Producto de un escalar por un vector, producto escalar y producto vectorial
Empujas un carrito de supermercado en Albrook. Si empujas recto hacia adelante, el carrito avanza muy bien. Si empujas inclinado hacia el piso, gastas fuerza y casi no avanza. ¿Cómo mide la física «cuánto de tu fuerza sirve» para mover el carrito? Para responder necesitamos multiplicar vectores, y hay tres formas de hacerlo.
Multiplicar un vector por un escalar
Un escalar es un número, como $3$, $-2$ o $0.5$. Al multiplicarlo por un vector, el resultado es otro vector:
-
El módulo se multiplica por el valor absoluto del escalar.
-
Si el escalar es positivo, el vector conserva su sentido.
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Si el escalar es negativo, el vector invierte su sentido.
-
La dirección no cambia (el vector queda sobre la misma recta).
Con componentes, se multiplica cada una:
¿Por qué se multiplica cada componente? Porque estirar un vector al doble estira al doble su sombra sobre cada eje.
Estas operaciones se pueden combinar con la suma y la resta: se hace componente a componente.
Dado $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j}$, calcula $4\vec{A}$ y $-\vec{A}$. Explica qué ocurre con el sentido del vector cuando se multiplica por un escalar negativo.
Dado $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j}$, calcula $4\vec{A}$ y $-\vec{A}$. Explica qué ocurre con el sentido del vector cuando se multiplica por un escalar negativo.
Dados $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j}$ y $\vec{B} = -2\hat{i} + 5\hat{j}$, calcula $2\vec{A} - 3\vec{B}$ y escribe el resultado con vectores unitarios. Después halla su…
Dados $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j}$ y $\vec{B} = -2\hat{i} + 5\hat{j}$, calcula $2\vec{A} - 3\vec{B}$ y escribe el resultado con vectores unitarios. Después halla su módulo.
Producto escalar
El producto escalar (o «producto punto») toma dos vectores y entrega un número, no un vector. Mide cuánto «apuntan juntos» los dos vectores.
¿Por qué aparece el coseno? Porque $B\cos\theta$ es la longitud de la «sombra» de $\vec{B}$ sobre la dirección de $\vec{A}$. El producto escalar es el módulo de $\vec{A}$ por esa sombra. Solo cuenta la parte de $\vec{B}$ que va en la dirección de $\vec{A}$.
Casos que conviene reconocer:
| Ángulo $\theta$ | $\cos\theta$ | $\vec{A}\cdot\vec{B}$ |
|---|---|---|
| $0^\circ$ (misma dirección y sentido) | $1$ | $AB$ (máximo) |
| $90^\circ$ (perpendiculares) | $0$ | $0$ |
| $180^\circ$ (sentidos opuestos) | $-1$ | $-AB$ |
Calcula el producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$ para $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ y $\vec{B} = 4\hat{i} + 1\hat{j}$.
Calcula el producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$ para $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ y $\vec{B} = 4\hat{i} + 1\hat{j}$.
Producto vectorial
El producto vectorial (o «producto cruz») toma dos vectores y entrega otro vector, perpendicular a los dos originales. Se escribe $\vec{A}\times\vec{B}$.
Ahora el seno decide: si los vectores son paralelos ($\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$), el producto vectorial es cero. Es máximo cuando son perpendiculares. El módulo equivale al área del paralelogramo que forman los dos vectores.
Los vectores unitarios
Los ejes $x$, $y$, $z$ forman una terna derecha. Con la regla de la mano derecha:
$$\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}, \qquad \hat{j}\times\hat{k} = \hat{i}, \qquad \hat{k}\times\hat{i} = \hat{j}$$Si inviertes el orden, cambia el signo: $\hat{j}\times\hat{i} = -\hat{k}$. Y un vector unitario con sí mismo da cero: $\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0}$.
