Experiencias aleatorias y espacio muestral
Antes de un juego de béisbol en el estadio de Managua, los capitanes lanzan una moneda para decidir quién batea primero. ¿Puedes saber de antemano qué va a salir? ¿Y qué suma darán dos dados? En muchos juegos, por más que sepas, no puedes adivinar el resultado antes de jugar. Eso tiene un nombre en Matemática: azar.
Experiencias aleatorias y espacio muestral
Indica si cada una de estas experiencias es aleatoria o determinista, y justifica tu respuesta: a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve. b) Lanzar una…
Indica si cada una de estas experiencias es aleatoria o determinista, y justifica tu respuesta:
a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve.
b) Lanzar una moneda y anotar si sale cara.
c) Medir cuánto tarda en caer al suelo una hoja de papel arrugada lanzada desde una mesa.
d) Anotar el color del primer carro que pase por la calle.
e) Calcular el precio de $3$ kg de naranjas a $\text{C\$}\ 84$ el kilo.
Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio: a) Lanzar un dado y anotar la cara superior. b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras. c) Extraer una…
Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio:
a) Lanzar un dado y anotar la cara superior.
b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.
c) Extraer una carta de una baraja española y anotar el palo.
Escribe el espacio muestral de estas experiencias: a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$. b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras…
Escribe el espacio muestral de estas experiencias:
a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$.
b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras numeradas del $1$ al $4$.
c) Anotar el número de goles que marcará un equipo en su próximo partido.
Eventos: seguro, posible e imposible
Un evento (o suceso) es un resultado o un conjunto de resultados de la experiencia.
| Evento | Qué significa | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Seguro | Ocurre siempre | «sale un número menor que 7» |
| Posible | Puede ocurrir, pero no es seguro | «sale un 4» |
| Imposible | No puede ocurrir nunca | «sale un 8» |
Además, un evento es elemental si tiene un solo resultado («sale el 4») y compuesto si tiene más de uno («sale un número par»: 2, 4 o 6).
Cuando los resultados tienen las mismas posibilidades se llaman equiprobables; si no, como en una ruleta con sectores de distinto tamaño, algunos son más probables que otros.
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar. Clasifica estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible: a)…
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar.
Clasifica estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
d) Sacar una bola que sea roja o verde.
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indica si estos eventos son elementales o compuestos: a) Sacar el $5$. b) Sacar un número par.…
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indica si estos eventos son elementales o compuestos:
a) Sacar el $5$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un múltiplo de $3$.
d) Sacar el $8$.
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»: a) Escribe un evento seguro. b) Escribe un evento imposible. c) Escribe un evento posible que no sea ni seguro…
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»:
a) Escribe un evento seguro.
b) Escribe un evento imposible.
c) Escribe un evento posible que no sea ni seguro ni imposible.
Observa la ruleta de la figura. a) ¿Qué color tiene más probabilidades de salir al girar la aguja? ¿Y cuál menos? b) ¿Hay colores con la misma probabilidad? ¿Cuáles? c)…
Observa la ruleta de la figura.
a) ¿Qué color tiene más probabilidades de salir al girar la aguja? ¿Y cuál menos?
b) ¿Hay colores con la misma probabilidad? ¿Cuáles?
c) Ordena los colores de más probable a menos probable.
En una urna hay $10$ fichas numeradas del $1$ al $10$: las del $1$ al $4$ son rojas, las del $5$ al $7$ son verdes y las del $8$ al $10$ son azules. Se extrae una ficha…
En una urna hay $10$ fichas numeradas del $1$ al $10$: las del $1$ al $4$ son rojas, las del $5$ al $7$ son verdes y las del $8$ al $10$ son azules. Se extrae una ficha al azar. Escribe los casos de cada evento:
a) A = «ficha roja».
b) B = «ficha con número par».
c) C = «ficha azul con número par».
d) D = «ficha roja o verde».
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El espacio muestral de lanzar dos monedas y anotar los resultados es $\{CC, C+, ++\}$, y los tres casos son…
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:
a) El espacio muestral de lanzar dos monedas y anotar los resultados es $\{CC, C+, ++\}$, y los tres casos son equiprobables.
b) Un evento elemental está formado por un único resultado del espacio muestral.
c) El evento seguro tiene probabilidad $1$.
d) Al lanzar un dado, «salir un número mayor que $2$» es un evento compuesto.
Una primera idea de probabilidad
¿Qué tan probable es un evento? Se mide con un número, la probabilidad. Cuando todos los resultados son equiprobables, se calcula así:
Esto tiene sentido: cuantos más resultados cumplen el evento, mayor es la fracción.
Algunos valores de referencia:
-
El evento imposible no tiene casos favorables: $P = \dfrac{0}{n} = 0$.
-
El evento seguro tiene como favorables todos los casos: $P = \dfrac{n}{n} = 1$.
-
Cualquier evento posible tiene una probabilidad entre $0$ y $1$.
En una baraja española hay 4 palos: oros, copas, espadas y bastos.
Experiencias compuestas: tablas de doble entrada
Cuando la experiencia tiene varias etapas (dos dados, una moneda y un dado…), para no perder ningún resultado se usa una tabla de doble entrada: una fila por cada resultado de la primera etapa y una columna por cada resultado de la segunda.
Lanza los dos dados muchas veces y mira qué sumas salen más seguido:
En el gráfico, cada barra mide la cantidad de casos de esa suma (1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1).
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles: | | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |…
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles:
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| C | C$1$ | |||||
| + | +$6$ |
a) ¿Cuántos resultados distintos hay?
b) ¿Cuántos incluyen cara?
c) ¿Cuántos incluyen un número par?
