Problemas con ecuaciones
Mateo compra 3 chipas y una gaseosa de ₲10.000. En la caja paga ₲25.000. ¿Cuánto sale cada chipa? Resolver una ecuación ya sabés hacerlo. Lo difícil, y lo que más importa, es armarla: pasar de un enunciado escrito con palabras a una ecuación. Con un método claro, la mayoría de los problemas se vuelve rutina.
El método en cuatro pasos
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Elegí la incógnita y escribí qué significa («$x$ = precio de una chipa, en guaraníes»).
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Traducí cada dato del enunciado usando esa letra.
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Planteá la ecuación con la condición que dice el problema y resolvela operando de los dos lados de la igualdad.
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Comprobá en el enunciado (no solo en la ecuación) y respondé con una frase y con unidades.
Para ver la idea de «hacer lo mismo de los dos lados», probá con la balanza: $3x + 12 = 48$.
Si al triple de un número le sumamos $12$, obtenemos como resultado $48$. ¿De qué número se trata?
Si al triple de un número le sumamos $12$, obtenemos como resultado $48$. ¿De qué número se trata?
Marta compró $3$ remeras iguales para el equipo de atletismo y un pantalón deportivo que costaba $\text{₲}\ 105\,000$. Si en total gastó $\text{₲}\ 420\,000$, ¿cuánto…
Marta compró $3$ remeras iguales para el equipo de atletismo y un pantalón deportivo que costaba $\text{₲}\ 105\,000$. Si en total gastó $\text{₲}\ 420\,000$, ¿cuánto costó cada remera?
Números y edades
Números consecutivos: si el primero es $x$, los siguientes son $x+1$ y $x+2$.
Edades: armá una tabla con «hoy» y «dentro de» (o «hace») tantos años. El tiempo pasa igual para todos: se suma (o se resta) lo mismo a cada edad.
| Hoy | Dentro de 4 años | |
|---|---|---|
| Rodrigo | $x$ | $x + 4$ |
| Belén (el doble) | $2x$ | $2x + 4$ |
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a $54$.
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a $54$.
Álvaro tiene $4$ años más que su hermana Lucía. Si la suma de las edades de ambos es de $26$ años, ¿qué edad tiene cada uno de los hermanos?
Álvaro tiene $4$ años más que su hermana Lucía. Si la suma de las edades de ambos es de $26$ años, ¿qué edad tiene cada uno de los hermanos?
En una red social, el número de seguidores de Alba es el triple que el de su hermano Javier. Si Alba perdiera $150$ seguidores y Javier ganara $50$, ambos tendrían…
En una red social, el número de seguidores de Alba es el triple que el de su hermano Javier. Si Alba perdiera $150$ seguidores y Javier ganara $50$, ambos tendrían exactamente la misma cantidad. ¿Cuántos seguidores tiene cada uno actualmente?
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea $15$ unidades mayor que el tercer número.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea $15$ unidades mayor que el tercer número.
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Hace $6$ años, la suma de las edades de ambos era de $40$ años. ¿Qué edad tienen el hijo y la madre en…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Hace $6$ años, la suma de las edades de ambos era de $40$ años. ¿Qué edad tienen el hijo y la madre en la actualidad?
La edad de un padre es hoy el triple de la de su hijo. Hace $6$ años, la edad del padre era cinco veces la edad que tenía su hijo en aquel momento. ¿Cuántos años deben…
La edad de un padre es hoy el triple de la de su hijo. Hace $6$ años, la edad del padre era cinco veces la edad que tenía su hijo en aquel momento. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la suma de las edades del padre y del hijo sea de exactamente $100$ años?
Problemas de geometría: perímetros y áreas
Dibujá siempre la figura y escribí sobre ella las medidas con $x$. Después usá lo que sabés: el perímetro es la suma de todos los lados.
Áreas con franjas
Cuando una figura crece, la diferencia de áreas suele ser una franja fácil de medir. Si a un rectángulo de base $b$ le sumamos $2$ cm de altura, el área aumenta $2 \cdot b$: la franja nueva es un rectángulo de base $b$ y altura 2.
Cuando se agrega un camino alrededor de un jardín, el área del camino es área total − área del jardín. Al desarrollar, los términos con $x^2$ se cancelan y queda una ecuación de primer grado (lo vas a ver en el último ejercicio).
El perímetro de un triángulo isósceles es de $40 \text{ cm}$. Si el lado desigual mide $10 \text{ cm}$, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?
El perímetro de un triángulo isósceles es de $40 \text{ cm}$. Si el lado desigual mide $10 \text{ cm}$, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?
