Ejercicios: Producto de un escalar por un vector, producto escalar y vectorial

Dado $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j}$, calcula $4\vec{A}$ y $-\vec{A}$. Explica qué ocurre con el sentido del vector cuando se multiplica por un escalar negativo.

Calcula el producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$ para $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ y $\vec{B} = 4\hat{i} + 1\hat{j}$.

Escribe el resultado de los productos $\hat{i}\times\hat{j}$, $\hat{j}\times\hat{i}$ y $\hat{i}\times\hat{i}$. Indica cuál de ellos es el vector nulo y cuál tiene sentido negativo del eje $z$.

Dados $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j}$ y $\vec{B} = -2\hat{i} + 5\hat{j}$, calcula $2\vec{A} - 3\vec{B}$ y escribe el resultado con vectores unitarios. Después halla su módulo.

Una fuerza $\vec{F} = 6\hat{i} + 2\hat{j}$ N desplaza un carrito de supermercado $\vec{d} = 5\hat{i} + 0\hat{j}$ m. Calcula el trabajo $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ en joules y explica por qué solo cuenta una de las componentes de la fuerza.

Calcula el producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ para $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ y $\vec{B} = 1\hat{i} + 4\hat{j}$. Indica la dirección y el sentido del resultado y su módulo.

Dados $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ y $\vec{B} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$, calcula $\vec{A}\cdot\vec{B}$ y el módulo de $\vec{A}\times\vec{B}$. A partir del producto escalar, determina el ángulo entre los vectores y comprueba que el resultado es coherente con el módulo del producto vectorial.

Una llave se aplica sobre una tuerca. El vector de posición del punto de aplicación respecto al eje es $\vec{r} = 0.30\,\hat{i}$ m y la fuerza es $\vec{F} = (20\hat{i} + 40\hat{j})$ N. Calcula el torque $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ y el trabajo que realizaría $\vec{F}$ en un desplazamiento $\vec{r}$ usando $\vec{F}\cdot\vec{r}$. Analiza cuál de las dos componentes de la fuerza contribuye al torque y cuál al producto escalar, y justifica por qué.