Operaciones con polinomios
Una cooperativa de café de Matagalpa tiene dos bodegas. La primera guarda $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ quintales y la segunda, $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, donde $x$ depende de la cosecha del mes. ¿Cuántos quintales hay en total? Para averiguarlo hay que saber sumar polinomios, y en esta página aprendes también a restarlos, multiplicarlos, dividirlos y sacar factor común.
Elementos de un polinomio y valor numérico
Un polinomio es una suma de monomios. Cada monomio es un término. Los datos que hay que saber leer son:
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Grado: el mayor exponente de $x$ cuyo coeficiente no es cero.
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Coeficiente principal: el coeficiente del término de mayor grado.
-
Término independiente: el que no tiene $x$.
Por ejemplo, en $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$: el grado es 3, el coeficiente principal es 4, el término independiente es $-1$ y tiene 4 términos.
El valor numérico se obtiene reemplazando $x$ por un número y calculando, respetando la jerarquía de operaciones. Para $x = 2$:
$P(2) = 4 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 1 = 32 - 8 + 10 - 1 = 33$
Prueba con la gráfica de otro polinomio y mira cómo cambia el valor según $x$:
Identifica los elementos principales del siguiente polinomio: $P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$ a) ¿Cuál es su grado? b) ¿Cuál es el coeficiente principal? c) ¿Cuál es el…
Identifica los elementos principales del siguiente polinomio:
$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$
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a) ¿Cuál es su grado?
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b) ¿Cuál es el coeficiente principal?
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c) ¿Cuál es el término independiente?
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d) ¿Cuántos términos tiene?
Calcula el valor numérico del polinomio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ para los siguientes casos: a) Para $x = 0$ b) Para $x = 1$
Calcula el valor numérico del polinomio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ para los siguientes casos:
-
a) Para $x = 0$
-
b) Para $x = 1$
Halla el valor del coeficiente $k$ en el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sabiendo que al calcular su valor numérico para $x = 2$ obtenemos como resultado $10$.
Halla el valor del coeficiente $k$ en el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sabiendo que al calcular su valor numérico para $x = 2$ obtenemos como resultado $10$.
Sumar y restar polinomios
Se suman (o se restan) los términos semejantes: los que tienen la misma parte literal, o sea, el mismo grado. Ayuda escribirlos en columnas, una por grado:
Así se responde el gancho: entre las dos bodegas hay $7x^2 - 2x + 4$ quintales.
Al restar, el signo menos delante del paréntesis cambia el signo de todos los términos de adentro.
En un videojuego de estrategia, tu inventario se divide en dos cofres. El contenido del primer cofre viene dado por el polinomio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ y el del segundo…
En un videojuego de estrategia, tu inventario se divide en dos cofres. El contenido del primer cofre viene dado por el polinomio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ y el del segundo por $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, donde $x$ representa el nivel de rareza de los objetos. Calcula el polinomio total que representa la suma de los dos cofres: $P(x) + Q(x)$.
Para organizar un evento de "e-sports", una empresa utiliza la expresión $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ para calcular sus gastos y $I(x) = 15x^2 + 2x$ para calcular sus…
Para organizar un evento de "e-sports", una empresa utiliza la expresión $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ para calcular sus gastos y $I(x) = 15x^2 + 2x$ para calcular sus ingresos (donde $x$ es el número de patrocinadores). Halla el polinomio que representa el beneficio neto, sabiendo que el beneficio es la diferencia entre ingresos y gastos: $I(x) - G(x)$.
En una tienda de videojuegos, el inventario de tres categorías distintas viene expresado por los siguientes polinomios, donde $x$ representa el número de lanzamientos…
En una tienda de videojuegos, el inventario de tres categorías distintas viene expresado por los siguientes polinomios, donde $x$ representa el número de lanzamientos nuevos de este mes:
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Acción: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$
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Aventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$
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Estrategia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$
Calcula las siguientes expresiones simplificando el resultado:
- a) El total de videojuegos en la tienda: $A(x) + B(x) + C(x)$
- b) La diferencia entre los juegos de Acción y los de Aventura: $A(x) - B(x)$
- c) ¿Cuántos juegos de Estrategia quedarían si se venden la mitad de un lote de tamaño $4x^2 - 2x$? Calcula: $C(x) - (2x^2 - x)$
Problemas con sumas y restas
Con estas operaciones se resuelven situaciones muy variadas: perímetros, beneficios (ingresos menos costos) y polinomios desconocidos.
Observa el siguiente esquema de una pista de skate rectangular. Escribe el polinomio reducido que representa el perímetro de la pista en función de $x$.
