Funciones potenciales y exponenciales
Un pedazo de papel de aluminio cae desde el Puente de las Américas. ¿Cuánto ha bajado a los 2 s? ¿Y a los 4 s? No baja el doble: baja cuatro veces más. En cambio, un cultivo de bacterias en el laboratorio duplica su número cada hora. Las dos situaciones crecen "cada vez más rápido", pero con reglas distintas. En este apartado aprendes a distinguirlas, a escribir su ecuación y a averiguarla a partir de datos medidos.
¿Potencial o exponencial?
En las dos funciones aparece una potencia, pero en la lineal, la potencial y la exponencial la variable $x$ ocupa lugares distintos:
| Tipo | Forma | ¿Dónde está $x$? | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Lineal | $y = m x + b$ | en la base, con exponente 1 | $y = 5x$ |
| Potencial | $y = k\,x^{n}$ | en la base | $y = 5x^2$ |
| Exponencial | $y = a\,b^{x}$ | en el exponente | $y = 5\cdot 2^x$ |
La diferencia no es de forma solamente. Cuando $x$ está en la base, un cambio de $x$ produce un cambio en $y$ que depende de cuánto vale $x$. Cuando $x$ está en el exponente, cada paso igual en $x$ multiplica $y$ por el mismo factor.
Explora las dos familias. Mueve los deslizadores y observa cómo cambian las curvas:
Clasifica cada una de las siguientes funciones como lineal, potencial o exponencial y justifica tu respuesta fijándote en dónde aparece la variable independiente $x$: a)…
Clasifica cada una de las siguientes funciones como lineal, potencial o exponencial y justifica tu respuesta fijándote en dónde aparece la variable independiente $x$:
- a) $y = 5x^2$
- b) $y = 5\cdot 2^x$
- c) $y = 5x$
Función potencial $y = k\,x^n$
Mira la caída libre. Un objeto soltado desde el reposo recorre $d = 4.9\,t^2$ (metros, con $t$ en segundos):
| $t$ (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $d$ (m) | 0 | 4.9 | 19.6 | 44.1 | 78.4 |
Fíjate: al pasar de 1 s a 2 s (el tiempo se duplica), la distancia pasa de 4.9 a 19.6, o sea, se multiplica por 4. De 2 s a 4 s ocurre lo mismo: $19.6 \to 78.4$, otra vez por 4.
¿Por qué? Porque $k\,(2x)^n = k\,2^n x^n = 2^n\,(k\,x^n)$. La constante $k$ no cambia el factor: solo escala toda la gráfica.
Rasgos de la gráfica potencial (con $x \ge 0$):
-
Siempre pasa por el origen $(0, 0)$ si $n>0$.
-
Si $n>1$, la curva se va "doblando hacia arriba" (como $d=4.9t^2$).
-
Si $0
-
Si $n<0$ (por ejemplo $n=-2$), $y$ disminuye cuando $x$ crece: es una relación inversa.
La distancia que recorre una piedra que cae libremente desde el reposo se describe con $d = 4.9\,t^2$, con $d$ en metros y $t$ en segundos. Identifica la constante y el…
La distancia que recorre una piedra que cae libremente desde el reposo se describe con $d = 4.9\,t^2$, con $d$ en metros y $t$ en segundos. Identifica la constante y el exponente de esta función potencial, y calcula la distancia recorrida cuando $t = 3$ s.
Función exponencial $y = a\,b^x$
Un cultivo empieza con 100 bacterias y se duplica cada hora:
| $t$ (h) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $N$ | 100 | 200 | 400 | 800 |
No se suma una cantidad fija (como en la recta): se multiplica por un factor fijo, $b=2$. Por eso $N = 100\cdot 2^t$.
-
Si $b>1$ hay crecimiento (bacterias, interés compuesto).
-
Si $0
Por ejemplo, cada vidrio de una ventana polarizada deja pasar el 80 % de la luz. Con $I_0 = 100$ unidades, tras $n$ vidrios: $I = 100\cdot 0.8^n$. Los valores son 100, 80, 64, 51.2, …
Si el factor se aplica cada cierto periodo $\tau$ (no cada unidad de $x$), se escribe $m = m_0\cdot b^{t}$ ajustando $b$ a la unidad de tiempo. Por ejemplo, si una masa se reduce a la mitad cada 2 días, en 1 día se multiplica por $b$ con $b^2 = \tfrac12$, es decir $b = \sqrt{0.5}\approx 0.707$. También puedes escribir $m = m_0 \cdot (0.5)^{t/2}$, que dice lo mismo: "una mitad por cada 2 días".
Una población de bacterias en un cultivo del laboratorio sigue la ecuación $N = 100\cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas. Calcula $N$ para $t = 0$, $t = 1$ y…
Una población de bacterias en un cultivo del laboratorio sigue la ecuación $N = 100\cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas. Calcula $N$ para $t = 0$, $t = 1$ y $t = 3$, y describe con una frase cómo cambia la población cada hora.
En un experimento, la masa de una sustancia radiactiva se mide cada 2 días: | Tiempo (días) | 0 | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | Masa (g) | 80 | 40 | 20 | 10 |…
En un experimento, la masa de una sustancia radiactiva se mide cada 2 días:
| Tiempo (días) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Masa (g) | 80 | 40 | 20 | 10 |
Muestra que la relación es exponencial, escribe la ecuación en la forma $m = m_0\cdot b^{t}$ y calcula la masa que quedaría a los 8 días. Indica cuál es el tiempo en que la masa se reduce a la mitad.
