Repartos proporcionales
Tres amigos de un club de e-sports de Managua ganan un torneo y se reparten C$ 19,000. El primero consiguió 150 puntos en la final, el segundo 120 y el tercero 110. ¿Es justo repartir en partes iguales? Parece más justo que quien más puntos hizo, más dinero reciba. Eso es un reparto proporcional.
Reparto directamente proporcional
Se reparte en partes directamente proporcionales a unos números: quien tiene más, recibe más. Si el mérito se duplica, la parte también se duplica. Es la proporcionalidad directa de siempre, con una constante $k$: la parte $y$ de cada uno es $y = kx$, donde $x$ es su número (puntos, horas, aporte), igual que $y = ax$ en la función de primer grado.
Cambia el total o las partes y mira cómo se reparte la barra:
Tres hermanos deciden repartirse una bolsa de $120$ caramelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $2$, $3$ y $7$ años. ¿Cuántos caramelos le…
Tres hermanos deciden repartirse una bolsa de $120$ caramelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $2$, $3$ y $7$ años. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada uno?
Tres amigos, Alba, Beto y Caio, colaboraron en una feria solidaria vendiendo manualidades. Deciden repartirse los $\text{C\$}\ 10\,500…
Tres amigos, Alba, Beto y Caio, colaboraron en una feria solidaria vendiendo manualidades. Deciden repartirse los $\text{C\$}\ 10\,500$ de ganancias de forma directamente proporcional al número de horas que trabajó cada uno: Alba trabajó $2$ horas, Beto $3$ horas y Caio $5$ horas. Calcula cuánto dinero recibe cada uno.
Tres amigos deciden alquilar un servidor privado para jugar un videojuego en línea durante las vacaciones. El costo total del alquiler es de $\text{C\$}\ 5\,355…
Tres amigos deciden alquilar un servidor privado para jugar un videojuego en línea durante las vacaciones. El costo total del alquiler es de $\text{C\$}\ 5\,355$. Han acordado repartir el pago de forma directamente proporcional al tiempo que cada uno ha estado conectado: Álex estuvo $12$ horas, Bea $18$ horas y Cristian $21$ horas. ¿Cuánto debe aportar cada uno para pagar la factura?
Reparto inversamente proporcional
Ahora quien tiene más de algo recibe menos. Por ejemplo, una empresa premia a sus repartidores de forma inversamente proporcional a los paquetes entregados con retraso: quien menos se atrasó, más recibe.
Si un número es el doble, la parte es la mitad. Por eso el truco es repartir directamente proporcional a los inversos $\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}$.
Cuando los datos son fracciones
A veces los números que se dan ya son fracciones. Si se reparte inversamente proporcional a $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{4}$, los inversos son $2$, $3$ y $4$: el inverso de una fracción se obtiene dándola vuelta.
En un concurso de videojuegos, se reparten $100$ puntos de bonificación entre dos jugadores de forma inversamente proporcional al número de errores que han cometido. Si…
En un concurso de videojuegos, se reparten $100$ puntos de bonificación entre dos jugadores de forma inversamente proporcional al número de errores que han cometido. Si el primer jugador ha cometido $2$ errores y el segundo ha cometido $4$ errores, ¿cuántos puntos recibe cada uno?
Tres hermanos ayudan en las tareas del hogar y su abuelo decide darles una gratificación de $\text{C\$}\ 3\,990…
Tres hermanos ayudan en las tareas del hogar y su abuelo decide darles una gratificación de $\text{C\$}\ 3\,990$ para sus ahorros. Sin embargo, para fomentar la responsabilidad, reparte el dinero de forma inversamente proporcional al número de veces que han olvidado recoger su habitación este mes. Lucía la olvidó $2$ veces, Jorge $3$ veces y Marta $6$ veces. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada uno?
En un concurso de reciclaje, una alcaldía reparte un fondo de $91\,000$ córdobas entre tres centros educativos de forma inversamente proporcional al número de toneladas…
En un concurso de reciclaje, una alcaldía reparte un fondo de $91\,000$ córdobas entre tres centros educativos de forma inversamente proporcional al número de toneladas de residuos no reciclados que han generado. El Centro $1$ generó $\frac{1}{2}$ tonelada, el Centro $2$ generó $\frac{1}{3}$ de tonelada y el Centro $3$ generó $\frac{1}{4}$ de tonelada. ¿Qué premio económico recibe cada centro?
