Proporcionalidad directa
En el mercado de Masaya, tres nacatamales cuestan $\text{C}\$270$. ¿Cuánto cuestan seis? ¿Y uno solo? Cuando compras el doble, pagas el doble. Cuando compras la mitad, pagas la mitad. Esa regularidad se llama proporcionalidad directa, y en esta página vas a ver cómo reconocerla, cómo resolver problemas con ella y cómo se ve en un gráfico.
¿Qué es la proporcionalidad directa?
En un taller de serigrafía de Masaya, 3 camisetas cuestan $\text{C}\$600$. Fíjate en la tabla: cada precio es el de una camiseta multiplicado por la cantidad.
| Camisetas | 3 | 6 | 9 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (en córdobas) | 600 | 1,200 | 1,800 | 3,000 |
El cociente $\dfrac{\text{precio}}{\text{camisetas}}$ da siempre $200$: esa es la constante $k$ (el precio de una camiseta, en córdobas). La fórmula es $y = k \cdot x$, o sea $y = 200\,x$.
Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta: a) El número de personas que entran a un museo y…
Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:
- a) El número de personas que entran a un museo y el dinero recaudado por las entradas.
- b) La edad de una persona y su altura.
- c) El peso de las manzanas que compras y el precio total a pagar.
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
En una tienda de deportes, todas las camisetas del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno…
En una tienda de deportes, todas las camisetas del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por una camiseta).
| Número de camisetas | $2$ | $3$ | $5$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Precio ($\text{C\$}\ $) | $24$ |
Indica razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa: a) El número de entradas para un concierto y el…
Indica razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa:
- a) El número de entradas para un concierto y el precio total a pagar (sin cargos por servicio fijos).
- b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
- c) El peso de las manzanas compradas a granel y el costo de la compra.
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
- e) El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo (asumiendo una velocidad de lectura constante).
Valor unitario y constante
¿Por qué funciona? Al dividir repartes en partes iguales y averiguas cuánto toca a una unidad. Después, para $n$ unidades, tomas $n$ veces ese valor.
Si una llave vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierta durante $10$ minutos? Resuélvelo utilizando el método de…
Si una llave vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierta durante $10$ minutos? Resuélvelo utilizando el método de reducción a la unidad (calculando primero cuánto vierte en un minuto).
Marta pagó $157.50$ córdobas por $3$ cajas de marcadores para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero le…
Marta pagó $157.50$ córdobas por $3$ cajas de marcadores para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero le costarán esas $5$ cajas extra?
Una plataforma de streaming* de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $1\,232$ córdobas. a) Calcula la constante de…
Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $1\,232$ córdobas.
- a) Calcula la constante de proporcionalidad directa $k$ (precio por mes).
- b) Completa la siguiente tabla de valores:
| Tiempo (meses) | $1$ | $3$ | $6$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Precio ( córdobas) |
- c) ¿Cuántos meses podrías contratar si dispones de un presupuesto máximo de $3\,500$ córdobas?
Completar tablas y plantear la proporción
Otra forma de resolver es plantear una proporción con las dos razones iguales y operar de los dos lados de la igualdad. Lo importante es que cada razón tenga las magnitudes en el mismo orden.
Para escalas, el procedimiento es el mismo: en una escala $1:250$, cada centímetro del plano son $250$ cm reales, así que la constante es $k = 250$.
Para preparar un bizcocho para $6$ personas, se necesitan $300$ gramos de harina. Si queremos invitar a $15$ personas y que todos coman la misma proporción de bizcocho,…
Para preparar un bizcocho para $6$ personas, se necesitan $300$ gramos de harina. Si queremos invitar a $15$ personas y que todos coman la misma proporción de bizcocho, ¿qué cantidad de harina necesitaremos?
En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3.2$ cm y una anchura de $2.4$ cm. a) Calcula las dimensiones reales del salón en…
En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3.2$ cm y una anchura de $2.4$ cm.
- a) Calcula las dimensiones reales del salón en metros.
- b) Calcula el área real del salón en metros cuadrados.
