Ejercicios: Funciones potenciales y exponenciales

Clasifica cada una de las siguientes funciones como lineal, potencial o exponencial y justifica tu respuesta fijándote en dónde aparece la variable independiente $x$:

1. a) $y = 5x^2$
2. b) $y = 5\cdot 2^x$
3. c) $y = 5x$

La distancia que recorre una piedra que cae libremente desde el reposo se describe con $d = 4.9\,t^2$, con $d$ en metros y $t$ en segundos. Identifica la constante y el exponente de esta función potencial, y calcula la distancia recorrida cuando $t = 3$ s.

Una población de bacterias en un cultivo del laboratorio sigue la ecuación $N = 100\cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas. Calcula $N$ para $t = 0$, $t = 1$ y $t = 3$, y describe con una frase cómo cambia la población cada hora.

Gabriela mide el período $T$ de un péndulo para distintas longitudes $L$:

Por ensayo y error, prueba si la relación es de la forma $T = kL^n$. Determina el valor de $n$ y de $k$, y escribe la ecuación.

Se mide la intensidad $I$ de la luz de un bombillo a distintas distancias $d$:

Explica cómo cambia $I$ cuando se duplica $d$, determina el exponente $n$ de la relación $I = k\,d^{n}$ y encuentra el valor de $k$. Indica cómo se vería la gráfica de $I$ contra $d$.

En un experimento, la masa de una sustancia radiactiva se mide cada 2 días:

Muestra que la relación es exponencial, escribe la ecuación en la forma $m = m_0\cdot b^{t}$ y calcula la masa que quedaría a los 8 días. Indica cuál es el tiempo en que la masa se reduce a la mitad.

Luis Carlos sospecha que la relación entre dos magnitudes es $y = kx^n$ y obtiene estos datos:

Explica cómo usarías una escala logarítmica (o el logaritmo de ambas variables) para linealizar los datos, qué representarían la pendiente y el intercepto de esa recta, y determina $n$ y $k$. Después compara qué sucedería si los datos fueran exponenciales en vez de potenciales y cómo lo notarías en una gráfica semilogarítmica.

Un estudiante registra la cantidad de dosis de un medicamento en la sangre de un paciente a lo largo del tiempo:

1. a) Decide si el modelo adecuado es lineal, potencial o exponencial y justifica tu elección con los datos.
2. b) Determina la ecuación del modelo.
3. c) Calcula la cantidad que queda a las 12 h y estima el tiempo para que quede menos de 10 mg, explicando cómo usarías logaritmos para encontrarlo.