120.000 al $3\,\%$ anual durante $2$ años hace falta un capital de $120.000 : (0{,}03 \cdot 2) = 2.000.000$ guaraníes.
Para comprarse una bicicleta eléctrica, Andrés deposita $\text{₲}\ 8\,400\,000$ en una cuenta a interés simple del $3\%$ anual durante $2$ años. ¿Qué interés recibirá?…
Para comprarse una bicicleta eléctrica, Andrés deposita $\text{₲}\ 8\,400\,000$ en una cuenta a interés simple del $3\%$ anual durante $2$ años. ¿Qué interés recibirá? ¿Cuánto dinero tendrá al final?
Una cuenta de ahorro ofrece un interés simple del $0,4\%$ mensual. Si depositas $\text{₲}\ 21\,000\,000$: a) ¿Qué interés ganas cada mes? b) ¿Cuántos meses completos…
Una cuenta de ahorro ofrece un interés simple del $0,4\%$ mensual. Si depositas $\text{₲}\ 21\,000\,000$:
a) ¿Qué interés ganas cada mes?
b) ¿Cuántos meses completos deben pasar para acumular $\text{₲}\ 1\,260\,000$ de intereses?
Martín quiere comprarse una bicicleta de montaña y estudia varias opciones de depósito a interés simple: a) ¿Qué capital debe depositar al $4\%$ anual durante $3$ años…
Martín quiere comprarse una bicicleta de montaña y estudia varias opciones de depósito a interés simple:
a) ¿Qué capital debe depositar al $4\%$ anual durante $3$ años para obtener $\text{₲}\ 1\,890\,000$ de intereses?
b) ¿A qué tanto por ciento anual debe colocar $\text{₲}\ 17\,500\,000$ durante $2$ años para obtener $\text{₲}\ 1\,400\,000$ de intereses?
c) ¿Durante cuánto tiempo debe mantener $\text{₲}\ 12\,600\,000$ al $5\%$ anual para obtener $\text{₲}\ 2\,520\,000$ de intereses?
Volvé al principio: «50 % más 20 %» equivale a pagar $0{,}50 \cdot 0{,}80 = 0{,}40$ del precio: un $60\,\%$ de descuento real, no un $70\,\%$. Y para saber cuánto costaba algo sin IVA, dividís el precio final por $1{,}10$.