Componentes rectangulares y vectores unitarios
Un dron despega de la Calzada de Amador y vuela 12 m hacia el este y 5 m hacia el norte. Sin dibujar nada, ¿a qué distancia del punto de salida está y hacia dónde apunta su desplazamiento? Con el método gráfico necesitarías regla y transportador. Con las componentes basta una calculadora, y funciona con dos vectores o con diez.
Componentes rectangulares
Todo vector en el plano se puede reemplazar por dos vectores perpendiculares: uno a lo largo del eje $x$ y otro a lo largo del eje $y$. Son sus componentes rectangulares, $A_x$ y $A_y$.
Si el vector tiene módulo $A$ y forma un ángulo $\theta$ con el eje $x$ positivo (medido en sentido antihorario), las componentes forman un triángulo rectángulo con el vector como hipotenusa.
Del triángulo rectángulo salen las dos fórmulas:
¿Por qué? Porque el coseno es el cateto adyacente entre la hipotenusa, y el seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa. Los signos salen solos: si $\theta$ está en el segundo cuadrante, $\cos\theta<0$ y $A_x$ resulta negativa.
Un vector de módulo 10 unidades forma un ángulo de $0^\circ$ con el eje $x$ positivo. Escribe sus componentes $A_x$ y $A_y$ y exprésalo con vectores unitarios.
Un vector de módulo 10 unidades forma un ángulo de $0^\circ$ con el eje $x$ positivo. Escribe sus componentes $A_x$ y $A_y$ y exprésalo con vectores unitarios.
Una fuerza de 50 N forma un ángulo de $37^\circ$ con el eje $x$ positivo. Calcula sus componentes rectangulares $F_x$ y $F_y$ y escribe la fuerza con vectores unitarios.…
Una fuerza de 50 N forma un ángulo de $37^\circ$ con el eje $x$ positivo. Calcula sus componentes rectangulares $F_x$ y $F_y$ y escribe la fuerza con vectores unitarios. Redondea a un decimal.
Vectores unitarios
Un vector unitario tiene módulo 1 y sirve solo para indicar una dirección y un sentido. Los dos básicos del plano son:
-
$\hat{i}$: apunta en el sentido positivo del eje $x$.
-
$\hat{j}$: apunta en el sentido positivo del eje $y$.
Con ellos, cada componente se escribe como un número multiplicado por el unitario, y el vector completo es la suma:
$$\vec{A} = A_x\,\hat{i} + A_y\,\hat{j}$$También se puede escribir como par ordenado $(A_x, A_y)$. Es la misma información.
Escribe el vector $\vec{A}$ cuyas componentes rectangulares son $A_x = 3$ y $A_y = -4$ usando los vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$. Después calcula su módulo.
Escribe el vector $\vec{A}$ cuyas componentes rectangulares son $A_x = 3$ y $A_y = -4$ usando los vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$. Después calcula su módulo.
Módulo y dirección desde las componentes
Es el camino de regreso: conoces $A_x$ y $A_y$ y quieres saber qué tan largo es el vector y hacia dónde apunta. El triángulo rectángulo da Pitágoras y la tangente:
La calculadora devuelve $\tan^{-1}$ solo entre $-90^\circ$ y $90^\circ$, es decir, en los cuadrantes I y IV. Por eso hay que mirar los signos de $A_x$ y $A_y$ para ubicar el cuadrante real:
| $A_x$ | $A_y$ | Cuadrante | Ángulo desde $+x$ |
|---|---|---|---|
| + | + | I | $\theta'$ |
| − | + | II | $180^\circ-\theta'$ |
| − | − | III | $180^\circ+\theta'$ |
| + | − | IV | $360^\circ-\theta'$ |
Aquí $\theta'=\tan^{-1}\left|A_y/A_x\right|$ es el ángulo agudo de referencia.
Itzel camina 80 m en una dirección que forma $60^\circ$ con el eje $x$ positivo (este) y luego 50 m hacia el sur. Expresa cada desplazamiento con vectores unitarios y…
Itzel camina 80 m en una dirección que forma $60^\circ$ con el eje $x$ positivo (este) y luego 50 m hacia el sur. Expresa cada desplazamiento con vectores unitarios y calcula el desplazamiento total como vector.
