Planung, Messunsicherheit und Auswertung · Physik EF

Ein Experiment planen

Ein physikalisches Experiment beantwortet immer eine gezielte Frage, zum Beispiel: „Hängt die Fallzeit einer Kugel von der Fallhöhe ab?“ Aus der Frage ergibt sich die Planung.

Warum die Variablenkontrolle? Nur wenn eine einzige Größe verändert wird, lässt sich eine Änderung der Messgröße eindeutig auf sie zurückführen. Werden zwei Größen gleichzeitig verändert, ist unklar, welche den Effekt verursacht hat.

Für den Fallversuch gilt:

Konstant gehalten werden zum Beispiel die Kugel (Masse, Größe), der Ort der Messung und die Art der Zeitmessung (immer dieselbe Lichtschranke).
Jede Einstellung wird mehrfach gemessen, damit zufällige Schwankungen sichtbar werden.
Die Messwerte werden in einer Tabelle festgehalten.

Planung: Ist die Beschleunigung proportional zur Kraft?

Ein Wagen auf einer Bahn wird über einen Faden und eine Umlenkrolle von Gewichtsstücken gezogen. Eine Lichtschranke misst die Beschleunigung.

Zuerst legen wir die Größen fest. Die ziehende Kraft $F$ ist die unabhängige Variable, die Beschleunigung $a$ die abhängige. Konstant bleiben die Bahnneigung, die Reibung und die Gesamtmasse des beschleunigten Systems.

Hier liegt die Schwierigkeit: Wird ein Gewichtsstück vom Wagen an den Faden gehängt, ändert sich die Fadenkraft, aber die Gesamtmasse (Wagen + Gewichtsstücke) bleibt gleich. Deshalb werden zu Beginn alle Gewichtsstücke auf den Wagen gelegt und für jede Messung eines nach dem anderen an den Faden umgehängt.

Pro Kraftstufe werden mehrere Fahrten gemessen und gemittelt. Die Kraft ergibt sich aus der Gewichtskraft der angehängten Stücke, $F = m_\text{Faden} \cdot g$.

Wie lautet das Kriterium für „proportional“, wenn Sie die Messwerte in ein $F$-$a$-Diagramm eintragen? Notieren Sie es, bevor Sie weiterlesen.

Die Messpunkte liegen im Rahmen der Unsicherheit auf einer Ursprungsgeraden. Die Steigung entspricht $1/m_\text{ges}$.

Üben★☆☆

Sie wollen untersuchen, wie die Fallzeit einer Kugel von der Fallhöhe abhängt. a) Nennen Sie die unabhängige und die abhängige Variable. b) Nennen Sie zwei Größen, die…

Sie wollen untersuchen, wie die Fallzeit einer Kugel von der Fallhöhe abhängt.

a) Nennen Sie die unabhängige und die abhängige Variable.
b) Nennen Sie zwei Größen, die konstant gehalten werden müssen.

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Üben★★★

Eine Gruppe soll experimentell prüfen, ob die Beschleunigung eines Wagens auf einer Bahn proportional zur ziehenden Kraft ist. Sie verwendet Gewichtsstücke am Faden über…

Eine Gruppe soll experimentell prüfen, ob die Beschleunigung eines Wagens auf einer Bahn proportional zur ziehenden Kraft ist. Sie verwendet Gewichtsstücke am Faden über eine Umlenkrolle und eine digitale Lichtschranke.

a) Planen Sie den Versuch mit Variablenkontrolle (unabhängige, abhängige, konstante Größen); berücksichtigen Sie, dass sich die Gesamtmasse beim Umhängen der Gewichtsstücke nicht ändern soll.
b) Nennen Sie drei systematische Fehlerquellen und deren Wirkung.
c) Beschreiben Sie, wie Sie aus den Messdaten die Proportionalität in einem Diagramm prüfen und beurteilen.

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Messunsicherheit und Fehlerarten

Misst man dieselbe Größe mehrmals, erhält man leicht verschiedene Werte. Ein Messergebnis ist deshalb nie „der“ Wert, sondern ein Wert mit einer Unsicherheit.