Una empresa de fabricación de filamento para impresoras 3D sabe que la longitud del hilo extraído es directamente proporcional al tiempo de funcionamiento de la máquina…
Una empresa de fabricación de filamento para impresoras 3D sabe que la longitud del hilo extraído es directamente proporcional al tiempo de funcionamiento de la máquina extrusora. Si en $15$ minutos se producen $45$ metros de hilo de un grosor determinado:
-
a) ¿Cuántos kilómetros de hilo se fabricarán si la máquina trabaja sin interrupción durante una jornada laboral completa de $8$ horas?
-
b) Si el costo de producción es de $\text{C\$}\ 4.20$ por cada decámetro ($10\text{ m}$) de hilo, ¿cuál será el valor total de la producción tras esas $8$ horas?
Repartos y problemas con varias magnitudes
Un reparto directamente proporcional se resuelve con una constante: se suman las partes, se divide el total por esa suma y se multiplica por lo que corresponde a cada uno.
Si el enunciado mezcla unidades (metros y centímetros, minutos y horas, mL y L), pasa todo a una misma unidad antes de calcular. Y si los datos vienen en porcentajes ("el doble", "un 25 % más"), calcula primero cada dato y después usa la proporción.
Tres hermanos deciden repartirse los $5\,040$ córdobas que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$,…
Tres hermanos deciden repartirse los $5\,040$ córdobas que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$, $12$ y $14$ años respectivamente. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?
Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un…
Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un total de $14\,000$ componentes.
Si debido a un pedido urgente necesitan fabricar $25\,200$ componentes en los próximos $6$ días, ¿cuántas horas diarias deberán trabajar las máquinas para cumplir con el plazo, suponiendo que el ritmo de producción por hora no varía?
Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $\text{C\$}\ 1\,260…
Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $\text{C\$}\ 1\,260$ por publicidad. Acuerdan repartir el dinero de forma directamente proporcional a las horas que cada uno ha dedicado a grabar y editar contenido.
Marcos dedicó $12$ horas, Lucía dedicó el doble que Marcos, y Sergio dedicó tantas horas como la mitad de lo que dedicaron Marcos y Lucía juntos. Calcula cuánto dinero le corresponde a cada uno y determina cuál es la constante de proporcionalidad $k$ (dinero por hora trabajada).
La gráfica: una recta por el origen
La proporcionalidad directa es una función de primer grado de la forma $y = ax$: la constante de proporcionalidad $k$ es el coeficiente $a$. Si marcas los pares de valores en el plano cartesiano, los puntos quedan alineados y la recta pasa por el origen $(0, 0)$: con cero camisetas no se paga nada. La constante es la pendiente de la recta (la razón de cambio): cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta 1.
Muévelo tú: cambia $k$ y mira cómo se inclina la recta. Prueba también con valores negativos.
Cuando la constante es negativa
La constante $k$ también puede ser negativa. Si $k < 0$, al aumentar $x$ el valor de $y$ disminuye, pero la relación sigue siendo de proporcionalidad directa: al multiplicar $x$ por un número, $y$ queda multiplicada por ese mismo número. La recta pasa por el origen y es decreciente.
En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala…
En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala $1:50$ significa que $1$ cm en el dibujo equivale a $50$ cm en la realidad).
Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante: a) ¿Qué porcentaje…
Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante:
- a) ¿Qué porcentaje de batería se habrá cargado tras media hora ($30$ minutos)?
- b) ¿Cuánto tiempo total (en minutos y segundos) tardará el teléfono en pasar del $0\%$ al $100\%$ de carga?
La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa: a) Halla…
La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa:
-
a) Halla la constante de proporcionalidad $k$, que representa el precio por gramo.
-
b) Si una joya contiene un $15\%$ de impurezas (masa que no tiene valor) y pesa en total $24\text{ g}$, ¿cuál es el valor del metal puro que contiene basándote en la gráfica?
Volvamos al principio: si tres nacatamales cuestan $\text{C}\$270$, uno solo cuesta $270 : 3 = 90$ córdobas, y seis cuestan $6 \cdot 90 = \text{C}\$540$. Fue doble cantidad, doble precio.