Das Cavendish-Experiment
Zwei Personen mit je 70 kg stehen in der U-Bahn in Köln 1 m voneinander entfernt. Nach Newton ziehen sie sich an. Trotzdem spürt das niemand. Wie klein ist diese Kraft, und wie hat man sie bei Kugeln im Labor überhaupt nachgewiesen?
Das Gravitationsgesetz als Maßstab
Newton behauptete: Zwei beliebige Körper ziehen sich an, nicht nur Erde und Mond. Für zwei Körper mit den Massen $m_1$ und $m_2$, deren Mittelpunkte den Abstand $r$ haben, gilt
$$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$mit der Gravitationskonstante $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N\,m^2}{kg^2}}$.
Der Zahlenwert von $G$ ist winzig. Deshalb ist die Anziehung im Alltag kaum messbar. Für die beiden Personen in der U-Bahn gilt:
$$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{70 \cdot 70}{1^2}\,\mathrm{N} \approx 3{,}3 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N}$$Das entspricht der Gewichtskraft eines Körpers der Masse von etwa 0,03 g (rund 30 mg), also etwa eines kleinen Sandkorns. Andere Kräfte, z. B. durch Bewegung, sind viel größer.
Zwei Kugeln mit $m_1 = 0,75\ \text{kg}$ und $m_2 = 0,020\ \text{kg}$ haben einen Mittelpunktsabstand von $r = 0,050\ \text{m}$. Es gilt…
Zwei Kugeln mit $m_1 = 0,75\ \text{kg}$ und $m_2 = 0,020\ \text{kg}$ haben einen Mittelpunktsabstand von $r = 0,050\ \text{m}$. Es gilt $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2/\text{kg}^2$.
- a) Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen den Kugeln.
- b) Vergleichen Sie sie mit der Gewichtskraft der kleinen Kugel.
Die Drehwaage: Aufbau und Idee
Eine so kleine Kraft kann man nicht mit einer Federwaage messen. Henry Cavendish (1798) nutzte eine Drehwaage. Eine leichte Hantel hängt waagerecht an einem sehr dünnen Draht. An ihren Enden sitzen zwei kleine Bleikugeln. Seitlich davon werden zwei große Bleikugeln so nah herangebracht, dass jede eine kleine Kugel anzieht.
Die beiden Kräfte (grün) bilden ein Kräftepaar: Sie wirken an den Stabenden in entgegengesetzte Richtung und drehen die Hantel. Der Draht wird dadurch verdrillt, bis seine Gegenkraft die Drehung stoppt. Aus dem Drehwinkel lässt sich die Anziehungskraft bestimmen.
Drehmoment und Richtgröße
Das Drehmoment einer Kraft senkrecht zum Hebelarm ist $M = F \cdot \ell$. Die Hantel hat die Länge $L$. Beide Kräfte greifen im Abstand $L/2$ vom Draht an, also gilt
$$M = 2 \cdot F \cdot \frac{L}{2} = F \cdot L$$Der Draht wirkt wie eine Drehfeder. Sein Gegenmoment ist proportional zum Verdrehwinkel $\varphi$ (im Bogenmaß):
$$M = D \cdot \varphi$$Die Richtgröße $D$ (Einheit $\mathrm{N\,m}$) ist die Drehentsprechung der Federkonstante. Sie lässt sich aus der Schwingungsdauer der Hantel ermitteln:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}} \quad\Rightarrow\quad D = \frac{4\pi^2 I}{T^2}$$Dabei ist $I$ das Trägheitsmoment der Hantel (kg m²).
Beim Cavendish-Experiment hängt eine Hantel mit zwei kleinen Bleikugeln an einem dünnen Draht. Zwei große Bleikugeln werden seitlich nahe an die kleinen herangeführt. a)…
Beim Cavendish-Experiment hängt eine Hantel mit zwei kleinen Bleikugeln an einem dünnen Draht. Zwei große Bleikugeln werden seitlich nahe an die kleinen herangeführt.
- a) Beschreiben Sie, was beobachtet wird.
- b) Erklären Sie, was dies über die Massenanziehung aussagt.
Bei der Drehwaage sitzen zwei kleine Kugeln ($m = 0,030\ \text{kg}$) an den Enden eines Stabs der Länge $0,20\ \text{m}$. Eine große Kugel ($M = 1,5\ \text{kg}$) hat von…
Bei der Drehwaage sitzen zwei kleine Kugeln ($m = 0,030\ \text{kg}$) an den Enden eines Stabs der Länge $0,20\ \text{m}$. Eine große Kugel ($M = 1,5\ \text{kg}$) hat von einer kleinen einen Mittelpunktsabstand von $0,045\ \text{m}$ ($G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2/\text{kg}^2$).