Observa el siguiente esquema de una pista de skate rectangular. Escribe el polinomio reducido que representa el perímetro de la pista en función de $x$.
Determina el polinomio desconocido $Q(x)$ en la siguiente igualdad: $(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$ A continuación, calcula el valor numérico de $Q(x)$…
Determina el polinomio desconocido $Q(x)$ en la siguiente igualdad:
$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
A continuación, calcula el valor numérico de $Q(x)$ para $x = -2$.
Un fabricante de carcasas para celulares ha determinado que el costo de producir $x$ unidades viene dado por el polinomio $C(x) = 17.50x^2 + 350x + 7\,000$, mientras que…
Un fabricante de carcasas para celulares ha determinado que el costo de producir $x$ unidades viene dado por el polinomio $C(x) = 17.50x^2 + 350x + 7\,000$, mientras que los ingresos obtenidos por la venta de esas mismas unidades se expresan como $I(x) = -7x^2 + 1\,750x$.
- a) Halla el polinomio $B(x)$ que representa el beneficio (Ingresos menos Costos).
- b) Calcula el beneficio si se venden $40$ carcasas.
Monomio por polinomio
Se usa la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada término del polinomio. Se multiplican los coeficientes (con su signo) y se suman los exponentes de igual base.
Fíjate en que el resultado tiene tantos términos como el polinomio original.
Realiza la siguiente operación multiplicando el monomio por el polinomio (aplicando la propiedad distributiva): $3x^2 \times (2x^3 - 4x + 5)$
Realiza la siguiente operación multiplicando el monomio por el polinomio (aplicando la propiedad distributiva):
$3x^2 \times (2x^3 - 4x + 5)$
Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios y reduce los términos semejantes: a) $3x \times (2x^2 - 5x + 4)$ b) $(-2x^2) \times (x^3 - 3x^2 + 7)$ c)…
Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios y reduce los términos semejantes:
- a) $3x \times (2x^2 - 5x + 4)$
- b) $(-2x^2) \times (x^3 - 3x^2 + 7)$
- c) $(x + 3) \times (x^2 - 2x + 5)$
- d) $(2x - 1) \times (3x^2 + x - 2)$
En un laboratorio, el crecimiento de una población de bacterias $A$ sigue el polinomio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, donde $t$ es el tiempo en horas. Otra población $B$…
En un laboratorio, el crecimiento de una población de bacterias $A$ sigue el polinomio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, donde $t$ es el tiempo en horas. Otra población $B$ crece según el polinomio $B(t) = t^2 - 5t$.
Si los científicos necesitan conocer el comportamiento de un cultivo mixto definido por la operación $C(t) = 3 \times A(t) - 2 \times B(t)$, ¿cuál es el polinomio simplificado que representa a dicha población $C$?
Polinomio por polinomio
Cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y después se agrupan los semejantes. Un rectángulo lo muestra muy bien: el área total es la suma de las áreas de las partes.
Un joven diseñador está creando un logo para su marca de ropa. El logo central es un rectángulo como el de la figura. Halla el polinomio que representa el área total de…
Un joven diseñador está creando un logo para su marca de ropa. El logo central es un rectángulo como el de la figura. Halla el polinomio que representa el área total de la figura.
Dada la siguiente expresión combinada con polinomios, opera y simplifica hasta obtener un único polinomio ordenado de mayor a menor grado:…
Dada la siguiente expresión combinada con polinomios, opera y simplifica hasta obtener un único polinomio ordenado de mayor a menor grado:
$P(x) = 2x \times (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \times (2x + 5)$
Calcula la siguiente expresión reduciendo al máximo el polinomio resultante. Presta especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis con…
Calcula la siguiente expresión reduciendo al máximo el polinomio resultante. Presta especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis con signos negativos delante:
$(2x^2 - 5) \times (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \times (x^2 - 2x + 1)$
Áreas y volúmenes con polinomios
Si los lados de una figura se escriben con polinomios, el área o el volumen también es un polinomio. Para una zona con un "hueco", se calcula el área total y se le resta el área del hueco.
Para el volumen de una caja se multiplican tres medidas: largo por ancho por altura. Se multiplican dos polinomios y el resultado por el tercero.
Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura. La figura representa una placa metálica rectangular a la que se le ha extraído un rectángulo interior para…
Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura. La figura representa una placa metálica rectangular a la que se le ha extraído un rectángulo interior para dejar espacio a un componente electrónico. Expresa el resultado como un polinomio en función de $x$.
