Cuerpos redondos
El termo de tereré de Mateo es un cilindro, el cucurucho de helado de Liz es un cono y la pelota con la que juegan en el recreo es una esfera. Ninguno tiene todas sus caras planas como un poliedro: son cuerpos redondos. En esta página vas a aprender a calcular cuánto cabe en cada uno y cuánto material hace falta para fabricarlo.
Los cuerpos redondos y el giro
Los tres tienen al menos una superficie curva. El cilindro y el cono tienen además caras planas (sus bases, que son círculos). La esfera no tiene ninguna cara plana.
Se llaman cuerpos de revolución porque se pueden generar haciendo girar una figura plana una vuelta completa alrededor de una recta, el eje:
| Figura que gira | Eje | Cuerpo que se obtiene |
|---|---|---|
| Rectángulo | uno de sus lados | cilindro |
| Triángulo rectángulo | uno de sus catetos | cono |
| Trapecio rectángulo | el lado perpendicular a las bases | tronco de cono |
| Semicírculo | su diámetro | esfera |
Un tronco de cono es lo que queda de un cono cuando le cortás la punta con un plano paralelo a la base: tiene dos bases circulares de distinto tamaño.
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura…
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura alrededor de uno de sus lados más largos (el lado de $12 \text{ cm}$), como muestra la figura.
- a) Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene.
- b) Identifica cómo se llaman sus elementos principales (base y altura) e indica cuánto mide cada uno.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa las tres figuras planas A, B y C. Cada una gira una vuelta completa alrededor del eje discontinuo que tiene dibujado. Identifica cuál de ellas da lugar a un…
Observa las tres figuras planas A, B y C. Cada una gira una vuelta completa alrededor del eje discontinuo que tiene dibujado. Identifica cuál de ellas da lugar a un tronco de cono. Explica brevemente por qué has elegido esa opción.
Radio, altura y generatriz
¿Por qué? La generatriz es la hipotenusa y el radio y la altura son los catetos: es el teorema de Pitágoras.
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de…
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de $12 \text{ cm}$. Utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) que necesitarás para trazar el desarrollo en la cartulina.
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál…
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál es el radio de esa esfera? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Cilindro: área y volumen
Si cortás la etiqueta de un tubo de papas fritas y la estirás, queda un rectángulo. Su base es la circunferencia del tubo y su altura es la altura del tubo.
¿Por qué? El área lateral es la del rectángulo: (circunferencia) por (altura). El volumen es el área de la base repetida a lo largo de la altura.
Una famosa marca de papas fritas utiliza tubos cilíndricos. Si el radio de la base del tubo es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calculá el área de la…
Una famosa marca de papas fritas utiliza tubos cilíndricos. Si el radio de la base del tubo es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calculá el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente el tubo (área lateral). Tomá $\pi \approx 3,14$.
Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener…
Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener si se llena por completo. Expresa el resultado en centímetros cúbicos ($cm^3$).
Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3,5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3,5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el área total de la chapa necesaria para fabricar una lata (sin contar las pestañas de cierre) y el volumen de refresco que puede contener en mililitros ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).
Despejar el radio y cilindros huecos
A veces conocés el volumen o el área de la base y te piden el radio. Se despeja de la fórmula:
$$V = \pi \cdot r^2 \cdot h \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi \cdot h}} \qquad\qquad A_B = \pi \cdot r^2 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\dfrac{A_B}{\pi}}$$Un cilindro hueco (un caño, un rodillo hueco) tiene radio exterior $R$ y radio interior $r$. El material ocupa la diferencia de dos cilindros:
$$V_{material} = \pi \cdot R^2 \cdot L - \pi \cdot r^2 \cdot L = \pi \cdot (R^2 - r^2) \cdot L$$Y la masa es $m = \text{densidad} \cdot V$.
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de…
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de $10\text{ cm}$. Calcula:
- a) El radio de la base.
- b) El área lateral del cilindro.
- c) El área total.
(Usa $\pi \approx 3,14$).
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100.000\text{ litros}$, ¿qué radio debe…
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100.000\text{ litros}$, ¿qué radio debe tener la base del depósito? (Recuerda que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litros}$). Redondea el radio a dos cifras decimales.
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de…
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de $7850\text{ kg/m}^3$. Si el rodillo es hueco y el espesor del acero es de $10\text{ cm}$ en todo su contorno (excepto en las caras laterales que se consideran despreciables), calcula la masa total del rodillo en toneladas.
Cono: área y volumen
Si desarmás un cucurucho, la superficie lateral queda como un sector circular de radio $g$, cuyo arco mide lo mismo que la circunferencia de la base, $2 \cdot \pi \cdot r$.
