Die Gesetze der Planetenbewegung

Johannes Kepler leitete aus den Beobachtungen von Tycho Brahe drei Gesetze her, die die Bewegung der Planeten um die Sonne beschreiben.

1. a) Formulieren Sie das erste keplersche Gesetz (Bahngesetz).
2. b) Zeichnen Sie in Ihr Heft eine Ellipsenbahn und markieren Sie darin die beiden Brennpunkte der Ellipse, die Position der Sonne, das Perihel (sonnennächster Punkt) und das Aphel (sonnenfernster Punkt).
3. c) Geben Sie an, was die große Halbachse $a$ der Bahn ist, und schreiben Sie ihren Ausdruck in Abhängigkeit von den Abständen im Perihel, $r_p$, und im Aphel, $r_a$, auf.

Sie können die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Die Erde passiert das Perihel im Abstand $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ von der Sonne und das Aphel im Abstand $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. Die Abbildung zeigt die Bahn mit beiden Abständen (nicht maßstäblich):

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse der Erdbahn, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Mit $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (astronomische Einheit: mittlerer Abstand Erde–Sonne) geben Sie das Ergebnis in astronomischen Einheiten an und kommentieren Sie Ihre Beobachtung.

Die Exzentrizität einer Ellipse ist $e = \frac{c}{a}$, wobei $a$ die große Halbachse und $c$ der Abstand des Ellipsenmittelpunkts von einem Brennpunkt ist. Für die Erde gilt: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (Perihel) und $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (Aphel). Betrachten Sie die Geometrie der Bahn in der Abbildung (nicht maßstäblich):

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Berechnen Sie den Brennpunktabstand $c = \frac{r_a - r_p}{2}$ und die Exzentrizität $e$ der Erdbahn.
3. c) Ein Wert $e = 0$ entspricht einem Kreis und ein Wert nahe $1$ einer sehr lang gestreckten Ellipse. Kommentieren Sie die Form der Erdbahn anhand des erhaltenen Werts.

1. a) Formulieren Sie das zweite keplersche Gesetz (Flächensatz).
2. b) Ein Planet durchläuft seine Ellipsenbahn und passiert dabei Perihel und Aphel. Begründen Sie mithilfe des Flächensatzes, in welchem der beiden Punkte er sich schneller bewegt.
3. c) Die Flächengeschwindigkeit (vom Fahrstrahl pro Zeiteinheit überstrichene Fläche) ist konstant, weil der Drehimpuls des Planeten erhalten bleibt. Erklären Sie qualitativ, warum ein kürzerer Fahrstrahl im Perihel eine größere Geschwindigkeit bedeutet.

Zeichnen Sie in Ihr Heft eine lang gestreckte Ellipsenbahn, bei der sich die Sonne in einem ihrer Brennpunkte befindet.

1. a) Markieren Sie zwei gleich lange Zeitintervalle, eines um das Perihel und eines um das Aphel, und schraffieren Sie die vom Fahrstrahl in beiden Abschnitten überstrichenen Flächen.
2. b) Welche Beziehung besteht nach dem Flächensatz zwischen den beiden schraffierten Flächen?
3. c) Begründen Sie anhand der Zeichnung, in welchem Abschnitt der Planet in derselben Zeit den längeren Bogen zurücklegt und was das für seine Geschwindigkeit bedeutet.

Sie können die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Aufgrund der Drehimpulserhaltung gilt im Perihel und im Aphel $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. Die Erde passiert das Perihel ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) mit einer Geschwindigkeit von $30,3\ \text{km/s}$, und das Aphel liegt bei $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. Die Skizze zeigt die Bahn und die Geschwindigkeiten in beiden Punkten (nicht maßstäblich):

1. a) Lösen Sie den obigen Ausdruck nach der Geschwindigkeit im Aphel, $v_a$, auf.
2. b) Berechnen Sie ihren Wert in $\text{km/s}$.
3. c) Das Perihel liegt Anfang Januar, das Aphel Anfang Juli. Geben Sie an, in welchem dieser Monate sich die Erde schneller auf ihrer Bahn bewegt, und stellen Sie den Zusammenhang zum zweiten keplerschen Gesetz her.

1. a) Formulieren Sie das dritte keplersche Gesetz (Gesetz der Umlaufzeiten) und schreiben Sie seinen mathematischen Ausdruck $\frac{T^2}{a^3} = C$ auf. Geben Sie die Bedeutung von $T$ und $a$ an.
2. b) Die Konstante hat den Wert $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, wobei $M$ die Masse des Zentralkörpers ist. Begründen Sie, ob $C$ für alle Planeten des Sonnensystems gleich ist und ob sie es auch für die Jupitermonde wäre.