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles. b) Escribe el espacio muestral…
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos.
a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles.
b) Escribe el espacio muestral del experimento.
c) ¿Cuántos casos dan suma $7$? Enuméralos.
d) ¿Son equiprobables todos los resultados del espacio muestral? Razona tu respuesta.
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma. a) Construye una tabla de doble entrada con todos…
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma.
a) Construye una tabla de doble entrada con todos los resultados.
b) Escribe el espacio muestral. ¿Cuántos elementos tiene?
c) Escribe los casos del evento «sumar $8$».
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuenta los casos de cada evento: a) Suma par.…
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuenta los casos de cada evento:
a) Suma par.
b) Suma múltiplo de $3$.
c) Suma mayor que $8$.
d) Suma igual a $1$.
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos. a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles. b) ¿Cuántos casos dan un producto…
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos.
a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles.
b) ¿Cuántos casos dan un producto par?
c) ¿Cuántos casos dan un producto mayor que $20$?
d) ¿Cuál es el producto que aparece con más frecuencia en la tabla?
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$…
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$ es $\frac{1}{11}$».
a) Explica el error de su razonamiento.
b) Calcula correctamente la probabilidad de obtener suma $12$.
c) ¿Cuál es la suma más probable? ¿Por qué?
Diagramas de árbol
Cuando cada etapa tiene pocas opciones (monedas, menús, respuestas de verdadero o falso), el diagrama de árbol es más claro: cada rama es una posibilidad y cada resultado es un camino completo desde la raíz hasta el final.
Principio de multiplicación: si una etapa tiene $m$ opciones y la siguiente $n$, en total hay $m \cdot n$ resultados. Con tres etapas se multiplican las tres cantidades. Así, un club con $3$ camisetas, $2$ pantalones y $2$ pares de zapatillas puede armar $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ conjuntos.
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura. a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) Escribe el espacio muestral. c) Escribe los casos de los…
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Escribe el espacio muestral.
c) Escribe los casos de los eventos «salir exactamente $2$ caras» y «salir alguna cara».
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama…
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama de la figura.
a) ¿Cuántos menús distintos se pueden formar?
b) Si un menú se elige completamente al azar, ¿cuántos incluyen pasta?
c) ¿Cuántos incluyen ensalada y yogur?
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul. a) Dibuja un diagrama de árbol y…
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul.
a) Dibuja un diagrama de árbol y escribe el espacio muestral.
b) ¿En cuántos resultados salen los tres colores distintos?
c) ¿En cuántos resultados hay al menos dos colores iguales?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un alumno responde completamente al azar. a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escribe el espacio muestral de sus…
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un alumno responde completamente al azar.
a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escribe el espacio muestral de sus respuestas, anotando en cada pregunta si acierta ($A$) o falla ($F$).
b) Escribe los casos del evento «acertar exactamente $2$ preguntas».
c) ¿Cuántos casos tiene el evento «fallar las $3$ preguntas»?
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, de la urna B. a) Escribe el espacio muestral del…
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, de la urna B.
a) Escribe el espacio muestral del experimento completo.
b) ¿Son equiprobables los cuatro resultados? Razona tu respuesta.
c) ¿En qué urna es más probable sacar bola roja?
Para entrenar, un club de baloncesto tiene $3$ camisetas (roja, azul y verde), $2$ shorts (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B). a) Dibuja un…
Para entrenar, un club de baloncesto tiene $3$ camisetas (roja, azul y verde), $2$ shorts (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B).
a) Dibuja un diagrama de árbol y calcula cuántos uniformes distintos se pueden formar.
b) ¿Cuántos uniformes incluyen la camiseta roja?
c) ¿Cuántos incluyen el short negro y los tenis del modelo A?
El código de un casillero del polideportivo tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella. a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden…
El código de un casillero del polideportivo tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella.
a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
b) ¿Cuántos códigos empiezan con estrella?
c) ¿Cuántos códigos tienen los tres símbolos iguales?
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja. a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enuméralas. b)…
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja.
a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enuméralas.
b) ¿Cuántas fichas son dobles (los dos números iguales)?
c) Describe el evento «la ficha contiene el $6$ o es doble» contando cuántos casos tiene.
Compara estas dos experiencias con urnas: Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar. Experiencia 2: se lanza una moneda;…
Compara estas dos experiencias con urnas:
-
Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar.
-
Experiencia 2: se lanza una moneda; solo si sale cara, se extrae una bola de una urna con $2$ bolas rojas y $1$ verde.
a) Escribe el espacio muestral de cada experiencia.
b) ¿En cuál de las dos es más fácil obtener bola roja? Razona la respuesta calculando y comparando la probabilidad de obtener bola roja en cada una.
Permutaciones y factorial
Valeria, Josué y María José se sacan una foto en fila. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse? Una permutación es una forma de ordenar todos los elementos de un grupo. Armemos el árbol (V, J y M son las iniciales):
-
Para el primer lugar hay $3$ opciones.
-
Para el segundo quedan $2$.
-
Para el tercero queda $1$.
Hay $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ formas. Este producto se llama factorial y se escribe $3!$.
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $n!$ | $1$ | $2$ | $6$ | $24$ | $120$ | $720$ |
Crece muy rápido. En la calculadora científica busca la tecla $x!$ (o $n!$): para $8!$ escribes 8 y presionas esa tecla; da $40{,}320$.
Vuelta al principio: en una sola tirada de moneda o de dado no puedes saber qué va a salir, pero al armar el espacio muestral de dos dados descubres que la suma más probable es $7$, con $6$ de los $36$ casos: $P(\text{suma } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.