Proporcionalidad inversa
En el club del barrio, 4 personas limpian el salón en 30 minutos. Si se suman más voluntarios, van a tardar menos, pero ¿cuánto menos? ¿Alcanza con restar? En este apartado vas a ver una relación donde, al multiplicar una cantidad, la otra se divide: la proporcionalidad inversa.
¿Qué es la proporcionalidad inversa?
Por ejemplo: si el doble de personas limpia el salón, tarda la mitad; si hay el triple, tarda la tercera parte.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo que tardan en terminarla.
- b) El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.
- c) La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre dos ciudades.
- d) El número de páginas de un libro y su peso.
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que…
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que trabajen al mismo ritmo, ¿cuántas horas tardarán en montar el mismo escenario?
El producto constante
Un grupo de amigos quiere alquilar una furgoneta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $105\,000$ guaraníes. Calculá cuánto tendría que pagar cada…
Un grupo de amigos quiere alquilar una furgoneta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $105\,000$ guaraníes. Calculá cuánto tendría que pagar cada uno si finalmente se anotan $10$ personas al viaje.
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si vende $5$ vacas y se queda con $15$, ¿cuántos días podrá alimentar a las vacas…
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si vende $5$ vacas y se queda con $15$, ¿cuántos días podrá alimentar a las vacas restantes con la misma cantidad de pienso?
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios trabajaron durante $15$ horas. Si la municipalidad necesita que el montaje esté terminado en solo $10$…
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios trabajaron durante $15$ horas. Si la municipalidad necesita que el montaje esté terminado en solo $10$ horas, ¿cuántos operarios adicionales deberán contratar, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo?
Tablas, fórmula y gráfica
Como $x \cdot y = k$, podemos despejar $y$ y obtener la fórmula de la proporcionalidad inversa:
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$. |…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$.
| Magnitud $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ guaraníes en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para…
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ guaraníes en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar cuánto dinero recibiría cada uno dependiendo del número de personas que formen el grupo. Indica también cuál es la constante de proporcionalidad inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero por persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
En la gráfica puedes ver marcado el caso de $2$ amigos.
Un aula de tecnología tiene varias placas de contrachapado rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ cm². Completa la tabla de las posibles dimensiones…
Un aula de tecnología tiene varias placas de contrachapado rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ cm². Completa la tabla de las posibles dimensiones (base y altura) para estas placas y explica qué relación existe entre ellas.
| Base ($cm$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Altura ($cm$) | ? | $60$ | ? | ? | ? |
Observa la siguiente tabla que representa la relación entre dos magnitudes $M$ y $N$. Determina si se trata de una relación de proporcionalidad inversa calculando su…
Observa la siguiente tabla que representa la relación entre dos magnitudes $M$ y $N$. Determina si se trata de una relación de proporcionalidad inversa calculando su constante $k$. Una vez hallada, completa los valores que faltan, expresándolos como números enteros o decimales exactos.
| Magnitud $M$ | $2$ | $4,5$ | $x$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $N$ | $18$ | $y$ | $12$ | $z$ |
Regla de tres inversa
Cuando solo te piden un valor, podés usar un esquema rápido, pero siempre sostenido en el producto constante.
Un tanque de agua se llena en $6$ horas utilizando una canilla con un caudal de $10$ litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo tanque si el caudal…
Un tanque de agua se llena en $6$ horas utilizando una canilla con un caudal de $10$ litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo tanque si el caudal de la canilla aumenta a $15$ litros por minuto?
Marta realizó un viaje en auto a una velocidad constante de $90$ km/h y tardó $4$ horas. Si para el viaje de vuelta decide ir más despacio, a una velocidad de $60$ km/h,…
Marta realizó un viaje en auto a una velocidad constante de $90$ km/h y tardó $4$ horas. Si para el viaje de vuelta decide ir más despacio, a una velocidad de $60$ km/h, ¿cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido?
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h…
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h para el siguiente envío al mismo lugar, ¿cuánto tiempo tardará en llegar?