Queremos poner un marco de madera a una fotografía rectangular. Sabemos que el largo de la fotografía mide $5 \text{ cm}$ más que el ancho. Si para enmarcarla hemos…
Queremos poner un marco de madera a una fotografía rectangular. Sabemos que el largo de la fotografía mide $5 \text{ cm}$ más que el ancho. Si para enmarcarla hemos necesitado un listón de $70 \text{ cm}$ de longitud total (perímetro), ¿cuáles son las dimensiones de la fotografía?
Una pista de pádel rectangular tiene un perímetro de $60$ metros. Sabiendo que el largo de la pista mide $6$ metros más que el ancho, calcula las dimensiones (largo y…
Una pista de pádel rectangular tiene un perímetro de $60$ metros. Sabiendo que el largo de la pista mide $6$ metros más que el ancho, calcula las dimensiones (largo y ancho) de dicha pista.
Un agricultor quiere vallar una parcela triangular para sus ovejas. Sabiendo que se trata de un triángulo isósceles, que el lado desigual mide $5$ metros menos que cada…
Un agricultor quiere vallar una parcela triangular para sus ovejas. Sabiendo que se trata de un triángulo isósceles, que el lado desigual mide $5$ metros menos que cada uno de los lados iguales y que se han necesitado $40$ metros de valla en total, ¿cuánto mide cada lado de la parcela?
Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es $3$ cm mayor que su altura y que, si aumentamos la altura en $2$ cm, el área del nuevo rectángulo…
Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es $3$ cm mayor que su altura y que, si aumentamos la altura en $2$ cm, el área del nuevo rectángulo aumenta en $16$ $cm^2$.
Se quiere diseñar un jardín rectangular rodeado por un camino de baldosas de $2$ metros de ancho de forma constante. El largo del jardín es el doble que su ancho. Si…
Se quiere diseñar un jardín rectangular rodeado por un camino de baldosas de $2$ metros de ancho de forma constante. El largo del jardín es el doble que su ancho. Si sabemos que el área total que ocupa el camino de baldosas es de $112$ m$^2$, ¿cuáles son las dimensiones del jardín (ancho y largo)?
Dos cantidades con un total conocido
Muchos problemas hablan de dos cantidades cuya suma se conoce: ovejas y gallinas, kilos de dos productos, dos cifras de un número. No hace falta una segunda letra: si una cantidad es $x$, la otra es total − $x$.
Con dos incógnitas: sistema de ecuaciones
A veces conviene usar dos letras y escribir dos ecuaciones, una por cada condición del enunciado. Resolvés el sistema por sustitución o reducción y comprobás en las dos condiciones.
Cuando el enunciado habla de patas, ruedas o precios, armá la cuenta como en los maníes: cantidad de cada tipo × valor de cada uno, todo sumado. Si el problema pide además comparar con un presupuesto, calculá primero el costo con los datos que ya tenés y compará.
En una tienda de videojuegos, vendieron el doble de consolas portátiles que de consolas de sobremesa. Si en total vendieron $18$ consolas, ¿cuántas vendieron de cada…
En una tienda de videojuegos, vendieron el doble de consolas portátiles que de consolas de sobremesa. Si en total vendieron $18$ consolas, ¿cuántas vendieron de cada tipo?
Un pastor tiene una mezcla de ovejas y gallinas en su corral. Si contamos las cabezas hay un total de $20$, y si contamos las patas hay $64$. ¿Cuántas ovejas y cuántas…
Un pastor tiene una mezcla de ovejas y gallinas en su corral. Si contamos las cabezas hay un total de $20$, y si contamos las patas hay $64$. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay en el corral? (Recuerda que las ovejas tienen $4$ patas y las gallinas $2$).
Marcos ha comprado un videojuego y unos auriculares para su consola. Los auriculares le han costado $84\,000$ guaraníes menos que el videojuego. Si el videojuego…
Marcos ha comprado un videojuego y unos auriculares para su consola. Los auriculares le han costado $84\,000$ guaraníes menos que el videojuego. Si el videojuego estuviera rebajado a la mitad de su precio original, Marcos habría pagado $336\,000$ guaraníes por las dos cosas juntas. ¿Cuál es el precio original de cada artículo?
En una cafetería, han mezclado café de Colombia, que cuesta $84\,000$ guaraníes/kg, con café de Brasil, que cuesta $56\,000$ guaraníes/kg. Si han obtenido $20$ kg de…
En una cafetería, han mezclado café de Colombia, que cuesta $84\,000$ guaraníes/kg, con café de Brasil, que cuesta $56\,000$ guaraníes/kg. Si han obtenido $20$ kg de mezcla y el precio final de esta es de $63\,000$ guaraníes/kg, ¿cuántos kilos de café de cada tipo han utilizado?
