Gráficas lineales y ecuación de la recta
Un carro avanza por la Autopista Panamá–Colón con rapidez constante. Si anotas dónde está cada cierto tiempo y marcas los puntos en una gráfica, quedan alineados. ¿Cómo conviertes esa línea en una ecuación que te diga dónde estará el carro a las 2 horas? Esa pregunta la respondemos al final del apartado.
Variables y gráfica completa
En un experimento cambias una magnitud a propósito y mides cómo responde otra.
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La variable independiente es la que tú controlas o varías (el tiempo que pasa, la masa que cuelgas). Va en el eje horizontal.
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La variable dependiente es la que mides y que depende de la anterior (la posición, el estiramiento). Va en el eje vertical.
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Las demás magnitudes que podrían influir se mantienen fijas. Eso es el control de variables: si cambian varias a la vez, no sabes cuál causó el efecto.
Una gráfica solo comunica bien si está completa:
Una gráfica completa lleva:
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Título que diga qué relaciona.
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Ejes rotulados con la magnitud y su unidad, por ejemplo $t\ (\text{h})$ y $x\ (\text{km})$.
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Escala uniforme y con números en cada eje.
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Puntos medidos, marcados con claridad.
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Línea de ajuste, que pasa cerca de los puntos. No se unen los puntos con segmentos.
En el laboratorio del colegio, Yariela mide cuánto se estira un resorte al colgarle distintas masas. Indica cuál es la variable independiente y cuál es la variable…
En el laboratorio del colegio, Yariela mide cuánto se estira un resorte al colgarle distintas masas. Indica cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente en este experimento, y explica brevemente por qué las clasificas así.
Al graficar la posición de un carro que se mueve con rapidez constante por la Autopista Panamá–Colón, se obtiene una línea recta. Enumera los elementos que debe tener…
Al graficar la posición de un carro que se mueve con rapidez constante por la Autopista Panamá–Colón, se obtiene una línea recta. Enumera los elementos que debe tener esa gráfica para estar completa (por ejemplo, título y rotulación de los ejes) y escribe qué unidades colocarías en cada eje si el tiempo se mide en horas y la posición en kilómetros.
La función lineal: pendiente e intercepto
Cuando la variable dependiente cambia la misma cantidad por cada unidad que cambia la independiente, la gráfica es una recta. Su ecuación es:
Por qué funciona: en $x=0$ el término $m\,x$ vale cero, así que $y=b$. Cada vez que $x$ aumenta 1, $y$ cambia en $m$. Si $m>0$ la recta sube, si $m<0$ baja y si $m=0$ es horizontal.
La pendiente se calcula con dos puntos cualesquiera de la recta:
$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$En física la pendiente tiene unidades: son las de $y$ divididas entre las de $x$. En una gráfica $x$–$t$ en km y h, la pendiente está en km/h, que es la rapidez.
Mueve los deslizadores y observa cómo cambian la inclinación y el punto de corte:
Una recta tiene la ecuación $y = 3x + 2$. Identifica el valor de la pendiente y el del intercepto con el eje $y$, y escribe las coordenadas del punto donde la recta…
Una recta tiene la ecuación $y = 3x + 2$. Identifica el valor de la pendiente y el del intercepto con el eje $y$, y escribe las coordenadas del punto donde la recta corta ese eje.
Un estudiante registra la temperatura de una muestra de agua mientras se calienta en una estufa: | Tiempo (min) | 0 | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | Temperatura…
Un estudiante registra la temperatura de una muestra de agua mientras se calienta en una estufa:
| Tiempo (min) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Temperatura (°C) | 25 | 33 | 41 | 49 |
Grafica los datos, calcula la pendiente de la recta e indica qué significa físicamente ese valor, con sus unidades. Luego escribe la ecuación de la recta $T(t)$.
Formas de escribir la ecuación de la recta
Según los datos que tengas, conviene una forma u otra. Todas describen la misma recta.
| Forma | Ecuación | Cuándo usarla |
|---|---|---|
| Pendiente-intercepto | $y = m x + b$ | Conoces $m$ y $b$ |
| Punto-pendiente | $y - y_1 = m\,(x - x_1)$ | Conoces $m$ y un punto $(x_1, y_1)$ |
| Dos puntos | $y - y_1 = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ | Conoces dos puntos |
| General | $A x + B y + C = 0$ | Forma estándar de álgebra |
En física usarás casi siempre la primera, porque $m$ y $b$ tienen significado: rapidez y posición inicial, rapidez de calentamiento y temperatura inicial, etc.
