Múltiplos y divisores

En una tienda de videojuegos, quieren organizar una estantería con $30$ juegos de tal manera que todas las filas tengan el mismo número de juegos y no sobre ninguno. Utiliza la relación de divisibilidad para completar las siguientes frases:

1. a) Si en cada fila ponen $5$ juegos, habrá $6$ filas. Entonces, $30$ es ________ de $5$.
2. b) Como la división $30 : 10$ es exacta, decimos que $10$ es ________ de $30$.
3. c) El número $30$ es ________ por $2, 3$ y $5$ al mismo tiempo.

Observa la siguiente representación de "números rectangulares" para el número $12$. Cada rectángulo representa una forma de multiplicar dos números para obtener $12$.

Basándote en la idea de que los divisores son los lados de estos rectángulos, escribe todos los divisores del número $18$ dibujando o imaginando sus posibles formas rectangulares.

A un creador de contenido le gusta que la duración de sus videos cortos sea un múltiplo de $9$. Si quiere subir un video que dure entre $40$ y $70$ segundos, ¿cuáles son todas las duraciones posibles (en segundos) que puede elegir?

Aplica los criterios de divisibilidad para indicar si el número $4.350$ es divisible por los siguientes valores (responde SÍ/NO y justifica brevemente):

1. a) ¿Es divisible por $2$?
2. b) ¿Es divisible por $3$?
3. c) ¿Es divisible por $5$?
4. d) ¿Es divisible por $10$?

En una tienda de tecnología han recibido un lote de tablets. El encargado sabe que el número total de tablets es un número de cuatro cifras de la forma $4A7B$. Para organizar el inventario, necesita que el número cumpla las siguientes condiciones:

• Debe ser divisible por $5$ y por $2$ al mismo vez.

• Debe ser múltiplo de $9$.

Determina todos los valores posibles de $A$ y $B$ para que el encargado pueda organizar su inventario.

En una agencia de ciberseguridad, un programador necesita crear un código de acceso de cinco cifras. El número, al que llamaremos $N$, debe cumplir simultáneamente las siguientes condiciones de divisibilidad:

• Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).

• La cifra de las unidades es el primer número primo par.

• Es divisible por $3$, por $4$ y por $11$.

¿Cuál es el valor de ese código $N$ si en él aparecen exactamente tres cifras distintas?

Clasifica los siguientes números de la lista en primos o compuestos. Recuerda que los números compuestos se pueden "desmontar" como producto de otros números más pequeños:

Explica por qué has elegido el número $21$ como compuesto indicando entre qué números se puede dividir además de $1$ y sí mismo.

Completa el siguiente "árbol de factores" para hallar la descomposición en factores primos del número $60$.

Una vez completado, escribe la descomposición final usando potencias: $60 = 2^{\dots} \cdot \dots \cdot \dots$

Sin calcular el valor numérico del número $N$, cuya descomposición en factores primos es $N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, contesta de forma razonada a las siguientes preguntas:

1. a) ¿Es $N$ múltiplo de $12$?
2. b) ¿Es $15$ un divisor de $N$?
3. c) ¿Cuántos divisores tiene el número $N$ en total? (Usa la fórmula basada en los exponentes).

Los números naturales pueden representarse mediante rectángulos según sus divisores. Por ejemplo, el número $12$ puede representarse como un rectángulo de $3 \times 4$ o de $2 \times 6$.

Observa el siguiente dibujo y determina de qué número se trata sabiendo que es el número más pequeño que puede formar exactamente cuatro rectángulos diferentes, uno de los cuales es un cuadrado como en el dibujo (considerando que un cuadrado es un tipo especial de rectángulo y que la base $1 \times n$ también cuenta).

Un número natural se denomina "especial" si se puede escribir como $2^a \cdot 3^b$, donde $a$ y $b$ son números naturales que pueden valer $0$, y tiene exactamente $10$ divisores naturales.

Determina cuáles son todos los posibles números "especiales" que cumplen esta condición.

Dos alarmas de un despertador suenan con diferentes intervalos. La primera suena cada $15$ minutos y la segunda cada $20$ minutos. Si acaban de coincidir ahora mismo a las $08:00$ de la mañana:

1. a) ¿Dentro de cuántos minutos volverán a sonar juntas por primera vez? (Calcula el $m.c.m.$).
2. b) ¿A qué hora exacta volverán a coincidir?

Tres creadores de contenido de una plataforma de streaming suben videos con diferentes frecuencias:

• El primero sube un video cada $18$ horas.

• El segundo sube un video cada $24$ horas.

• El tercero sube un video cada $2$ días.

Si los tres han coincidido subiendo un video hoy lunes a las $09:00$ de la mañana, ¿qué día y a qué hora volverán a coincidir los tres por primera vez?

En un almacén de logística, las estanterías están numeradas del $1$ al $100$. Un operario debe colocar etiquetas de seguridad siguiendo este patrón:

• Coloca una etiqueta naranja en todas las estanterías que sean múltiplos de $4$.