Man unterscheidet zwei Fehlerarten:

Zufällige Fehler streuen in beide Richtungen (z. B. Reaktionszeit beim Stoppen von Hand). Sie lassen sich durch mehrfaches Messen und Mitteln verringern.
Systematische Fehler verfälschen alle Messwerte in dieselbe Richtung (z. B. eine falsch kalibrierte Waage, Reibung, ein falsch gesetzter Nullpunkt). Mittelwertbildung hilft nicht dagegen.

Für eine Messreihe $x_1, \dots, x_n$ verwendet man:

Die halbe Spannweite ist ein einfaches Maß dafür, wie weit die Einzelwerte um den Mittelwert streuen.

Güte digitaler Messungen

Auch Smartphone-Apps, Lichtschranken und Messwerterfassungssysteme liefern keine exakten Werte. Zur Beurteilung der Güte dienen:

Auflösung: der kleinste unterscheidbare Wertunterschied.
Rauschen: zufällige Schwankungen der Werte, auch wenn sich die Größe gar nicht ändert.
Abtastrate: Anzahl der Messwerte pro Sekunde (in Hz). Bei $10\,\mathrm{Hz}$ liegt alle $0{,}1\,\mathrm{s}$ ein Wert vor. Schnelle Vorgänge werden dann nur grob erfasst.
Kalibrierung: der Abgleich mit einer bekannten Referenz. Ein Sensor mit Nullpunktfehler erzeugt einen systematischen Fehler.

Verbessern lässt sich die Messung durch Mitteln über viele Werte (gegen Rauschen), Kalibrieren am ruhenden Gerät, eine höhere Abtastrate und mehrere Wiederholungen.

Üben★☆☆

Fünf Messungen der Fallzeit aus $1,00\ \text{m}$ Höhe ergeben: $0,46\ \text{s}$; $0,45\ \text{s}$; $0,47\ \text{s}$; $0,46\ \text{s}$; $0,44\ \text{s}$. a) Berechnen Sie…

Fünf Messungen der Fallzeit aus $1,00\ \text{m}$ Höhe ergeben: $0,46\ \text{s}$; $0,45\ \text{s}$; $0,47\ \text{s}$; $0,46\ \text{s}$; $0,44\ \text{s}$.

a) Berechnen Sie den Mittelwert.
b) Geben Sie die Messunsicherheit als halbe Spannweite (Maximum minus Minimum, geteilt durch 2) an.

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Üben★★☆

Bei einem Zentripetalkraft-Experiment wird ein Stopfen der Masse $m = 0,050\ \text{kg}$ an einer Schnur auf einem Kreis mit Radius $r = 0,80\ \text{m}$ geschwungen. Die…

Bei einem Zentripetalkraft-Experiment wird ein Stopfen der Masse $m = 0,050\ \text{kg}$ an einer Schnur auf einem Kreis mit Radius $r = 0,80\ \text{m}$ geschwungen. Die Zeit für 10 Umläufe beträgt $12,5\ \text{s}$.

a) Berechnen Sie die Umlaufdauer $T$ und die Bahngeschwindigkeit.
b) Berechnen Sie die Zentripetalkraft $F = m v^2/r$.
c) Die Kraft wird mit einem Federkraftmesser zu $1,0\ \text{N}$ abgelesen. Vergleichen Sie und nennen Sie mögliche Fehlerquellen.

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Unsicherheit bei berechneten Größen

Oft wird eine Größe nicht direkt gemessen, sondern aus Messwerten berechnet, zum Beispiel die Dichte $\rho = m/V$ oder die Geschwindigkeit $v = a \cdot t$. Dann überträgt sich die Unsicherheit der Eingangsgrößen auf das Ergebnis.

Die Begründung: Sind beide Faktoren gleichzeitig am oberen Rand ihres Unsicherheitsbereichs, ist das Produkt um etwa die Summe der Prozentwerte zu groß. Die Addition liefert also eine vorsichtige Obergrenze.

Üben★★☆

Die Dichte eines Quaders wird bestimmt: Masse $m = (125,0 \pm 0,5)\ \text{g}$, Kantenlängen $a = (5,00 \pm 0,05)\ \text{cm}$, $b = (4,00 \pm 0,05)\ \text{cm}$,…

Die Dichte eines Quaders wird bestimmt: Masse $m = (125,0 \pm 0,5)\ \text{g}$, Kantenlängen $a = (5,00 \pm 0,05)\ \text{cm}$, $b = (4,00 \pm 0,05)\ \text{cm}$, $c = (2,50 \pm 0,05)\ \text{cm}$.

a) Berechnen Sie die Dichte.
b) Berechnen Sie die relativen Unsicherheiten von $m$, $a$, $b$, $c$ und schätzen Sie die relative Unsicherheit der Dichte durch Addition ab.
c) Geben Sie das Ergebnis mit absoluter Unsicherheit an.