Für Körper, die die Sonne umkreisen, vereinfacht sich das dritte keplersche Gesetz zu $T^2 = a^3$, wenn die Umlaufzeit $T$ in Jahren und die große Halbachse $a$ in astronomischen Einheiten angegeben wird. Merkur umkreist die Sonne mit der großen Halbachse $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Merkur in Jahren.
2. b) Geben Sie sie in Erdentagen an ($1$ Jahr $= 365,25$ Tage).

Ein Asteroid des Hauptgürtels braucht $T = 8$ Jahre für einen Umlauf um die Sonne. Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$, mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten.

1. a) Lösen Sie den obigen Ausdruck nach der großen Halbachse $a$ auf.
2. b) Berechnen Sie ihren Wert in $\text{UA}$.

Ein Schüler behauptet: „Da $\frac{T^2}{a^3} = C$ eine universelle Konstante ist, hat sie für die Erde um die Sonne denselben Wert wie für den Mond um die Erde.“

1. a) Begründen Sie, warum die Aussage falsch ist, indem Sie berücksichtigen, dass $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$ gilt, wobei $M$ die Masse des Zentralkörpers ist.
2. b) Geben Sie eine Gruppe von Körpern an, für die die Konstante mit der der Jupitermonde übereinstimmen würde.

Mars umkreist die Sonne mit der großen Halbachse $a = 1,524\ \text{AE}$. Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$ mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten.

1. a) Berechnen Sie die Dauer des Marsjahres in Erdjahren.
2. b) Geben Sie das Ergebnis in Tagen an ($1$ Jahr $= 365,25$ Tage).

Die Venus durchläuft ihre Bahn um die Sonne in $T = 0,615$ Jahren. Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$ mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten; $1\ \text{AE} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse der Venusbahn in $\text{AE}$.
2. b) Geben Sie sie in Kilometern in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Ein Team von Astronomen entdeckt ein Objekt mit einer Umlaufzeit von $T = 27$ Jahren. Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$ mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten.

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse seiner Bahn in $\text{AE}$.
2. b) Vergleichen Sie sie mit der Neptunbahn ($a \approx 30\ \text{AE}$): Umkreist das Objekt die Sonne näher oder weiter entfernt als Neptun?

Kepler überprüfte sein drittes Gesetz anhand der Daten mehrerer Planeten. Die Erde hat $a = 1\ \text{AE}$ und $T = 1$ Jahr; Jupiter hat $a = 5,20\ \text{AE}$ und $T = 11,86$ Jahre.

1. a) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{T^2}{a^3}$ für die Erde in $\text{Jahre}^2/\text{AE}^3$.
2. b) Berechnen Sie denselben Quotienten für Jupiter und überprüfen Sie, dass er (bis auf Rundungen) mit dem vorherigen übereinstimmt.
3. c) Erklären Sie, warum dieser Quotient nur für Körper identisch ist, die denselben Zentralkörper umkreisen.

Für eine Kreisbahn mit Radius $r$ lässt sich das dritte keplersche Gesetz aus dem Gravitationsgesetz herleiten. Die Skizze zeigt einen Planeten auf einer Kreisbahn mit der auf ihn wirkenden Kraft:

1. a) Setzen Sie die Gravitationskraft $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$ mit der Zentripetalkraft der Kreisbewegung $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$ gleich und ermitteln Sie die Bahngeschwindigkeit $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Setzen Sie $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ in das vorherige Ergebnis ein und leiten Sie her, dass $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Identifizieren Sie im erhaltenen Ausdruck die Konstante des dritten keplerschen Gesetzes und erklären Sie, von welchen Größen sie abhängt.

Mit dem dritten keplerschen Gesetz lässt sich die Sonne „wiegen“. Gegeben: mittlerer Abstand Erde–Sonne $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, Umlaufzeit der Erde $T = 365,25$ Tage und $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Die Abbildung zeigt die Erdbahn mit den bekannten Daten:

1. a) Geben Sie die Umlaufzeit in Sekunden an.
2. b) Lösen Sie den Ausdruck $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$ nach der Masse der Sonne auf.
3. c) Berechnen Sie $M_S$ und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem anerkannten Wert $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

Die Sonde Juno hat das Jupitersystem erforscht. Sein Mond Io umkreist den Planeten mit der großen Halbachse $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ und der Umlaufzeit $T = 1,77$ Tage. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Geben Sie die Umlaufzeit von Io in Sekunden an.
2. b) Lösen Sie das dritte keplersche Gesetz $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$ nach der Masse des Jupiter auf.
3. c) Berechnen Sie $M_J$ und vergleichen Sie sie mit dem anerkannten Wert $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

Die Konstante des dritten keplerschen Gesetzes ist $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, mit $M$ als Masse des Zentralkörpers. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, Masse der Sonne $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, Masse der Erde $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und große Halbachse der Mondbahn $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie in SI-Einheiten die Konstante $C$ für das Sonnensystem und für das System Erde–Mond.
2. b) Begründen Sie, worauf der enorme Unterschied zwischen beiden Werten beruht.
3. c) Verwenden Sie die Konstante des Systems Erde–Mond, um die Umlaufzeit des Mondes vorherzusagen, und geben Sie sie in Tagen an.

