Raíces cuadradas

Calcula mentalmente el valor de las siguientes raíces cuadradas exactas apoyándote en las tablas de multiplicar:

1. a) $\sqrt{36}$
2. b) $\sqrt{64}$
3. c) $\sqrt{81}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt{121}$

Asocia en tu cuaderno cada potencia con su raíz correspondiente, como en el ejemplo:

Ejemplo: $7^2 = 49 \rightarrow \sqrt{49} = 7$

1. a) $4^2 = 16$
2. b) $9^2 = 81$
3. c) $12^2 = 144$
4. d) $15^2 = 225$

La habitación de Lucía es de forma cuadrada y tiene una superficie total de $16$ metros cuadrados. ¿Cuánto mide de largo la pared de su habitación?

Observa el siguiente mosaico formado por puntos. ¿Qué número natural representa el total de puntos? ¿Cuál es su raíz cuadrada?

Indica entre qué dos números naturales consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas. Fíjate en el ejemplo:

Ejemplo: $\sqrt{10}$ está entre $3$ y $4$ porque $3^2=9$ y $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{45}$
3. c) $\sqrt{70}$
4. d) $\sqrt{95}$

Marcos quiere organizar su colección de $40$ figuras de acción en una vitrina cuadrada.

1. a) ¿Cuál es el cuadrado perfecto más grande que puede formar con sus figuras?
2. b) ¿Cuántas figuras le sobrarán si forma ese cuadrado?
3. c) ¿Cuántas figuras le faltarían para poder formar el siguiente cuadrado más grande?

En un videojuego de construcción, un jugador dispone de $150$ bloques de piedra para crear la base de una torre cuadrada. Calcula:

1. La longitud del lado de la base cuadrada más grande que puede construir.

2. El número de bloques que le sobrarán tras la construcción.

El club de ajedrez de un colegio tiene $85$ alumnos inscritos. Para la foto oficial del año escolar, el fotógrafo quiere colocarlos formando un cuadrado perfecto.

1. ¿Cuántos alumnos se quedarán fuera de la foto si quiere formar el cuadrado más grande posible?

2. ¿Cuántos alumnos faltarían para poder agregar una fila y una columna más al cuadrado anterior y que nadie se quede fuera?

Se sabe que un número natural tiene una raíz cuadrada entera igual a $15$ y su resto es el mayor posible. ¿De qué número estamos hablando?

(Pista: El resto de una raíz no puede ser igual o mayor que $2 \times \text{raíz} + 1$).

Sabiendo que un número natural $N$ tiene por raíz cuadrada entera $a = 45$, calcula cuál es el valor más grande que puede tomar dicho número $N$ y cuál es su resto en ese caso. Ten en cuenta la propiedad que relaciona el resto con la raíz entera para que la aproximación sea máxima. En la figura (sin escala exacta en los huecos) tienes el cuadrado de lado $a$ y el siguiente cuadrado, de lado $a+1$.

Una empresa de logística quiere organizar una flota de $2\,500$ drones en una formación perfectamente cuadrada para un espectáculo nocturno. Debido a un fallo técnico, el $15\%$ de los drones no puede despegar. Calcula:

1. El lado del cuadrado más grande que pueden formar con los drones que quedan operativos.

2. Cuántos drones sobran tras formar dicho cuadrado.

3. Cuántos drones operativos adicionales necesitarían para añadir una fila y una columna más al cuadrado y que este siga siendo completo.

Indica, sin utilizar la calculadora, entre qué dos números naturales consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas. Razona tu respuesta basándote en los cuadrados perfectos más cercanos:

1. a) $\sqrt{45}$

1. b) $\sqrt{115}$

Determina, sin utilizar la calculadora y razonando tu respuesta mediante el cálculo de cuadrados de números cercanos, entre qué dos números decimales consecutivos con una cifra decimal (por ejemplo, $4.4$ y $4.5$) se encuentra la raíz cuadrada de $75$.

(Ejemplo: $\sqrt{20}$ está entre $4.4$ y $4.5$ porque $4.4^2 = 19.36$ y $4.5^2 = 20.25$).

Aplica la propiedad de la raíz de un producto para calcular las siguientes raíces de forma más sencilla, tal y como se muestra en el modelo:

Modelo: $\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{4} \times \sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$

1. a) $\sqrt{9 \times 100}$
2. b) $\sqrt{16 \times 25}$
3. c) $\sqrt{4 \times 81}$

Utiliza las propiedades de las raíces para resolver de la manera más sencilla posible:

1. a) $\sqrt{9 \times 16 \times 25}$

1. b) $\sqrt{3600 : 4}$

1. c) $\sqrt{100 \times 49}$

Mei está diseñando un collage con fotos cuadradas de $10\text{ cm}$ de lado. Quiere colocarlas sobre una cartulina cuadrada cuya superficie es de $2500\text{ cm}^2$ sin dejar huecos entre ellas.

1. ¿Cuál es la medida del lado de la cartulina?

2. ¿Cuántas fotos de Mei caben en total en la cartulina?

Utiliza las propiedades de las raíces para resolver de la manera más sencilla posible:

1. a) $\sqrt{9 \times 16 \times 25}$

1. b) $\sqrt{3600 : 4}$

1. c) $\sqrt{100 \times 49}$

Un astrónomo observa una nebulosa cuya superficie aparente en el cielo es aproximadamente circular. Si el área calculada es de $5.76 \times 10^{10}$ $km^2$:

1. Expresa dicha cantidad en notación decimal estándar.

2. Calcula el radio de dicha nebulosa sabiendo que el área de un círculo se aproxima mediante la fórmula $A \approx 3 \times r^2$ (utilizando $\pi \approx 3$ para simplificar).

3. Expresa el resultado del radio en notación científica.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones:

1. a) $10 + \sqrt{49}$
2. b) $3 \times \sqrt{25} - 2^2$
3. c) $\sqrt{64} : 2 + 5$
4. d) $(\sqrt{100} - 4) \times 3$

Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones:

1. a) $3 \times \sqrt{81} - 2^2 \times (10 - \sqrt{49})$

1. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + \sqrt{144} : 3$

Una empresa de logística quiere almacenar $196$ paquetes de suministros médicos en un almacén de planta cuadrada. Si los paquetes deben colocarse formando un cuadrado perfecto en el suelo, ¿cuántos paquetes habrá en cada lado? Si después reciben otros $30$ paquetes más y quieren volver a formar el cuadrado más grande posible, ¿cuántos paquetes sobrarán?

Calcula el valor de la siguiente expresión combinada, prestando atención a la jerarquía de las operaciones y las propiedades de las raíces:

El área de un jardín cuadrado es de $676$ $m^2$. Alrededor del jardín se quiere instalar una valla de seguridad que cuesta $12.50$ córdobas el metro lineal. Sin embargo, se debe dejar una abertura de $2.5$ metros para una puerta en uno de los lados. Calcula el presupuesto total para la instalación de la valla.

Se ha construido una plataforma cuadrada uniendo piezas cuadradas de plástico de $1$ $dm^2$ cada una. Para bordear toda la plataforma, se han utilizado $156$ piezas de color azul (que forman el perímetro exterior de una pieza de ancho).

1. ¿Cuál es el área total de la plataforma en $dm^2$?

2. ¿Cuál es la raíz cuadrada exacta de dicha área?

Halla el valor de la cifra $k$ para que el número $7\,05k$ sea un cuadrado perfecto. Una vez hallado, calcula la raíz cuadrada de dicho número utilizando el algoritmo paso a paso. (Pista: El número está comprendido entre $80^2$ y $90^2$).