Moyenne, médiane et indices

Moyenne et médiane

Pour résumer une série de valeurs par un seul nombre, on dispose de deux outils.

Pour trouver la médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif $n$ est impair, c'est la valeur du milieu. Si $n$ est pair, c'est le milieu des deux valeurs centrales, c'est-à-dire leur moyenne.

Regarde les salaires mensuels nets de six salariés de la boulangerie : 1 400 €, 1 500 €, 1 600 €, 1 700 €, 1 800 € et 4 000 € (celui du gérant).

Moyenne : $\dfrac{1\,400 + 1\,500 + 1\,600 + 1\,700 + 1\,800 + 4\,000}{6} = \dfrac{12\,000}{6} = 2\,000$ €.

Médiane : $n = 6$ est pair. Les deux valeurs centrales sont 1 600 € et 1 700 €, donc la médiane vaut $\dfrac{1\,600 + 1\,700}{2} = 1\,650$ €.

Un seul salaire très élevé a tiré la moyenne vers le haut. La médiane, elle, n'a presque pas bougé. On dit que la médiane est robuste aux valeurs extrêmes, alors que la moyenne y est sensible. Tu peux le vérifier toi-même en modifiant les données ci-dessous.

Retrouver une valeur manquante

Comme $\bar x = \dfrac{\text{somme}}{n}$, on a : somme = $n \times \bar x$. Si on connaît la moyenne et $n - 1$ valeurs, on obtient la valeur manquante par soustraction. Exemple : 4 salariés gagnent 1 400 €, 1 500 €, 1 600 € et 1 700 € et la moyenne des 5 est 2 000 €. La somme totale est $5 \times 2\,000 = 10\,000$. Les quatre premiers totalisent 6 200, donc le cinquième gagne $10\,000 - 6\,200 = 3\,800$ €.

Quand les données sont groupées (effectifs), chaque valeur est comptée autant de fois que son effectif. Pour la médiane, on cumule les effectifs jusqu'à atteindre la moitié de l'effectif total.

Retour au début : la moyenne de 2 000 € de la boulangerie est tirée vers le haut par le salaire du gérant. La médiane (1 650 €) décrit mieux le salarié « du milieu ».

Moyenne pondérée

Au lycée, ta moyenne trimestrielle n'est pas une moyenne simple : la SES compte plus qu'une option. Chaque valeur a un poids (un coefficient, un effectif ou une proportion). C'est le principe de la moyenne pondérée.

Pourquoi cette formule ? Une valeur de coefficient 3 compte comme si elle apparaissait 3 fois dans la série. On additionne donc toutes les « copies » et on divise par le nombre total de copies, c'est-à-dire la somme des coefficients.

On utilise aussi la moyenne pondérée pour les effectifs : le salaire moyen d'une entreprise où 10 salariés gagnent 1 500 € et 5 gagnent 2 400 € vaut $\dfrac{10 \times 1\,500 + 5 \times 2\,400}{15} = \dfrac{27\,000}{15} = 1\,800$ €. Ici, les poids sont les effectifs.

Taux de variation, indices et valeur réelle

Pour comparer des prix ou des salaires à des dates différentes, on se sert de pourcentages d'évolution et d'indices.

Exemple : un abonnement de bus passe de 30 € à 36 €. Alors $CM = \dfrac{36}{30} = 1{,}2$ et $t = +20\,\%$.

Un indice de 120 en 2024 (base 100 en 2019) veut dire que la valeur a augmenté de 20 % depuis 2019. Pour comparer deux dates, ni l'une ni l'autre n'étant la base, on divise les indices : $CM = \dfrac{I_{t_2}}{I_{t_1}}$. Avec des indices de 104 et 110, le coefficient multiplicateur est $\dfrac{110}{104} \approx 1{,}0577$, soit environ $+5{,}8\,\%$. Attention, ce n'est pas $110 - 104 = 6\,\%$ : la différence des indices est en points, pas en pourcentage.

Valeur nominale et valeur réelle

Un salaire de 1 800 € en 2020 et un salaire de 1 980 € en 2024 ne s'achètent pas avec le même pouvoir d'achat, si les prix ont monté. On distingue :

• la valeur nominale : le montant en euros courants, tel qu'on le reçoit ;

• la valeur réelle : le montant corrigé de l'évolution des prix, en euros constants d'une année de base.

Pourquoi diviser ? Si les prix ont augmenté de 10 % (indice 110), chaque euro d'aujourd'hui « vaut » $\dfrac{100}{110}$ d'euro de l'année de base.

Taux annuel moyen

Quand une valeur évolue sur $n$ années avec un coefficient multiplicateur global $CM$, le taux annuel moyen est celui qui, appliqué chaque année, redonne le même résultat : $CM_{\text{annuel}} = CM^{1/n} = \sqrt[n]{CM}$. Exemple : les prix augmentent de 21 % en 2 ans, donc $CM = 1{,}21$ et $CM_{\text{annuel}} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$. L'inflation moyenne est de 10 % par an, et non de $\dfrac{21}{2} = 10{,}5\,\%$.

Indice synthétique

Comment mesurer le « développement » ou le « bien-être » d'un pays avec un seul nombre ? Un seul indicateur ne suffit pas : le revenu par habitant ne dit rien de la santé ni de l'éducation. On construit donc un indice synthétique : un nombre unique qui résume plusieurs indicateurs.

Intérêt : résumer, comparer des pays ou des dates, suivre une évolution. Limites : le choix des indicateurs et des poids est arbitraire, et un bon score sur un critère peut en compenser un mauvais. Deux situations très différentes peuvent donner le même indice.

Moyenne arithmétique ou géométrique ?

Pour limiter cet effet de compensation, certains indices utilisent la moyenne géométrique de $n$ indices : $\sqrt[n]{I_1 \times I_2 \times \dots \times I_n}$. Avec deux indices de 0,9 et 0,4, la moyenne arithmétique vaut 0,65, mais la moyenne géométrique vaut $\sqrt{0{,}9 \times 0{,}4} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6$. Elle est plus basse : plus les composantes sont inégales, plus l'écart avec la moyenne arithmétique est grand. Quand les composantes sont égales, les deux moyennes coïncident.

L'essentiel

• La moyenne $\bar x = \dfrac{\text{somme}}{n}$ est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane coupe la série ordonnée en deux groupes de même effectif et y est robuste. Moyenne supérieure à médiane : quelques valeurs très élevées tirent la moyenne vers le haut.

• Moyenne pondérée : $\dfrac{\sum c_i x_i}{\sum c_i}$ ; on divise par la somme des poids, pas par le nombre de valeurs.

• Taux de variation $t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$ ; coefficient multiplicateur $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$. Indice simple : $I_t = \dfrac{V_t}{V_0} \times 100$. Une différence d'indices est en points, pas en %.

• Valeur réelle $= \dfrac{\text{valeur nominale}}{\text{indice des prix}} \times 100$ (euros constants). Le pouvoir d'achat évolue comme $\dfrac{CM_{\text{salaire}}}{CM_{\text{prix}}}$. Taux annuel moyen : $CM^{1/n}$.

• Un indice synthétique résume plusieurs indicateurs par une moyenne pondérée (ou géométrique). Il est pratique pour comparer, mais le choix des indicateurs et des poids est discutable et les compensations masquent les écarts.