- a) Berechnen Sie die Anziehungskraft zwischen einer großen und einer kleinen Kugel.
- b) Berechnen Sie das Drehmoment auf die Hantel, wenn auf beide kleine Kugeln je eine große Kugel mit dieser Kraft wirkt (Kraftrichtung senkrecht zum Stab).
G und die Erdmasse bestimmen
Aus der Messung kennt man $F$, $m_1$, $m_2$ und $r$. Das Gravitationsgesetz lässt sich nach $G$ auflösen:
$$G = \frac{F \cdot r^2}{m_1 \cdot m_2}$$Die Erde „wiegen“
Ein Körper der Masse $m$ an der Erdoberfläche erfährt die Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$. Dieselbe Kraft ist die Gravitationskraft der Erde. Der Abstand ist der Erdradius $R_E$:
$$m \cdot g = G \cdot \frac{m \cdot M_E}{R_E^2} \quad\Rightarrow\quad M_E = \frac{g \cdot R_E^2}{G}$$Die Masse $m$ kürzt sich weg. Vor Cavendish kannte man $g$ und $R_E$, aber nicht $G$. Erst mit $G$ ließ sich die Erdmasse berechnen. Daher stammt der Satz „Cavendish hat die Erde gewogen“.
Mit $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$, $R_E = 6{,}37 \cdot 10^6\,\mathrm{m}$ und $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ ergibt sich
$$M_E = \frac{9{,}81 \cdot (6{,}37 \cdot 10^6)^2}{6{,}67 \cdot 10^{-11}}\,\mathrm{kg} \approx 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}$$Mit dem Kugelvolumen $V = \tfrac{4}{3}\pi R_E^3$ erhält man die mittlere Dichte $\rho = M_E / V$.
Aus der gemessenen Kraft $F = 1,0 \cdot 10^{-9}\ \text{N}$ zwischen $m_1 = 0,80\ \text{kg}$ und $m_2 = 0,040\ \text{kg}$ im Abstand $r = 0,046\ \text{m}$ soll $G$…
Aus der gemessenen Kraft $F = 1,0 \cdot 10^{-9}\ \text{N}$ zwischen $m_1 = 0,80\ \text{kg}$ und $m_2 = 0,040\ \text{kg}$ im Abstand $r = 0,046\ \text{m}$ soll $G$ bestimmt werden.
- a) Berechnen Sie $G$.
- b) Berechnen Sie mit dem Wert für $G$ aus a), $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ und $R_E = 6,37 \cdot 10^6\ \text{m}$ die Erdmasse.
Cavendish wird oft als „Wiegen der Erde“ bezeichnet. a) Erläutern Sie, warum die Bestimmung von $G$ die Berechnung der Erdmasse ermöglicht. b) Berechnen Sie die mittlere…
Cavendish wird oft als „Wiegen der Erde“ bezeichnet.
- a) Erläutern Sie, warum die Bestimmung von $G$ die Berechnung der Erdmasse ermöglicht.
- b) Berechnen Sie die mittlere Dichte der Erde ($R_E = 6,37 \cdot 10^6\ \text{m}$, $g = 9,81\ \text{m/s}^2$, $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2/\text{kg}^2$) und vergleichen Sie mit der Dichte von Granit ($2.700\ \text{kg/m}^3$).
- c) Folgern Sie, was dies über den Aufbau der Erde aussagt.
Störungen und Empfindlichkeit
Die gemessene Kraft liegt bei etwa $10^{-10}\,\mathrm{N}$ bis $10^{-9}\,\mathrm{N}$. Kleinste Störungen können sie überdecken.
| Störung | Wirkung | Gegenmaßnahme |
|---|---|---|
| Luftströmung | Luft schiebt die Kugeln | Messung im geschlossenen Gehäuse oder Vakuum |
| Erschütterung | Hantel schwingt zusätzlich | ruhiger Raum, Messung ohne Bewegung in der Nähe |
| Temperaturunterschiede | Konvektion, Drahtlänge ändert sich | gleichmäßige Temperatur, Isolierung |
| Elektrische und magnetische Kräfte | zusätzliche Kräfte auf die Kugeln | Abschirmung |
Cavendish stellte die Apparatur deshalb in einen eigenen Raum und las die Auslenkung aus der Ferne mit dem Fernrohr ab.