Un laboratorio de perfumes quiere crear una nueva fragancia mezclando dos esencias. La esencia A cuesta $840\,000$ guaraníes/litro y la esencia B cuesta $525\,000$…
Un laboratorio de perfumes quiere crear una nueva fragancia mezclando dos esencias. La esencia A cuesta $840\,000$ guaraníes/litro y la esencia B cuesta $525\,000$ guaraníes/litro. Decidieron que para obtener un frasco de $250$ ml, el costo de la mezcla debe ser de exactamente $173\,250$ guaraníes. ¿Qué cantidad de cada esencia, medida en mililitros, debe contener el frasco?
Un número tiene dos cifras que suman $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. Halla el…
Un número tiene dos cifras que suman $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. Halla el número original utilizando una ecuación con una sola incógnita (Pista: recuerda que un número de dos cifras se puede escribir como $10x + y$).
Una empresa de mensajería utiliza furgonetas y motos. Las furgonetas tienen $4$ ruedas y las motos $2$. En total hay $24$ conductores (uno por vehículo) y $64$ ruedas.…
Una empresa de mensajería utiliza furgonetas y motos. Las furgonetas tienen $4$ ruedas y las motos $2$. En total hay $24$ conductores (uno por vehículo) y $64$ ruedas. Por problemas logísticos, el costo de mantenimiento diario es de $105\,000$ guaraníes por furgoneta y $42\,000$ guaraníes por moto. Si el presupuesto total diario de mantenimiento es de $1\,750\,000$ guaraníes, ¿cuántos conductores de furgoneta deberían pasar a manejar motos para no exceder el presupuesto sin cambiar el número total de vehículos?
Movimientos: ¿cuándo se alcanzan?
Si algo se mueve con velocidad constante, distancia = velocidad · tiempo. Cuando uno alcanza a otro, los dos recorrieron la misma distancia desde el punto de partida: esa es la ecuación. Si uno salió antes, a su tiempo hay que sumarle la ventaja.
Siempre comparás el resultado con el dato del problema (por ejemplo, la longitud de la pista) para responder lo que se pregunta.
En una competición de robótica, un robot sale de la meta a una velocidad constante de $2$ m/s. Treinta segundos después, un segundo robot sale en su persecución a una…
En una competición de robótica, un robot sale de la meta a una velocidad constante de $2$ m/s. Treinta segundos después, un segundo robot sale en su persecución a una velocidad de $3,5$ m/s. Si la pista tiene una longitud total de $150$ metros antes de llegar a una zona de obstáculos, ¿logrará el segundo robot alcanzar al primero antes de que este entre en la zona de obstáculos? Plantea la ecuación y justifica la respuesta calculando la distancia del alcance.
Ampliación: cuando aparece $x^2$
Hay problemas donde la incógnita termina multiplicada por sí misma y la ecuación queda $x^2 + \dots = 0$. Se resuelven con la fórmula general: si $ax^2 + bx + c = 0$, entonces
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Después hay que descartar las soluciones que no tengan sentido (un tiempo o una longitud negativos).
Trabajo en común. Si una canilla llena el tanque en $b$ horas, en una hora llena la fracción $\frac{1}{b}$. Las fracciones por hora de dos canillas se suman.
Triángulo rectángulo. Si el enunciado da relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, la ecuación sale del teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$, con $c$ la hipotenusa). Para tres lados consecutivos, $x$, $x+1$, $x+2$, la hipotenusa es el mayor. Si no querés usar la fórmula general, podés probar con una tabla de valores de $x$ hasta que se cumpla la igualdad.
Un depósito de agua se llena mediante dos canillas. La canilla A tarda $6$ horas más que la canilla B en llenar el depósito por separado. Si se abren ambas a la vez, el…
Un depósito de agua se llena mediante dos canillas. La canilla A tarda $6$ horas más que la canilla B en llenar el depósito por separado. Si se abren ambas a la vez, el depósito se llena en exactamente $4$ horas. Calculá cuánto tiempo tardaría la canilla B en llenar el depósito ella sola. (Este problema requiere resolver una ecuación de segundo grado).
Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados vienen expresados por tres números naturales consecutivos. (Pista: utiliza el Teorema de…
Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados vienen expresados por tres números naturales consecutivos. (Pista: utiliza el Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$, donde $c$ es el lado mayor).
Resumen
Volvé al principio: las chipas de Mateo salían ₲5.000 cada una, porque $3x + 10.000 = 25.000$.