Ecuaciones de segundo grado
Vas a mandar a hacer una alfombra cuadrada de $144$ m² para el salón comunal de tu barrio en Masaya. ¿Cuánto debe medir el lado? Buscas un número $x$ tal que $x^2 = 144$. Es una ecuación distinta a las que conocías: la incógnita está elevada al cuadrado. Se llaman ecuaciones de segundo grado, y aquí aprenderás a resolverlas todas, incluso las que no se ven a simple vista.
Forma general
Gráficamente, $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola. Las soluciones de la ecuación son los puntos donde la parábola corta al eje $x$. Mueve $a$, $b$ y $c$ y observa:
Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbelas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indica el valor de…
Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbelas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indica el valor de sus coeficientes $a$, $b$ y $c$:
- a) $3x^2 - 5 = x + 2$
- b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$
- c) $5x - 3 = 0$
- d) $(x + 2) \times (x - 2) = 0$
Ecuaciones incompletas
Cuando falta un término, se resuelven sin fórmula y más rápido.
Calcula la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerda que pueden tener dos soluciones, una o ninguna): a) $x^2 - 49 = 0$…
Calcula la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerda que pueden tener dos soluciones, una o ninguna):
- a) $x^2 - 49 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 25 = 0$
- d) $5x^2 = 0$
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvides que una de las soluciones siempre es $x = 0$: a) $x^2 - 7x = 0$ b)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvides que una de las soluciones siempre es $x = 0$:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $3x^2 + 12x = 0$
- c) $x^2 = 5x$
- d) $4x^2 - 2x = 0$
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado (extracción de factor común o raíz cuadrada directa): a)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado (extracción de factor común o raíz cuadrada directa):
- a) $3x^2 - 27 = 0$
- b) $x^2 + 5x = 0$
- c) $2x^2 = 8x$
La fórmula general
Para cualquier ecuación $ax^2+bx+c=0$ hay una fórmula que siempre funciona:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$El símbolo $\pm$ da dos soluciones: una sumando la raíz y otra restándola.
Cuando la ecuación no viene ordenada, primero desarrolla y reduce. Por ejemplo, $(x+2)^2 - 7 = 2x + 1$ se convierte en $x^2 + 4x + 4 - 7 = 2x + 1$, es decir, $x^2 + 2x - 4 = 0$.
Si hay fracciones, quita los denominadores: multiplica todos los términos por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ a) $x^2 - 5x + 6 = 0$ b)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$- a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
- b) $x^2 + 2x - 8 = 0$
- c) $x^2 - 10x + 25 = 0$
Reduce la siguiente expresión a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halla sus soluciones aplicando la fórmula: $$(x + 2)^2 - 7 = 2x + 1$$
Reduce la siguiente expresión a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halla sus soluciones aplicando la fórmula:
$$(x + 2)^2 - 7 = 2x + 1$$Un programador de videojuegos está diseñando la fórmula para calcular la experiencia crítica de un personaje. Tras simplificar el código, la ecuación resultante es la…
Un programador de videojuegos está diseñando la fórmula para calcular la experiencia crítica de un personaje. Tras simplificar el código, la ecuación resultante es la siguiente:
$$\frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{x(x - 1)}{2} = \frac{x^2 + 7}{6}$$Opera, reduce a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halla los valores de $x$ que hacen que la fórmula funcione.
El discriminante: ¿cuántas soluciones?
Lo que hay dentro de la raíz, $\Delta = b^2 - 4ac$, se llama discriminante y te dice cuántas soluciones tiene la ecuación sin resolverla.
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Soluciones |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución (doble) |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real |
Sin resolver las ecuaciones, calcula el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indica si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real: a)…
Sin resolver las ecuaciones, calcula el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indica si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $x^2 - 5x + 4 = 0$
- c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utiliza el discriminante…
En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utiliza el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para indicar cuántas soluciones reales tiene cada una:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x + 4 = 0$
Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. La trayectoria de la rampa es $y = x^2 - 10x + k$ y el suelo es el eje $x$ (es decir, $y = 0$). Para que…
Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. La trayectoria de la rampa es $y = x^2 - 10x + k$ y el suelo es el eje $x$ (es decir, $y = 0$). Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la ecuación $x^2 - 10x + k = 0$ debe ser igual a cero.
¿Qué valor debe tener el coeficiente $k$ para que la rampa tenga una única solución (solución doble)? Una vez hallado $k$, resuelve la ecuación para encontrar el punto de apoyo.
Armar una ecuación a partir de sus soluciones
Si una ecuación tiene soluciones $x_1$ y $x_2$, se puede escribir como $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ y luego desarrollar.
Marta y Javier están jugando a "adivinar la ecuación". Marta dice: "Mi ecuación tiene las soluciones $x_1 = 3$ y $x_2 = -5$ y el coeficiente del término $x^2$ es $1$".…
Marta y Javier están jugando a "adivinar la ecuación". Marta dice: "Mi ecuación tiene las soluciones $x_1 = 3$ y $x_2 = -5$ y el coeficiente del término $x^2$ es $1$".
Escribe la ecuación de Marta en su forma general ($x^2 + bx + c = 0$). Ayuda: Utiliza la forma factorizada $(x - x_1) \times (x - x_2) = 0$.
Problemas de segundo grado
Al resolver un problema, descarta las soluciones que no tengan sentido: una longitud negativa, un número de personas con decimales…
Para áreas y medidas, dibuja la figura, llama $x$ a la medida desconocida y escribe el área como ecuación. Por ejemplo, un cuadrado de lado $x$ al que se le suman $2$ m por lado tiene área $(x+2)^2$.
Con el teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a ese ángulo es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa:
$$a^2 + b^2 = c^2$$El producto de un número entero por su siguiente es igual a $30$. Traduce este enunciado a una ecuación de segundo grado y halla de qué números puede tratarse (recuerda…
El producto de un número entero por su siguiente es igual a $30$. Traduce este enunciado a una ecuación de segundo grado y halla de qué números puede tratarse (recuerda que existen dos posibles parejas de números).
La base de una nueva tablet tiene forma rectangular. Sabemos que su base mide $4 cm$ más que su altura y que su superficie total es de $60 cm^2$. Calcula las dimensiones…
La base de una nueva tablet tiene forma rectangular. Sabemos que su base mide $4 cm$ más que su altura y que su superficie total es de $60 cm^2$. Calcula las dimensiones (base y altura) de la tablet resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente.
Una patineta eléctrica de $130$ cm de largo se ha quedado apoyada contra una pared. La distancia desde el pie de la pared hasta la base de la patineta es $70$ cm menor…
Una patineta eléctrica de $130$ cm de largo se ha quedado apoyada contra una pared. La distancia desde el pie de la pared hasta la base de la patineta es $70$ cm menor que la altura que alcanza la patineta en la pared.
Si llamamos $x$ a la altura de la pared, aplica el Teorema de Pitágoras para plantear una ecuación de segundo grado y calcula dicha altura.
Vuelve al principio: para la alfombra de $144$ m² resolvías $x^2 = 144$, así que $x = \pm 12$. Como una longitud debe ser positiva, el lado mide exactamente $12$ m.