Una gráfica de posición contra tiempo de un ciclista en la Cinta Costera es una recta que pasa por los puntos $(2, 10)$ y $(6, 30)$, con el tiempo en segundos y la…
Una gráfica de posición contra tiempo de un ciclista en la Cinta Costera es una recta que pasa por los puntos $(2, 10)$ y $(6, 30)$, con el tiempo en segundos y la posición en metros. Determina la pendiente, el intercepto con el eje de la posición y la ecuación $x(t)$. Explica qué representa cada uno de los dos parámetros en el movimiento del ciclista.
Omar mide la longitud de un resorte según la masa que cuelga de él y obtiene estos datos: | Masa (g) | 0 | 50 | 100 | 150 | |---|---|---|---|---| | Longitud (cm) | 12.0…
Omar mide la longitud de un resorte según la masa que cuelga de él y obtiene estos datos:
| Masa (g) | 0 | 50 | 100 | 150 |
|---|---|---|---|---|
| Longitud (cm) | 12.0 | 14.5 | 17.0 | 19.5 |
Determina la ecuación de la recta $L(m)$ y úsala para predecir la longitud del resorte con una masa de 120 g. Indica además qué significa físicamente el intercepto.
Ajustar la mejor recta a datos medidos
Los datos reales casi nunca caen exactamente sobre una recta, porque toda medida tiene error. Se busca la recta que mejor represente la tendencia. Hay dos formas de hacerlo.
Ajuste a ojo. Con una regla transparente, traza la recta de modo que queden aproximadamente tantos puntos por encima como por debajo y que pase cerca de todos. No es necesario que pase por el primer ni por el último punto. Luego toma dos puntos de la recta (no dos puntos medidos) para calcular $m$ y $b$.
Con computadora. En una hoja de cálculo (Excel, LibreOffice Calc), escribes los datos, haces una gráfica de dispersión y agregas una línea de tendencia lineal con la opción de mostrar la ecuación. El programa te da $m$ y $b$ por el método de mínimos cuadrados.
Dos estudiantes, Itzel y Kevin, miden el volumen de un gas en una jeringa sellada al variar su temperatura a presión constante. Itzel obtiene la recta…
Dos estudiantes, Itzel y Kevin, miden el volumen de un gas en una jeringa sellada al variar su temperatura a presión constante. Itzel obtiene la recta $V = 0.04\,T + 10.9$ y Kevin obtiene $V = 0.035\,T + 11.2$, con $V$ en mL y $T$ en °C. Compara ambas ecuaciones: calcula el volumen que predice cada una a 50 °C, analiza en qué se diferencian sus pendientes e interceptos y propón dos posibles causas experimentales de esa diferencia.
Interpretar y predecir con la recta
Una ecuación lineal sirve para dos cosas: explicar qué significan $m$ y $b$ en el fenómeno y predecir valores que no mediste.
| Gráfica | Pendiente $m$ | Intercepto $b$ |
|---|---|---|
| Posición–tiempo | rapidez (km/h, m/s) | posición inicial |
| Temperatura–tiempo | rapidez de calentamiento (°C/min) | temperatura inicial |
| Longitud de un resorte–masa | estiramiento por gramo (cm/g) | longitud sin carga |
Para predecir sustituyes el valor de la variable independiente en la ecuación. Para saber cuándo se alcanza cierto valor, igualas la ecuación a ese valor y despejas.
Dos rectas se cruzan donde tienen el mismo valor de $y$ para la misma $x$: igualas sus ecuaciones y despejas.
Un auto sale de La Chorrera hacia la Ciudad de Panamá. Su posición, medida desde La Chorrera, sigue una recta que pasa por $(0.10, 4)$ y $(0.50, 28)$, con el tiempo en…
Un auto sale de La Chorrera hacia la Ciudad de Panamá. Su posición, medida desde La Chorrera, sigue una recta que pasa por $(0.10, 4)$ y $(0.50, 28)$, con el tiempo en horas y la posición en kilómetros. Halla la ecuación $x(t)$ y determina la rapidez del auto y su posición en $t = 0$. Luego analiza: si otro carro parte del kilómetro 30 en sentido contrario con una rapidez de 40 km/h en $t = 0$, escribe su ecuación de posición y calcula en qué instante se cruzan.
Vuelve al principio: si la posición del carro es $x = x_0 + v\,t$, la pendiente te da su rapidez y el intercepto, de dónde salió. Sustituyes $t = 2$ h y obtienes su posición a las 2 horas.