Seis canillas iguales tardan $40$ minutos en llenar una piscina infantil. Si dos de las canillas se descomponen y quedan fuera de servicio, ¿cuánto tiempo tardarán las…
Seis canillas iguales tardan $40$ minutos en llenar una piscina infantil. Si dos de las canillas se descomponen y quedan fuera de servicio, ¿cuánto tiempo tardarán las canillas restantes en llenar la misma piscina? Expresá el resultado en horas y minutos.
Situaciones más completas
Muchos problemas mezclan magnitudes (velocidad-tiempo, caudal-tiempo, dientes-vueltas). Pensá siempre qué producto se mantiene constante: la distancia ($v \cdot t$), el volumen ($\text{caudal} \cdot t$), el trabajo total ($\text{personas} \cdot \text{días}$).
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Un granjero utiliza una manguera con un caudal de $5$ litros por minuto para llenar un depósito de agua en $12$ horas. ¿Qué caudal debería tener una nueva manguera si…
Un granjero utiliza una manguera con un caudal de $5$ litros por minuto para llenar un depósito de agua en $12$ horas. ¿Qué caudal debería tener una nueva manguera si quiere llenar el mismo depósito en tan solo $3$ horas?
Una asociación protectora de animales tiene raciones de pienso para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una…
Una asociación protectora de animales tiene raciones de pienso para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una camada, ¿cuántos días durarán las existencias de pienso si no se varía la ración diaria por perro?
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$…
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$ dientes?
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$…
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$ dientes la rueda trasera da exactamente $200$ vueltas en un tramo, ¿cuántas vueltas daría la rueda si cambiáramos a un piñón de $16$ dientes manteniendo el mismo pedaleo (mismas vueltas de plato)? Justifica el tipo de proporcionalidad.
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar…
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar el trabajo, ¿cuántas horas y minutos tardarán las impresoras restantes en realizar el mismo encargo?
Un tren de mercancías realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ km/h, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una…
Un tren de mercancías realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ km/h, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una avería en la vía, debe reducir su velocidad media hasta los $60$ km/h.
-
a) ¿Cuánto tiempo tardará en completar el viaje de regreso?
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b) Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.
Tres amigos deciden repartirse los $282$ guaraníes obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en…
Tres amigos deciden repartirse los $282$ guaraníes obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en resolver su prueba final. Si el primer amigo tardó $12$ minutos, el segundo $15$ minutos y el tercero $20$ minutos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Una expedición de montaña tiene víveres almacenados para alimentar a $20$ excursionistas durante $12$ días. Sin embargo, tras los primeros $4$ días de travesía, se…
Una expedición de montaña tiene víveres almacenados para alimentar a $20$ excursionistas durante $12$ días. Sin embargo, tras los primeros $4$ días de travesía, se encuentran con otro grupo de $5$ personas que se han quedado sin suministros y deciden compartir sus víveres. Si mantienen la misma ración diaria por persona, ¿cuántos días menos de los previstos durarán los alimentos restantes?
Un rectángulo tiene una base de $12$ cm y una altura de $8$ cm. Queremos construir otro rectángulo que tenga exactamente la misma superficie, pero cuya base sea un $25$…
Un rectángulo tiene una base de $12$ cm y una altura de $8$ cm. Queremos construir otro rectángulo que tenga exactamente la misma superficie, pero cuya base sea un $25$ % más larga que la del primero.
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a) ¿Cuál será la altura del nuevo rectángulo?
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b) ¿En qué porcentaje ha disminuido la altura respecto al rectángulo original?
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ canillas que arrojan un caudal de $12$ litros por minuto cada una, tardando un total de $30$ horas. Si queremos que la…
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ canillas que arrojan un caudal de $12$ litros por minuto cada una, tardando un total de $30$ horas. Si queremos que la piscina se llene en tan solo $18$ horas usando canillas con un caudal superior, de $16$ litros por minuto, ¿cuántas canillas de este nuevo modelo necesitaremos abrir?
Volvé al principio: si 4 personas tardan 30 minutos, el producto constante es $4 \cdot 30 = 120$ personas·minuto. Con 6 personas tardan $120 : 6 = 20$ minutos: no se restó nada, se mantuvo el producto.