Datos adicionales:
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Base exterior: $5x + 3$
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Altura exterior: $3x$
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Base interior: $x + 2$
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Altura interior: $x$
En el centro de un jardín cuadrado de lado $2x + 5$ metros, se ha instalado una piscina rectangular cuyas dimensiones son $x + 2$ metros de largo y $x - 1$ metros de…
En el centro de un jardín cuadrado de lado $2x + 5$ metros, se ha instalado una piscina rectangular cuyas dimensiones son $x + 2$ metros de largo y $x - 1$ metros de ancho. Halla el polinomio que representa el área de la zona de césped (la parte del jardín que no ocupa la piscina).
Una empresa de paquetería diseña cajas con forma de prisma rectangular. Las dimensiones de la caja son las siguientes: el largo mide $x + 5$ cm, el ancho es $x - 2$ cm y…
Una empresa de paquetería diseña cajas con forma de prisma rectangular. Las dimensiones de la caja son las siguientes: el largo mide $x + 5$ cm, el ancho es $x - 2$ cm y la altura es el doble del ancho.
- a) Expresa mediante un polinomio el volumen de la caja en función de $x$.
- b) Desarrolla y simplifica dicho polinomio.
Productos notables
Hay productos que aparecen todo el tiempo y conviene saberlos de memoria. Salen de multiplicar y agrupar:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$
El cuadrado del binomio es el cuadrado del primero, más o menos el doble producto de los dos, más el cuadrado del segundo. El área del cuadrado grande se reparte en dos cuadrados y dos rectángulos iguales: de ahí sale el "doble producto".
Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de lado $L = 2x + 5$ metros. En el centro, decide colocar una fuente también cuadrada de lado $l = x - 3$ metros. a) Desarrolla…
Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de lado $L = 2x + 5$ metros. En el centro, decide colocar una fuente también cuadrada de lado $l = x - 3$ metros.
- a) Desarrolla la expresión del área de la plaza utilizando los productos notables: $(2x + 5)^2$
- b) Desarrolla la expresión del área de la fuente utilizando los productos notables: $(x - 3)^2$
- c) Calcula el polinomio que representa la superficie de la plaza que queda libre para caminar (Área plaza - Área fuente).
Aplica los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones directamente, sin realizar la multiplicación paso a paso: a) $(3x + 4)^2$ b) $(5x - 2y)^2$ c)…
Aplica los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones directamente, sin realizar la multiplicación paso a paso:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(5x - 2y)^2$
- c) $(2x^2 + 1) \times (2x^2 - 1)$
- d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$
Aplica los productos notables para desarrollar y simplificar la siguiente expresión: $3 \times (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \times (3x - 1) \times (3x + 1)$
Aplica los productos notables para desarrollar y simplificar la siguiente expresión:
$3 \times (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \times (3x - 1) \times (3x + 1)$
Sacar factor común
Es la propiedad distributiva al revés: si todos los términos tienen algo en común, se escribe afuera multiplicando a un paréntesis.
Para encontrar el factor común: busca el m.c.d. de los coeficientes y, de cada letra que esté en todos los términos, la que tenga menor exponente. Después divide cada término por ese factor.
Esto sirve para simplificar fracciones algebraicas: se factoriza el numerador y el denominador, y se simplifican los factores que se repiten.
$\dfrac{6x^2 + 3x}{4x^2 + 2x} = \dfrac{3x(2x + 1)}{2x(2x + 1)} = \dfrac{3}{2}$
(para $x \neq 0$ y $x \neq -\tfrac{1}{2}$, para que el denominador no sea cero).
Extrae el factor común en las siguientes expresiones algebraicas sencillas: a) $4x^2 + 8x$ b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$
Extrae el factor común en las siguientes expresiones algebraicas sencillas:
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a) $4x^2 + 8x$
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b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$
Extraer el factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Analiza las siguientes expresiones algebraicas y extrae todos los factores comunes posibles…
Extraer el factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Analiza las siguientes expresiones algebraicas y extrae todos los factores comunes posibles (números y letras):
- a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
- b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
- c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
- d) $7x^5 - 14x^2$
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero el factor común en el numerador y el denominador: $\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero el factor común en el numerador y el denominador:
$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$
División de polinomios
Dividir es lo contrario de multiplicar. Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término entre el monomio: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de igual base.
Para dividir un trinomio entre un binomio se procede como en la división de números: se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, se multiplica, se resta y se repite.
Extrae el factor común en las siguientes expresiones algebraicas sencillas: a) $4x^2 + 8x$ b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$
Extrae el factor común en las siguientes expresiones algebraicas sencillas:
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a) $4x^2 + 8x$
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b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero el factor común en el numerador y el denominador: $\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero el factor común en el numerador y el denominador:
$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$