Ceres, der größte Körper des Asteroidengürtels, hat eine Umlaufzeit von $T = 4,60$ Jahren. Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$ mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten; $1\ \text{AE} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse der Bahn von Ceres in $\text{AE}$.
2. b) Geben Sie ihren mittleren Abstand von der Sonne in Metern in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Ein Komet hat eine doppelt so große Halbachse wie ein anderer Komet desselben Systems.

1. a) Zeigen Sie ausgehend von $T^2 = a^3$, dass aus $a' = 2\cdot a$ folgt $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Ein Asteroid umkreist die Sonne mit $a = 2\ \text{UA}$. Berechnen Sie seine Umlaufzeit in Jahren.
3. c) Begründen Sie ohne neue Rechnung, ob ein Planet, der nur halb so weit von der Sonne entfernt ist wie die Erde, ein längeres oder kürzeres Jahr als das irdische hätte.

Der Halleysche Komet hat eine Umlaufzeit von $T = 76$ Jahren und passiert das Perihel in $r_p = 0,586\ \text{UA}$ Abstand von der Sonne. Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$ mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten. Die Abbildung zeigt seine lang gestreckte Bahn (nicht maßstäblich):

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse seiner Bahn in $\text{UA}$.
2. b) Berechnen Sie unter Berücksichtigung von $a = \frac{r_p + r_a}{2}$ den Aphelabstand $r_a$.
3. c) Berechnen Sie mithilfe der Drehimpulserhaltung $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$ den Quotienten $\frac{v_p}{v_a}$ und erklären Sie, warum der Halleysche Komet von der Erde aus nur einige Monate in jeweils $76$ Jahren beobachtbar ist.

Merkur hat die exzentrischste Planetenbahn des Sonnensystems: $a = 0,387\ \text{UA}$ und $e = 0,206$. Die Abstände von der Sonne im Perihel und im Aphel betragen $r_p = a\cdot(1 - e)$ und $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Berechnen Sie $r_p$ und $r_a$ in $\text{UA}$.
2. b) Berechnen Sie mithilfe der Drehimpulserhaltung $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$ den Quotienten $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Für die Erde beträgt dieser Quotient $1,034$. Vergleichen Sie beide Ergebnisse und erklären Sie, welche Rolle die Exzentrizität für die Änderung der Bahngeschwindigkeit spielt.

Für eine Reise von der Erde zum Mars mit möglichst geringem Treibstoffverbrauch wird eine Hohmann-Transferbahn genutzt: eine Ellipse mit dem Perihel auf der Erdbahn ($1\ \text{UA}$) und dem Aphel auf der Marsbahn ($1,524\ \text{UA}$). Für Körper, die die Sonne umkreisen, gilt $T^2 = a^3$ mit $T$ in Jahren und $a$ in astronomischen Einheiten. Die Skizze zeigt die Transferbahn:

1. a) Berechnen Sie die große Halbachse der Transferellipse.
2. b) Berechnen Sie die vollständige Umlaufzeit dieser Ellipse in Jahren.
3. c) Die Hinreise dauert eine halbe Umlaufzeit. Berechnen Sie ihre Dauer in Tagen ($1$ Jahr $= 365,25$ Tage) und begründen Sie, warum Marsmissionen nur in bestimmten Startfenstern gestartet werden können, die sich alle $26$ Monate wiederholen.

Es wird ein Exoplanet entdeckt, der einen Stern der Masse $M_E = 4\cdot M_S$ (viermal so groß wie die Sonnenmasse) mit einer großen Halbachse $a = 1\ \text{UA}$ umkreist, genau wie die Erde.

1. a) Zeigen Sie ausgehend von $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, dass $\frac{T^2}{T_{Erde}^2} = \frac{a^3}{a_{Erde}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$ gilt.
2. b) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Exoplaneten in Erdjahren.
3. c) Erklären Sie, warum in diesem Fall die vereinfachte Beziehung $T^2 = a^3$, die für das Sonnensystem gilt, nicht direkt angewendet werden kann.