Die Empfindlichkeit hängt vom Draht ab. Für den Gleichgewichtswinkel gilt $\varphi = M/D$. Ein dünner Draht hat eine kleine Richtgröße $D$, also dreht dasselbe Drehmoment weiter. Der Effekt wird sichtbar. Die Schwingungsdauer $T = 2\pi\sqrt{I/D}$ wird dadurch aber sehr lang, im Beispiel oben mehrere Minuten.
Die Anziehungskraft zwischen den Kugeln ist sehr klein, deshalb müssen Störungen minimiert werden. a) Nennen Sie zwei mögliche Störungen (z. B. Luftströmung,…
Die Anziehungskraft zwischen den Kugeln ist sehr klein, deshalb müssen Störungen minimiert werden.
- a) Nennen Sie zwei mögliche Störungen (z. B. Luftströmung, Erschütterung, Temperatur).
- b) Erläutern Sie, wie man sie im Aufbau verringert.
- c) Erklären Sie, warum ein dünner Draht die Empfindlichkeit erhöht.
Eine Drehwaage zeigt nach Annäherung der großen Kugeln eine Auslenkung. Die Schwingungsdauer des Systems beträgt $T = 600\ \text{s}$, das Trägheitsmoment der Hantel…
Eine Drehwaage zeigt nach Annäherung der großen Kugeln eine Auslenkung. Die Schwingungsdauer des Systems beträgt $T = 600\ \text{s}$, das Trägheitsmoment der Hantel $I = 1,0 \cdot 10^{-3}\ \text{kg m}^2$. Die Richtgröße $D$ des Drahts folgt aus $T = 2\pi\sqrt{I/D}$.
- a) Berechnen Sie $D$.
- b) Das Drehmoment durch die Anziehung beträgt $M = 3,0 \cdot 10^{-10}\ \text{N m}$. Berechnen Sie den Auslenkwinkel im Gleichgewicht ($M = D\,\varphi$).
- c) Beurteilen Sie, warum ein langer Beobachtungszeitraum nötig ist.
Bedeutung des Experiments
Das Cavendish-Experiment lieferte zwei Ergebnisse.
-
Die Massenanziehung ist allgemein. Sie wirkt zwischen Kugeln im Labor genauso wie zwischen Himmelskörpern. Das Gravitationsgesetz galt damit nicht nur für Planeten, sondern für alle Körper.
-
Ein Zahlenwert für G. Erst damit wurde das Gesetz quantitativ. Aus $G$ folgen die Erdmasse und die Masse anderer Himmelskörper, etwa der Sonne über die Bahndaten der Planeten und das 3. Kepler'sche Gesetz.
Die mittlere Dichte der Erde ist mit etwa $5{,}5\,\mathrm{g/cm^3}$ doppelt so groß wie die von Granit ($2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}$), also von typischem Gestein der Erdkruste. Daraus folgt, dass im Inneren der Erde viel dichteres Material liegen muss, nämlich ein schwerer Kern aus Eisen und Nickel.
Zurück zum Anfang: Die beiden Personen in der U-Bahn ziehen sich mit etwa $3 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N}$ an. Das ist zu klein, um es zu spüren, aber nicht null. Die Drehwaage macht solche Kräfte messbar.
a) Erklären Sie, warum man im Alltag die Anziehung zwischen zwei Menschen nicht bemerkt. b) Nennen Sie, was Cavendish durch sein Experiment zusätzlich bestimmen konnte.
- a) Erklären Sie, warum man im Alltag die Anziehung zwischen zwei Menschen nicht bemerkt.
- b) Nennen Sie, was Cavendish durch sein Experiment zusätzlich bestimmen konnte.
Ein Schüler behauptet: „Das Cavendish-Experiment zeigt, dass Gravitation nur zwischen sehr großen Körpern wie Planeten wirkt.“ a) Widerlegen Sie die Aussage mit Bezug…
Ein Schüler behauptet: „Das Cavendish-Experiment zeigt, dass Gravitation nur zwischen sehr großen Körpern wie Planeten wirkt.“
- a) Widerlegen Sie die Aussage mit Bezug auf den Versuch.
- b) Erörtern Sie, welche Bedeutung der Nachweis für das Newtonsche Gravitationsgesetz hatte.