Tableaux, indices, valeurs réelles et médiane
« Les salaires ont augmenté de 15 % en cinq ans », titre un journal. Mais si les prix ont augmenté de 18 % pendant ce temps, les salariés ont-ils vraiment gagné en pouvoir d'achat ? En SES, on ne se contente pas de lire un chiffre : on apprend à le calculer, à le comparer et à l'interpréter. Cette page te donne les outils pour y répondre.
Tableaux à double entrée et pourcentages
Un tableau à double entrée croise deux caractères d'une même population (par exemple le genre et le fait d'être demi-pensionnaire). Chaque case contient un effectif ; les totaux se lisent en marge.
Deux pourcentages différents se calculent à partir d'un même tableau :
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la part (ou proportion) d'une sous-population dans l'ensemble : $\dfrac{\text{effectif de la sous-population}}{\text{effectif total}} \times 100$ ;
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le pourcentage de répartition au sein d'une ligne ou d'une colonne : on divise par le total de cette ligne ou de cette colonne.
Le choix du dénominateur est la clé. Il se lit dans la phrase : « parmi les filles » signifie que l'on divise par le nombre de filles.
Dans un lycée de 400 élèves, 220 sont des filles ; 90 filles et 70 garçons sont demi-pensionnaires. a) Construire le tableau à double entrée (genre × demi-pensionnaire…
Dans un lycée de 400 élèves, 220 sont des filles ; 90 filles et 70 garçons sont demi-pensionnaires.
- a) Construire le tableau à double entrée (genre × demi-pensionnaire ou non).
- b) Calculer la part de demi-pensionnaires chez les filles et chez les garçons.
- c) Rédiger une phrase de lecture d'un de ces pourcentages.
Taux de variation et indices
Pour comparer une grandeur à deux dates, on calcule son taux de variation :
$$t = \frac{V_F - V_I}{V_I}$$où $V_I$ est la valeur initiale et $V_F$ la valeur finale. On l'exprime souvent en pourcentage. Le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + t = \dfrac{V_F}{V_I}$.
Un indice simple compare chaque valeur à une valeur de référence, la base 100 :
$$\text{indice} = \frac{\text{valeur}}{\text{valeur de base}} \times 100$$Un indice de 115 signifie « 15 % de plus qu'à la date de base ». Les indices permettent de comparer des séries exprimées dans des unités différentes.
On peut aussi analyser une série chronologique (valeurs à des dates successives) : variation absolue $V_F - V_I$, taux de variation, plus haute et plus basse valeur, tendance générale (hausse, baisse, retournement).
Le prix d'un panier de produits est de 80 € en 2015 (base 100) et de 92 € en 2023. a) Calculer l'indice du prix en 2023. b) Interpréter cet indice en une phrase. c)…
Le prix d'un panier de produits est de 80 € en 2015 (base 100) et de 92 € en 2023.
- a) Calculer l'indice du prix en 2023.
- b) Interpréter cet indice en une phrase.
- c) Calculer le taux de variation en pourcentage entre 2015 et 2023.
Le nombre de chômeurs en milliers dans une région pendant six trimestres est : 210, 215, 222, 218, 205, 198. a) Calculer la variation absolue entre le premier et le…
Le nombre de chômeurs en milliers dans une région pendant six trimestres est : 210, 215, 222, 218, 205, 198.
- a) Calculer la variation absolue entre le premier et le dernier trimestre.
- b) Calculer le taux de variation en pourcentage (arrondir à 0,1 %).
- c) Décrire en deux phrases l'évolution de la série et identifier le trimestre du maximum.
Valeur nominale, valeur réelle et pouvoir d'achat
Un salaire de 1 800 € peut-il acheter autant de baguettes dans dix ans ? Cela dépend des prix.
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La valeur nominale est la valeur exprimée en euros courants, sans tenir compte de la hausse des prix.
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La valeur réelle est la valeur corrigée de l'évolution des prix : elle est exprimée en euros d'une date de référence. Elle mesure le pouvoir d'achat.
Si l'indice des prix est $I$ (base 100 à la date de référence) :
$$\text{valeur réelle} = \frac{\text{valeur nominale}}{I} \times 100$$Pour comparer des évolutions, on utilise les coefficients multiplicateurs :
$$CM_{\text{réel}} = \frac{CM_{\text{nominal}}}{CM_{\text{prix}}}$$C'est la même logique pour le PIB : le PIB nominal est évalué aux prix de l'année ; le PIB en volume (ou réel) est corrigé de l'inflation. Seul le PIB en volume permet de parler de croissance économique.
Le salaire nominal d'une employée passe de 1 800 € à 1 980 € entre 2020 et 2024. Sur la même période, l'indice des prix passe de 100 à 112. a) Calculer le taux de…
Le salaire nominal d'une employée passe de 1 800 € à 1 980 € entre 2020 et 2024. Sur la même période, l'indice des prix passe de 100 à 112.
- a) Calculer le taux de variation du salaire nominal.
- b) Calculer le salaire réel de 2024 en euros de 2020.
- c) Conclure sur l'évolution du pouvoir d'achat.
