Ecuaciones de primer grado

Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso:

1. a) $3x + 5 = 20$

1. b) $2(x + 1) = 2x + 2$

1. c) $x + x = 2x$

1. d) $x - 7 = 10$

Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones:

1. a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución?

1. b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es $x = 20$ la solución?

1. c) $3(x - 2) = 12$ ¿Es $x = 4$ la solución?

Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una, escribe la ecuación que representa la imagen y halla el valor de $x$ aplicando la lógica del equilibrio (quitar la misma cantidad en ambos platos).

Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa):

1. a) $x + 12 = 30$

1. b) $x - 8 = 15$

1. c) $7 + x = 2$

1. d) $x - 10 = -4$

Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa):

1. a) $5x = 45$

1. b) $\frac{x}{3} = 7$

1. c) $-2x = 14$

1. d) $\frac{2x}{5} = 4$

Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro:

1. a) $3x + 4 = 19$

1. b) $5x - 2 = 13$

1. c) $10 - 2x = 4$

1. d) $25 = 4x + 1$

Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve la ecuación para hallar el valor de $x$.

Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido:

1. a) El doble de un número más ocho es igual a veinte.

1. b) La mitad de un número menos cinco da como resultado tres.

1. c) Un número aumentado en siete unidades es igual a su triple.

1. d) La suma de un número y su siguiente es quince.

Marta fue a la librería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $70\,000$ guaraníes y le devolvieron $7\,000$ guaraníes, planteá una ecuación donde $x$ sea el precio de un cuaderno y resolvela para saber cuánto costó cada uno.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:

$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$

Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:

$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para simplificar los denominadores:

El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las dimensiones de la pista planteando una ecuación de primer grado.

La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?

Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.

Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado $490\,000$ guaraníes, ¿cuál es el precio de un juego y cuál es el precio de un pase de batalla?

El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo que quedaba después de la mañana. Si todavía queda un $40$% de batería ($40$ unidades de carga), ¿cuál es la capacidad total de carga del celular?

Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar, deciden aumentar la base en $5 \text{ cm}$ y disminuir la altura en $2 \text{ cm}$. Si tras estos cambios el perímetro del nuevo cartel es de $110 \text{ cm}$, ¿cuáles eran las dimensiones originales del cartel?

La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué edad tienen actualmente el padre y el hijo?

Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\text{₲}\ 84\,000$, les sobran $\text{₲}\ 28\,000$ para el envoltorio. Pero si cada uno pone $\text{₲}\ 70\,000$, les faltan $\text{₲}\ 84\,000$ para poder comprarlo. ¿Cuántos amigos forman el grupo y cuánto cuesta el regalo?

Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la de las unidades. Si sumamos las tres cifras, el resultado es el mismo que si a la cifra de las centenas le restamos la de las unidades y le sumamos 8. Una vez planteada la ecuación, indica cuál es el número. (Pista: llama $x$ a la cifra de las unidades).

En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol puro. ¿Qué cantidad de agua destilada (sin alcohol) debemos añadir para que la mezcla final tenga una concentración de alcohol de solo el $15\%$?

Un depósito de agua tiene dos canillas de llenado y un desagüe. La primera canilla puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y la segunda canilla en $4 \text{ horas}$. Si el depósito está lleno, el desagüe puede vaciarlo por completo en $8 \text{ horas}$. Si abrimos las dos canillas de llenado y el desagüe al mismo tiempo con el depósito vacío, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse completamente?

Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a una velocidad constante de $18 \text{ km/h}$. Media hora más tarde, Marcos sale al encuentro de Lucía en su monopatín eléctrico, viajando a $25 \text{ km/h}$. ¿A qué distancia del pueblo de Lucía se cruzarán y a qué hora ocurrirá el encuentro?