¿Por qué? El área de un sector es $\tfrac{1}{2} \cdot \text{arco} \cdot g = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot g = \pi r g$. Y un cono llena exactamente la tercera parte de un cilindro con la misma base y la misma altura.
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y…
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y el diámetro de la base circular es de $6\text{ m}$. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se han necesitado para cubrir solo la parte lateral de la carpa? (Dato: Primero deberás hallar la generatriz usando el Teorema de Pitágoras).
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el…
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el fondo y cuya base coincide con la tapa del cilindro. Si el radio del envase es de $3\text{ cm}$, calcula qué porcentaje del volumen total del cilindro está ocupado por el perfume cuando el envase está lleno. ¿Depende este porcentaje del radio y la altura elegidos? Razona tu respuesta.
Tronco de cono
Una tulipa de lámpara o una maceta tienen forma de tronco de cono: dos bases de radios $r$ (la menor) y $R$ (la mayor), una altura $h$ y una generatriz $g$.
¿Por qué? Al desarmarlo, la superficie lateral es como un trapecio curvo: su área es la media de las dos circunferencias, $\tfrac{2\pi R + 2\pi r}{2} = \pi(R + r)$, multiplicada por $g$.
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior…
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior es de $20\text{ cm}$ y la altura de la tulipa es de $15\text{ cm}$. Si el material especial de tela cuesta $129\,500\text{ \text{₲}\ /m}^2$, calculá el costo del material necesario para fabricar 25 tulipas iguales (tené en cuenta que la tulipa no tiene bases, es solo la superficie lateral).
La esfera
La esfera solo tiene un elemento: el radio $r$, la distancia del centro a cualquier punto de la superficie. El diámetro es $d = 2r$.
¿Por qué? El área es cuatro veces la de su círculo máximo, $\pi r^2$. En el volumen, $r$ va al cubo porque se miden tres dimensiones.
Un cuerpo sumergido en agua desplaza un volumen de agua igual al suyo. Si el recipiente es un cilindro de radio $R$ y el nivel sube $\Delta h$, entonces:
$$V_{cuerpo} = \pi \cdot R^2 \cdot \Delta h$$Una pelota de básquetbol tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recordá que el radio es la mitad del…
Una pelota de básquetbol tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recordá que el radio es la mitad del diámetro y utilizá la fórmula del área de la esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Usá $\pi \approx 3,14$).
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad…
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad con chocolate líquido, ¿cuántos centímetros cúbicos de chocolate hay en su interior? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge…
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge completamente hasta el fondo, ¿cuántos centímetros subirá el nivel del agua en el recipiente? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Cortar un cuerpo redondo
Si cortás un cuerpo redondo con un plano, la figura que aparece depende de cómo lo cortes.
Cuando cortás una esfera a una distancia $d$ del centro, el radio $a$ del círculo del corte sale de un triángulo rectángulo: la hipotenusa es el radio $R$ de la esfera y los catetos son $d$ y $a$.
$$a = \sqrt{R^2 - d^2}$$Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál…
Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál es el radio del círculo que se forma en la sección del corte? (Aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma).
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes…
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes esféricos. Calcula el área total (superficie curva más la base circular plana del corte) del casquete esférico más pequeño.
(Pista: utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo de la sección).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos son la unión de dos cuerpos: un cono de helado con una bola encima, un depósito con tapa cónica. Para resolverlos:
-
Descomponé el cuerpo en cuerpos conocidos.
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Calculá el volumen de cada uno y sumalos.
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Para el área, sumá solo las superficies que quedan a la vista: las bases por donde se unen no cuentan.
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado…
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado llena el interior del cucurucho y además sobresale una bola perfecta en la parte superior que tiene el mismo radio que el cono, calcula el volumen total de helado.
Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un…
Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un cono del mismo radio y una generatriz de $5\text{ m}$ para facilitar la descarga. Calcula el volumen total de almacenamiento del depósito y la superficie total de chapa necesaria para fabricarlo (incluyendo la tapa superior plana del cilindro).
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una…
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la base del cono. Si queremos envolver el helado (cono y semiesfera) con un papel protector, ¿qué superficie mínima de papel necesitaremos?
Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa. a) Describe el cuerpo…
Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa.
- a) Describe el cuerpo resultante (puedes dibujarlo).
- b) Calcula el área total de la superficie del cuerpo generado.
(Ayuda: El cuerpo está formado por dos conos unidos por su base. Necesitarás calcular la altura del triángulo relativa a la hipotenusa).
Volvé al principio: el termo de tereré de Mateo, de $5$ cm de radio y $20$ cm de altura, necesita $785\text{ cm}^2$ de material y le entran $1{,}57$ litros.