Hallar el modelo por ensayo y error
En el laboratorio no te dan la ecuación: te dan datos. Hay que adivinar el tipo de función y comprobar. Ese es el método de ensayo y error, y funciona mejor si lo haces con orden.
Un método alternativo para una potencial es probar $y/x^n$ con varios valores de $n$ (1, 2, 3, ½…): el que dé un cociente constante es el exponente correcto, y esa constante es $k$.
Si $n$ es negativo (relación inversa), al duplicar $x$ el valor de $y$ se multiplica por $2^{n}$, que es una fracción: por ejemplo $2^{-2} = \tfrac14$.
Gabriela mide el período $T$ de un péndulo para distintas longitudes $L$: | $L$ (m) | 0.25 | 1.00 | 2.25 | 4.00 | |---|---|---|---|---| | $T$ (s) | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0…
Gabriela mide el período $T$ de un péndulo para distintas longitudes $L$:
| $L$ (m) | 0.25 | 1.00 | 2.25 | 4.00 |
|---|---|---|---|---|
| $T$ (s) | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
Por ensayo y error, prueba si la relación es de la forma $T = kL^n$. Determina el valor de $n$ y de $k$, y escribe la ecuación.
Se mide la intensidad $I$ de la luz de un bombillo a distintas distancias $d$: | $d$ (m) | 1 | 2 | 4 | |---|---|---|---| | $I$ (unidades arbitrarias) | 80 | 20 | 5 |…
Se mide la intensidad $I$ de la luz de un bombillo a distintas distancias $d$:
| $d$ (m) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| $I$ (unidades arbitrarias) | 80 | 20 | 5 |
Explica cómo cambia $I$ cuando se duplica $d$, determina el exponente $n$ de la relación $I = k\,d^{n}$ y encuentra el valor de $k$. Indica cómo se vería la gráfica de $I$ contra $d$.
Linealizar con logaritmos y hojas logarítmicas
El ensayo y error se vuelve difícil cuando los datos no son tan "redondos". Hay un truco mejor: transformar la curva en una recta, que sabes analizar (ver Gráficas lineales).
Dos propiedades bastan: $\log(a\cdot b) = \log a + \log b$ y $\log(x^n) = n\log x$.
Potencial: gráfica log-log
De $y = k\,x^n$, aplica $\log$ a ambos lados:
$$\log y = n\,\log x + \log k$$Compárala con $Y = mX + b$. Si graficas $\log y$ (eje vertical) contra $\log x$ (eje horizontal), resulta una recta con:
-
pendiente $=n$ (el exponente),
-
intercepto $=\log k$, o sea $k = 10^{\text{intercepto}}$.
Exponencial: gráfica semilogarítmica
De $y = a\,b^x$:
$$\log y = x\,\log b + \log a$$Ahora se grafica $\log y$ contra $x$ (solo el eje vertical es logarítmico). La recta tiene pendiente $\log b$ e intercepto $\log a$.
Una hoja logarítmica ya trae el eje marcado con la escala logarítmica, así que ubicas los valores originales sin calcular logaritmos. En una computadora, la hoja de cálculo lo hace al elegir escala logarítmica en los ejes o al ajustar una línea de tendencia potencial o exponencial.
Usar logaritmos para hallar un tiempo
En una exponencial, para saber cuándo $y$ alcanza un valor, hay que despejar $x$ del exponente. Con $y = a\,b^x$:
$$x = \frac{\log(y/a)}{\log b}$$Por ejemplo, con $c = 100\cdot 0.8^t$: ¿cuándo queda 10 mg? $0.8^t = 0.1$, entonces $t = \dfrac{\log 0.1}{\log 0.8} = \dfrac{-1}{-0.0969} \approx 10.3$ h.
Luis Carlos sospecha que la relación entre dos magnitudes es $y = kx^n$ y obtiene estos datos: | $x$ | 1 | 2 | 4 | 8 | |---|---|---|---|---| | $y$ | 3 | 12 | 48 | 192 |…
Luis Carlos sospecha que la relación entre dos magnitudes es $y = kx^n$ y obtiene estos datos:
| $x$ | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 3 | 12 | 48 | 192 |
Explica cómo usarías una escala logarítmica (o el logaritmo de ambas variables) para linealizar los datos, qué representarían la pendiente y el intercepto de esa recta, y determina $n$ y $k$. Después compara qué sucedería si los datos fueran exponenciales en vez de potenciales y cómo lo notarías en una gráfica semilogarítmica.
Un estudiante registra la cantidad de dosis de un medicamento en la sangre de un paciente a lo largo del tiempo: | Tiempo (h) | 0 | 3 | 6 | 9 | |---|---|---|---|---| |…
Un estudiante registra la cantidad de dosis de un medicamento en la sangre de un paciente a lo largo del tiempo:
| Tiempo (h) | 0 | 3 | 6 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| Cantidad (mg) | 200 | 100 | 50 | 25 |
- a) Decide si el modelo adecuado es lineal, potencial o exponencial y justifica tu elección con los datos.
- b) Determina la ecuación del modelo.
- c) Calcula la cantidad que queda a las 12 h y estima el tiempo para que quede menos de 10 mg, explicando cómo usarías logaritmos para encontrarlo.
Vuelve al principio: el papel de aluminio sigue $d = 4.9\,t^2$, una función potencial ($t$ en la base, $n=2$): al duplicar el tiempo, la distancia se multiplica por 4. Las bacterias siguen $N = 100\cdot 2^t$, una exponencial ($t$ en el exponente): en cada hora se multiplica por 2.