Suma y resta analíticas
Sumar vectores componente a componente funciona porque el eje $x$ y el eje $y$ son independientes: lo que avanzas hacia el este no afecta lo que avanzas hacia el norte.
Para sumar muchos vectores que forman ángulos cualesquiera, el procedimiento es siempre el mismo:
-
Descompón cada vector con $\cos$ y $\operatorname{sen}$.
-
Suma todas las componentes $x$; suma todas las componentes $y$.
-
La resultante es $R_x\hat{i}+R_y\hat{j}$; saca su módulo y su ángulo.
Dados $\vec{A} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$ y $\vec{B} = 3\hat{i} - 1\hat{j}$, calcula $\vec{A} + \vec{B}$ de forma analítica y escribe el resultado con vectores unitarios.
Dados $\vec{A} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$ y $\vec{B} = 3\hat{i} - 1\hat{j}$, calcula $\vec{A} + \vec{B}$ de forma analítica y escribe el resultado con vectores unitarios.
Dados $\vec{A} = 6\hat{i} - 2\hat{j}$ y $\vec{B} = -1\hat{i} + 4\hat{j}$, calcula $\vec{A} - \vec{B}$. Halla el módulo del resultado y el ángulo que forma con el eje $x$…
Dados $\vec{A} = 6\hat{i} - 2\hat{j}$ y $\vec{B} = -1\hat{i} + 4\hat{j}$, calcula $\vec{A} - \vec{B}$. Halla el módulo del resultado y el ángulo que forma con el eje $x$ positivo.
Resultante de varios vectores
Ahora todo junto. Tres fuerzas tiran de un poste, cada una en una dirección distinta. La fuerza neta (la resultante) se obtiene con los tres pasos de la sección anterior.
Cuando el problema pide un vector desconocido, se despeja igual que una ecuación: si $\vec{d}_1+\vec{d}_2=\vec{d}_{total}$, entonces $\vec{d}_2=\vec{d}_{total}-\vec{d}_1$. Y para volver al origen hace falta el opuesto de la posición actual, es decir, el vector con todas sus componentes cambiadas de signo.
Tres fuerzas actúan sobre un poste: $\vec{F}1 = 40\ \text{N}$ a $0^\circ$, $\vec{F}2 = 30\ \text{N}$ a $90^\circ$ y $\vec{F}3 = 20\ \text{N}$ a $225^\circ$, todos los…
Tres fuerzas actúan sobre un poste: $\vec{F}_1 = 40\ \text{N}$ a $0^\circ$, $\vec{F}_2 = 30\ \text{N}$ a $90^\circ$ y $\vec{F}_3 = 20\ \text{N}$ a $225^\circ$, todos los ángulos medidos desde el eje $x$ positivo en sentido antihorario. Calcula las componentes de cada fuerza, la fuerza resultante en forma de vectores unitarios, su módulo y su dirección. Indica en qué cuadrante se encuentra.
Un dron parte del origen y realiza dos desplazamientos: $\vec{d}1 = (12, 5)$ m y un segundo $\vec{d}2$ desconocido. Después del segundo desplazamiento, el dron queda en…
Un dron parte del origen y realiza dos desplazamientos: $\vec{d}_1 = (12, 5)$ m y un segundo $\vec{d}_2$ desconocido. Después del segundo desplazamiento, el dron queda en la posición $(4, -7)$ m. Halla $\vec{d}_2$ con vectores unitarios y su módulo, y verifica que $\vec{d}_1 + \vec{d}_2$ da la posición final. Analiza además qué desplazamiento adicional necesitaría para regresar al origen.
Vuelve al principio: el dron que voló 12 m al este y 5 al norte tiene desplazamiento $12\hat{i}+5\hat{j}$ m, de módulo $\sqrt{144+25}=13$ m y dirección $\tan^{-1}(5/12)=22.6^\circ$ al norte del este.