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Üben★★★

Ein Schüler misst mit einer Smartphone-App die Beschleunigung beim Anfahren eines Regionalzugs bei Köln. Die App liefert $a = 0,85\ \text{m/s}^2$ bei einer Abtastrate…

Ein Schüler misst mit einer Smartphone-App die Beschleunigung beim Anfahren eines Regionalzugs bei Köln. Die App liefert $a = 0,85\ \text{m/s}^2$ bei einer Abtastrate von $10\ \text{Hz}$; die Werte schwanken um $\pm 0,15\ \text{m/s}^2$.

a) Beurteilen Sie die Güte der Messung (Auflösung, Rauschen, Kalibrierung des Sensors).
b) Schlagen Sie zwei Maßnahmen zur Verbesserung vor.
c) Der Zug beschleunigt aus dem Stand $20\ \text{s}$ lang mit konstanter Beschleunigung. Berechnen Sie die erreichte Geschwindigkeit samt Unsicherheit.

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Messdaten auswerten: Tabelle, Diagramm, Gesetz

Aus einer Messreihe soll ein funktionaler Zusammenhang ermittelt werden. Dafür gibt es ein Standardverfahren.

Messwerte in eine Tabelle eintragen.
Eine Vermutung aufstellen (proportional? quadratisch? umgekehrt proportional?).
Prüfen: Die Größe $\dfrac{y}{x^n}$ wird berechnet und sollte konstant sein.
Das Diagramm linearisieren: Man trägt $y$ über $x^n$ auf. Liegen die Punkte auf einer Geraden, stimmt die Vermutung.
Aus der Steigung der Ausgleichsgeraden die gesuchte Größe bestimmen.

Zusammenhang aus einer Tabelle

Ein Wagen wird digital erfasst:

$t$ in s	0	1	2	3
$s$ in m	0	0,5	2,0	4,5

Vermutung: Die Strecke wächst nicht proportional zu $t$, denn $s/t$ ergibt $0{,}5$; $1{,}0$; $1{,}5$ und ist nicht konstant.

Test auf quadratischen Zusammenhang: $s/t^2 = 0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ in allen drei Fällen. Der Quotient ist konstant.

Also gilt $s = 0{,}5\,\mathrm{m/s^2} \cdot t^2$. Der Vergleich mit $s = \tfrac12 a t^2$ zeigt $a = 1{,}0\,\mathrm{m/s^2}$: eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe.

Fallbeschleunigung aus der Steigung

Gemessen wurden Fallhöhen $h$ und Fallzeiten $t$. Nach $h = \tfrac12 g t^2$ erwartet man, dass $h$ über $t^2$ eine Ursprungsgerade mit der Steigung $\tfrac12 g$ ergibt.

$h$ in m	0,40	0,80	1,20
$t$ in s	0,29	0,40	0,49
$t^2$ in $\mathrm{s^2}$	0,084	0,160	0,240

Steigung aus dem ersten und letzten Punkt: $m = \dfrac{1{,}20\,\mathrm{m} - 0{,}40\,\mathrm{m}}{0{,}240\,\mathrm{s^2} - 0{,}084\,\mathrm{s^2}} = \dfrac{0{,}80\,\mathrm{m}}{0{,}156\,\mathrm{s^2}} \approx 5{,}1\,\mathrm{m/s^2}$.

Bestimmen Sie $g$ aus der Steigung und die prozentuale Abweichung vom Tabellenwert $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

$g = 2m \approx 10{,}3\,\mathrm{m/s^2}$. Die Abweichung beträgt $\dfrac{10{,}3 - 9{,}81}{9{,}81} \approx 5\,\%$.

Beurteilung: Liegt der Tabellenwert innerhalb der Unsicherheit der Messung (zufällige Fehler), ist die Abweichung dadurch erklärbar. Weichen dagegen alle Messreihen in dieselbe Richtung ab, deutet das auf einen systematischen Fehler hin, zum Beispiel eine verzögerte Auslösung der Zeitmessung.