Un journal écrit : « Les salaires ont augmenté de 15 % en cinq ans. » Pendant ces cinq ans, les prix ont augmenté de 18 %. a) Calculer l'évolution du pouvoir d'achat du…
Un journal écrit : « Les salaires ont augmenté de 15 % en cinq ans. » Pendant ces cinq ans, les prix ont augmenté de 18 %.
- a) Calculer l'évolution du pouvoir d'achat du salaire en pourcentage (arrondir à 0,1 %).
- b) Expliquer pourquoi on ne peut pas simplement soustraire 18 de 15.
- c) Rédiger une phrase de conclusion correcte pour le journal.
Un tableau donne l'indice du PIB (base 100 en 2010) et l'indice des prix (base 100 en 2010) d'un pays : en 2020, l'indice du PIB nominal est 130 et celui des prix est…
Un tableau donne l'indice du PIB (base 100 en 2010) et l'indice des prix (base 100 en 2010) d'un pays : en 2020, l'indice du PIB nominal est 130 et celui des prix est 120.
- a) Calculer l'indice du PIB réel en 2020 (base 100 en 2010).
- b) Calculer la croissance réelle cumulée entre 2010 et 2020.
- c) Montrer pourquoi comparer des valeurs nominales à des dates différentes peut conduire à une conclusion erronée, et indiquer la démarche correcte.
Moyenne, médiane et indice synthétique
Moyenne et médiane
La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par leur nombre. Si les valeurs ont des effectifs différents, on calcule une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son coefficient (ou effectif), on additionne, puis on divise par la somme des coefficients.
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, 50 % supérieures ou égales. Pour une série de $n$ valeurs rangées dans l'ordre croissant :
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si $n$ est impair, c'est la valeur du milieu ;
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si $n$ est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : un seul très haut salaire la tire vers le haut. La médiane n'en dépend presque pas : elle est plus robuste.
Lire une série chronologique
Indice synthétique
Un indice synthétique résume plusieurs indicateurs en un seul nombre. L'IDH (indice de développement humain) combine par exemple santé, éducation et niveau de vie. On calcule une moyenne, simple ou pondérée. Le choix des pondérations est un choix de valeurs : il peut changer le classement.
Une série de salaires mensuels nets dans une petite entreprise de Rennes : 1 400 €, 1 500 €, 1 600 €, 1 800 €, 4 200 €. a) Calculer le salaire moyen. b) Déterminer le…
Une série de salaires mensuels nets dans une petite entreprise de Rennes : 1 400 €, 1 500 €, 1 600 €, 1 800 €, 4 200 €.
- a) Calculer le salaire moyen.
- b) Déterminer le salaire médian.
- c) Expliquer pourquoi la médiane est ici plus représentative que la moyenne.
Un indice synthétique de bien-être pour trois villes combine trois indicateurs notés sur 100 : santé, éducation, revenu. Ville A : 80, 70, 60. Ville B : 65, 85, 70.…
Un indice synthétique de bien-être pour trois villes combine trois indicateurs notés sur 100 : santé, éducation, revenu. Ville A : 80, 70, 60. Ville B : 65, 85, 70. Ville C : 90, 60, 55.
- a) Calculer l'indice synthétique de chaque ville comme moyenne simple des trois notes.
- b) Classer les villes.
- c) Recalculer en pondérant le revenu deux fois plus que les deux autres indicateurs et indiquer si le classement change.
Une entreprise compte 10 salariés : six gagnent 1 500 € par mois, trois gagnent 2 500 € et le dirigeant gagne 14 000 €. a) Calculer le salaire moyen et le salaire…
Une entreprise compte 10 salariés : six gagnent 1 500 € par mois, trois gagnent 2 500 € et le dirigeant gagne 14 000 €.
- a) Calculer le salaire moyen et le salaire médian.
- b) Expliquer l'écart entre ces deux indicateurs.
- c) Si le dirigeant voit son salaire passer à 20 000 €, déterminer ce qui change pour la moyenne et pour la médiane, et en tirer une conclusion sur la robustesse de la médiane.
Vers le début : un salaire en hausse de 15 % avec des prix en hausse de 18 % donne $\dfrac{1{,}15}{1{,}18} - 1 \approx -2{,}5\,\%$. Le pouvoir d'achat a donc légèrement baissé, contrairement à ce que laisse croire le titre du journal.
L'essentiel
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Dans un tableau à double entrée, le sens d'un pourcentage dépend du dénominateur : total de la ligne, de la colonne ou de l'ensemble.
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Taux de variation : $t = \dfrac{V_F - V_I}{V_I}$ ; $CM = 1 + t$ ; indice (base 100) $= \dfrac{\text{valeur}}{\text{valeur de base}} \times 100$.
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Valeur réelle $= \dfrac{\text{valeur nominale}}{\text{indice des prix}} \times 100$. Pour le pouvoir d'achat : $CM_{\text{réel}} = \dfrac{CM_{\text{nominal}}}{CM_{\text{prix}}}$. On ne soustrait pas deux taux.
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La médiane partage la série en deux groupes égaux ; elle est plus robuste que la moyenne face aux valeurs extrêmes.
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Un indice synthétique est une moyenne (simple ou pondérée) d'indicateurs ; les pondérations peuvent changer le classement.