• Coloca una etiqueta blanca en todas las estanterías que sean múltiplos de $6$.

¿Cuántas estanterías tendrán las dos etiquetas a la vez? Indica los números de las tres primeras estanterías que tendrán ambos colores.

Tres atletas de élite entrenan en una pista circular. El primero tarda $84\text{ segundos}$ en dar una vuelta completa, el segundo tarda $96\text{ segundos}$ y el tercero $120\text{ segundos}$. Si los tres salen juntos de la línea de meta a las $9:00$ de la mañana:

1. ¿A qué hora exacta volverán a coincidir los tres por primera vez en la línea de meta?

2. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de ellos en ese momento?

Un almacén logístico está organizando cajas de kits de robótica. Tienen entre $700$ y $900$ sensores. Si los empaquetan en cajas de $12$, les sobran $7$. Si los empaquetan en cajas de $15$, también les sobran $7$. Y si los empaquetan en cajas de $18$, vuelven a sobrar $7$ sensores. ¿Cuántos sensores tienen exactamente en el almacén?

Dos buques de carga salen del puerto de Asunción. El buque Levante sale cada $24$ días y el buque Poniente sale cada $35$ días. El día $1$ de enero coincidieron en el puerto.

1. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en el puerto a lo largo de un año natural (considerá $365$ días)?

2. Si un tercer buque, el Tramontana, saliera cada cierto número de días $x$, y se sabe que la primera vez que coinciden los tres es a los $840$ días, ¿cuál es el valor más pequeño posible para $x$ (siendo $x > 1$)?

Marta tiene $24$ pegatinas rojas y $36$ pegatinas azules. Quiere hacer sobres sorpresa iguales para sus amigos, de forma que cada sobre tenga el mismo número de pegatinas de cada color y no sobre ninguna.

1. a) ¿Cuál es el número máximo de sobres que puede preparar? (Calcula el $m.c.d.$).
2. b) ¿Cuántas pegatinas de cada color habrá en cada uno de esos sobres?

Un club de e-sports quiere organizar un torneo solidario. Tienen $120$ remeras de color azul, $180$ de color rojo y $210$ de color blanco. Quieren preparar mochilas de regalo que contengan la misma cantidad de remeras de cada color, repartiendo todas las que tienen y sin mezclar colores dentro de cada paquete individual, pero maximizando la cantidad de remeras por mochila.

1. a) ¿Cuál es la cantidad máxima de remeras que puede haber en cada mochila?
2. b) ¿Cuántas mochilas de cada color se obtendrán?

Un carpintero tiene tres listones de maderas preciosas que miden $180\text{ cm}$, $252\text{ cm}$ y $420\text{ cm}$. Quiere cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible para fabricar marcos de espejos, de manera que no sobre nada de madera en ningún listón.

1. ¿Cuánto debe medir cada trozo?

2. ¿Cuántos marcos podrá fabricar si para cada marco necesita exactamente $4$ trozos?

Se quiere pavimentar el suelo de un garaje rectangular de $12,6$ metros de largo por $4,2$ metros de ancho con baldosas cuadradas lo más grandes posible. El albañil dice que no quiere cortar ninguna baldosa.

1. a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de cada baldosa? (Expresa el resultado en centímetros).
2. b) ¿Cuántas baldosas se necesitarán en total para cubrir todo el suelo?

Se desea embaldosar el suelo de una sala rectangular de $12,6\text{ metros}$ de largo y $7,2\text{ metros}$ de ancho con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna.

1. ¿Cuál debe ser el lado de cada baldosa expresado en centímetros?

2. Si cada baldosa cuesta $\text{₲}\ 8,50$ y el cemento cola necesario cuesta $\text{₲}\ 2,25$ por cada metro cuadrado de superficie, ¿cuál será el presupuesto total de los materiales para el suelo de la sala?

Sin calcular el valor numérico del número $N$, cuya descomposición en factores primos es $N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, contesta de forma razonada a las siguientes preguntas:

1. a) ¿Es $N$ múltiplo de $12$?
2. b) ¿Es $15$ un divisor de $N$?
3. c) ¿Cuántos divisores tiene el número $N$ en total? (Usa la fórmula basada en los exponentes).

Dos números naturales $a$ y $b$ cumplen que su producto es $a \cdot b = 1512$. Se sabe que su máximo común divisor es $m.c.d.(a, b) = 6$.

Utilizando la propiedad que relaciona el producto de dos números con su $m.c.d.$ y su $m.c.m.$, calcula el mínimo común múltiplo de dichos números.

Encuentra dos números naturales, $a$ y $b$, sabiendo que su máximo común divisor es $m.c.d.(a, b) = 15$ y que su producto es $a \cdot b = 6750$. Ten en cuenta que ninguno de los dos números puede ser el propio $15$. ¿Hay más de una solución posible? Justifica tu respuesta.