Cuando falta un dato
A veces el enunciado no da todos los números: da una parte ya repartida, o relaciona unos con otros («el triple de», «la mitad de»). La clave es la constante $k$: si conoces una parte y su número, ya tienes $k$.
Cuando los números se dan en función de otro («el doble», «el triple»), llama $x$ al más sencillo y expresa los demás con $x$. Por ejemplo, $x$, $3x$ y $\frac{3x}{2}$. Si hay fracciones, multiplica todo por 2: quedan $2x$, $6x$ y $3x$. La $x$ es común a todos, así que no cambia el reparto: es lo mismo repartir en 2, 6 y 3 partes. Después aplicas el método de siempre.
Un carpintero tiene un listón de madera de $240\text{ cm}$ y necesita cortarlo en tres trozos cuyas longitudes sean proporcionales a los números $1$, $2$ y $3$. Llamamos…
Un carpintero tiene un listón de madera de $240\text{ cm}$ y necesita cortarlo en tres trozos cuyas longitudes sean proporcionales a los números $1$, $2$ y $3$. Llamamos $k$ a la longitud del trozo más corto, de modo que los otros dos miden $2k$ y $3k$. ¿Cuál será la longitud de cada trozo?
Una aplicación de música ha repartido sus beneficios trimestrales entre tres artistas emergentes de forma directamente proporcional al número de reproducciones de sus…
Una aplicación de música ha repartido sus beneficios trimestrales entre tres artistas emergentes de forma directamente proporcional al número de reproducciones de sus temas. Sabemos que el artista $X$ recibió $1\,200$ córdobas por tener $300\,000$ reproducciones. Si el artista $Y$ tuvo $450\,000$ reproducciones y el artista $Z$ recibió $2\,400$ córdobas, calcula:
-
El número de reproducciones que tuvo el artista $Z$.
-
La cantidad de dinero que recibió el artista $Y$.
-
El beneficio total que repartió la aplicación entre los tres.
Una donación de $110\,000$ córdobas se reparte entre tres instituciones benéficas de forma directamente proporcional a las plazas que ofrecen. La institución $P$ tiene…
Una donación de $110\,000$ córdobas se reparte entre tres instituciones benéficas de forma directamente proporcional a las plazas que ofrecen. La institución $P$ tiene $x$ plazas, la institución $Q$ tiene el triple de plazas que la $P$, y la institución $R$ tiene la mitad de plazas que la $Q$. Sabiendo que a la institución $Q$ le han correspondido $60\,000$ córdobas, ¿cuánto dinero recibe cada una de las otras dos instituciones?
Repartos con un paso extra
Muchos problemas no terminan en el reparto: antes hay que descontar un gasto, o después hay que sumarle una cantidad fija a uno de los repartos.
Tres amigos de un club de e-sports han ganado un torneo regional y van a repartirse un premio de $1\,900$ córdobas. El reparto debe ser directamente proporcional a los…
Tres amigos de un club de e-sports han ganado un torneo regional y van a repartirse un premio de $1\,900$ córdobas. El reparto debe ser directamente proporcional a los puntos obtenidos en la gran final. El primer jugador consiguió $150$ puntos, el segundo $120$ puntos y el tercero $110$ puntos. Sin embargo, antes de cobrar, el club les descuenta un $5\%$ del total del premio por gastos de gestión. ¿Qué cantidad neta recibirá cada uno de los tres jugadores tras aplicar el descuento y realizar el reparto proporcional?
Un abuelo quiere repartir una colección de $168$ monedas antiguas entre sus tres nietos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son $12$, $15$ y $20$ años.…
Un abuelo quiere repartir una colección de $168$ monedas antiguas entre sus tres nietos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son $12$, $15$ y $20$ años. Al nieto más pequeño le hace tanta ilusión que el abuelo decide regalarle, además, $10$ monedas más que extrae de su propia reserva personal. ¿Con cuántas monedas terminará cada nieto?
Vuelve al principio: repartir $\text{C\$}19{,}000$ en partes iguales no era lo más justo. Con el reparto directamente proporcional, el jugador de 150 puntos recibe $\text{C\$}7{,}500$ y el de 110 puntos, $\text{C\$}5{,}500$.