Para vectores en el plano $xy$ (solo con $\hat{i}$ y $\hat{j}$), al desarrollar solo sobreviven $\hat{i}\times\hat{j}$ y $\hat{j}\times\hat{i}$, así que el resultado va siempre sobre el eje $z$:
$$\vec{A}\times\vec{B} = (A_xB_y - A_yB_x)\,\hat{k}$$Escribe el resultado de los productos $\hat{i}\times\hat{j}$, $\hat{j}\times\hat{i}$ y $\hat{i}\times\hat{i}$. Indica cuál de ellos es el vector nulo y cuál tiene…
Escribe el resultado de los productos $\hat{i}\times\hat{j}$, $\hat{j}\times\hat{i}$ y $\hat{i}\times\hat{i}$. Indica cuál de ellos es el vector nulo y cuál tiene sentido negativo del eje $z$.
Calcula el producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ para $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ y $\vec{B} = 1\hat{i} + 4\hat{j}$. Indica la dirección y el sentido del…
Calcula el producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ para $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ y $\vec{B} = 1\hat{i} + 4\hat{j}$. Indica la dirección y el sentido del resultado y su módulo.
Dados $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ y $\vec{B} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$, calcula $\vec{A}\cdot\vec{B}$ y el módulo de $\vec{A}\times\vec{B}$. A partir del producto…
Dados $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ y $\vec{B} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$, calcula $\vec{A}\cdot\vec{B}$ y el módulo de $\vec{A}\times\vec{B}$. A partir del producto escalar, determina el ángulo entre los vectores y comprueba que el resultado es coherente con el módulo del producto vectorial.
¿Para qué sirven? Trabajo y torque
Cada producto aparece en una magnitud física que verás más adelante. Aquí solo la nombramos y la usamos como cálculo.
| Producto | Magnitud | Fórmula | Resultado |
|---|---|---|---|
| Escalar | Trabajo | $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ | escalar, en joules (J) |
| Vectorial | Torque | $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ | vector, en N·m |
| Vectorial | Fuerza magnética | $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$ | vector (se verá en grados superiores) |
Trabajo. Solo la parte de la fuerza que va en la dirección del desplazamiento hace avanzar el objeto. Eso es justo lo que mide el producto escalar. Si empujas el carrito de supermercado con una fuerza inclinada hacia abajo, esa componente vertical se la come el piso y no ayuda a avanzar.
Torque. Es la «capacidad de girar» que tiene una fuerza. Al aflojar una tuerca con una llave, importa solo la parte de la fuerza perpendicular a la llave. El producto vectorial reconoce justamente esa parte, por el seno.
Vuelve al principio: del empuje inclinado sobre el carrito, solo cuenta la componente paralela al avance, y es lo que calcula $\vec{F}\cdot\vec{d}$.
Una fuerza $\vec{F} = 6\hat{i} + 2\hat{j}$ N desplaza un carrito de supermercado $\vec{d} = 5\hat{i} + 0\hat{j}$ m. Calcula el trabajo $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ en…
Una fuerza $\vec{F} = 6\hat{i} + 2\hat{j}$ N desplaza un carrito de supermercado $\vec{d} = 5\hat{i} + 0\hat{j}$ m. Calcula el trabajo $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ en joules y explica por qué solo cuenta una de las componentes de la fuerza.
Una llave se aplica sobre una tuerca. El vector de posición del punto de aplicación respecto al eje es $\vec{r} = 0.30\,\hat{i}$ m y la fuerza es…
Una llave se aplica sobre una tuerca. El vector de posición del punto de aplicación respecto al eje es $\vec{r} = 0.30\,\hat{i}$ m y la fuerza es $\vec{F} = (20\hat{i} + 40\hat{j})$ N. Calcula el torque $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ y el trabajo que realizaría $\vec{F}$ en un desplazamiento $\vec{r}$ usando $\vec{F}\cdot\vec{r}$. Analiza cuál de las dos componentes de la fuerza contribuye al torque y cuál al producto escalar, y justifica por qué.