Üben★☆☆

Ein Wagen wird mit einer digitalen Messung aufgezeichnet. Die Tabelle zeigt die Zeit $t$ und den Ort $s$: | $t$ in s | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $s$ in m |…

Ein Wagen wird mit einer digitalen Messung aufgezeichnet. Die Tabelle zeigt die Zeit $t$ und den Ort $s$:

$t$ in s	0	1	2	3
$s$ in m	0	0,5	2,0	4,5

a) Berechnen Sie $s/t^2$ für jede Messung ab $t = 1\ \text{s}$.
b) Entscheiden Sie, welcher funktionale Zusammenhang vorliegt.

Lösen

Üben★★☆

Ein Messprotokoll zur Zentripetalkraft bei konstantem Radius und konstanter Masse: | $T$ in s | 2,0 | 1,0 | 0,67 | 0,50 | |---|---|---|---|---| | $F$ in N | 0,25 | 1,0 |…

Ein Messprotokoll zur Zentripetalkraft bei konstantem Radius und konstanter Masse:

$T$ in s	2,0	1,0	0,67	0,50
$F$ in N	0,25	1,0	2,2	4,0

a) Berechnen Sie $F \cdot T^2$ für jede Spalte.
b) Folgern Sie, welche Proportionalität zwischen $F$ und $T$ besteht.
c) Erläutern Sie, wie Sie dies in einem Diagramm linearisieren würden.

Lösen

Üben★★★

Zur Bestimmung von $g$ misst eine Gruppe die Fallzeit $t$ für verschiedene Höhen $h$: | $h$ in m | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | |---|---|---|---|---| | $t$ in s | 0,32 |…

Zur Bestimmung von $g$ misst eine Gruppe die Fallzeit $t$ für verschiedene Höhen $h$:

$h$ in m	0,50	1,00	1,50	2,00
$t$ in s	0,32	0,45	0,56	0,64

a) Berechnen Sie $t^2$ und erläutern Sie, welcher Zusammenhang erwartet wird.
b) Bestimmen Sie $g$ aus der Steigung einer Ausgleichsgeraden $h$ über $t^2$ (Näherung über Anfangs- und Endpunkt).
c) Beurteilen Sie die Abweichung von $9,81\ \text{m/s}^2$ und diskutieren Sie, ob sie durch zufällige oder systematische Fehler erklärt wird.

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Zurück zum Anfang: Die App-Messung im Regionalzug ist mit etwa $18\,\%$ relativer Unsicherheit eher grob. Die Geschwindigkeit nach 20 s ergibt sich zu $(17 \pm 3)\,\mathrm{m/s}$. Mitteln über viele Werte, Kalibrieren des Sensors und Wiederholen der Messung würden sie verbessern.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Sie wollen untersuchen, wie die Fallzeit einer Kugel von der Fallhöhe abhängt. a) Nennen…★☆☆ Fünf Messungen der Fallzeit aus $1,00\ \text{m}$ Höhe ergeben: $0,46\ \text{s}$;…★☆☆ Ein Wagen wird mit einer digitalen Messung aufgezeichnet. Die Tabelle zeigt die Zeit $t$…

Auf einen Blick

Planung: unabhängige Variable (wird verändert), abhängige Variable (wird gemessen), alle übrigen Größen konstant halten (Variablenkontrolle).
Zufällige Fehler streuen und lassen sich durch Mitteln verringern. Systematische Fehler verschieben alle Werte in eine Richtung.
Ergebnis: $\bar{x} \pm \Delta x$ mit $\Delta x = (x_\text{max} - x_\text{min})/2$. Die relative Unsicherheit ist $\Delta x/\bar{x}$.
Digitale Messungen beurteilt man nach Auflösung, Rauschen, Abtastrate und Kalibrierung.
Produkte und Quotienten: relative Unsicherheiten addieren, Potenzen zählen mehrfach.
Auswertung: Tabelle, Quotient $y/x^n$ auf Konstanz prüfen, linearisiertes Diagramm, Steigung der Ausgleichsgeraden bestimmen, Abweichung vom Erwartungswert beurteilen.