Zusammengesetzte Bewegungen

Ein Boot überquert einen Fluss der Breite $40\ \text{m}$ mit der Eigengeschwindigkeit $2\ \text{m/s}$, senkrecht zur Strömung gerichtet. Betrachten Sie die Skizze der Überquerung:

1. a) Formulieren Sie das Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen (Superpositionsprinzip) von Galilei.
2. b) Wenden Sie es an, um die Zeit zu berechnen, die das Boot für die Überquerung braucht, und begründen Sie, warum die Strömung diese Zeit nicht verändert.

Eine Drohne fliegt mit $4\ \text{m/s}$ nach Norden, während der Wind sie mit $3\ \text{m/s}$ nach Osten drückt.

1. a) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit der Drohne relativ zum Boden.
2. b) Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Bewegungen, wie lange sie braucht, um $100\ \text{m}$ nach Norden voranzukommen.

Ein Zug überquert eine Brücke in $19,6\ \text{m}$ Höhe, als sich ein Gegenstand von einem Waggon löst. Verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die der Gegenstand bis zum Boden braucht.
2. b) Begründen Sie, ob diese Zeit von der waagerechten Geschwindigkeit des Zuges abhängt.

Ein Flugzeug für humanitäre Hilfe fliegt waagerecht mit $100\ \text{m/s}$ in $500\ \text{m}$ Höhe, als es ein Paket abwirft. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie die Fallzeit des Pakets.
2. b) Berechnen Sie die waagerechte Strecke, die das Paket zurücklegt, bevor es den Boden berührt.

Ein Hubschrauber fliegt waagerecht mit $30\ \text{m/s}$ in $20\ \text{m}$ Höhe, als er ein Paket abwirft. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Fallzeit des Pakets.
2. b) Berechnen Sie die waagerechte Wurfweite des Pakets.
3. c) Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeit beim Auftreffen auf dem Boden und ihren Betrag.

Ein Flugzeug fliegt waagerecht mit $80\ \text{m/s}$ in $720\ \text{m}$ Höhe und muss ein Paket abwerfen, damit es auf einen bestimmten Punkt am Boden fällt. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Fallzeit des Pakets.
2. b) Berechnen Sie die waagerechte Strecke, die das Paket während des Falls zurücklegt.
3. c) Begründen Sie, in welcher waagerechten Entfernung vor dem Ziel das Paket abgeworfen werden muss.

Von der Spitze einer Klippe, $45\ \text{m}$ über dem Meer, lässt man einen Stein fallen und wirft im selben Moment einen gleichen Stein waagerecht mit $10\ \text{m/s}$. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Betrachten Sie die Skizze der Klippe:

1. a) Berechnen Sie die Fallzeit des ersten Steins.
2. b) Begründen Sie mit dem Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen, welcher der beiden Steine zuerst das Wasser erreicht.
3. c) Berechnen Sie die waagerechte Wurfweite des zweiten Steins.
4. d) Berechnen Sie den Betrag der Auftreffgeschwindigkeit jedes Steins und vergleichen Sie die Ergebnisse.

Ein Skispringer verlässt die Schanze mit der waagerechten Geschwindigkeit $20\ \text{m/s}$ aus einer Höhe von $80\ \text{m}$ über dem Landebereich. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Flugdauer und die waagerechte Weite.
2. b) Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeit beim Erreichen des Landebereichs und ihren Betrag.
3. c) Berechnen Sie den Winkel, den die Auftreffgeschwindigkeit mit der Waagerechten bildet.

In einem Laborversuch rollt eine Kugel über einen Tisch der Höhe $1,25\ \text{m}$ und verlässt ihn waagerecht an der Kante. Auf dem Boden steht ein Becher, dessen Mitte $1,5\ \text{m}$ von der Senkrechten durch die Tischkante entfernt ist. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die die Kugel von der Kante bis zum Boden braucht.
2. b) Berechnen Sie die waagerechte Geschwindigkeit, mit der sie den Tisch verlassen muss, um in den Becher zu fallen.
3. c) Berechnen Sie mit dieser Geschwindigkeit die Komponenten und den Betrag der Geschwindigkeit der Kugel beim Auftreffen auf dem Boden.

Ein Ball wird mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 50\ \text{m/s}$ unter $37^\circ$ zur Waagerechten getreten. Verwenden Sie $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$. Die Abbildung zeigt die Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit.

1. a) Berechnen Sie die waagerechte Komponente der Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie die senkrechte Komponente der Anfangsgeschwindigkeit.

Ein Tennisball verlässt den Schläger mit $v_0 = 20\ \text{m/s}$ unter $60^\circ$ zur Waagerechten. Verwenden Sie $\sin 60^\circ \approx 0,87$ und $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Berechnen Sie die waagerechte Komponente seiner Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie die senkrechte Komponente seiner Anfangsgeschwindigkeit.

Die senkrechte Komponente der Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses beträgt $20\ \text{m/s}$. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die es bis zum höchsten Punkt seiner Bahn braucht.
2. b) Wie lange dauert der gesamte Flug, wenn es vom Boden startet und wieder auf dem Boden landet? Begründen Sie.

Ein Pfeil verlässt den Bogen mit einer senkrechten Geschwindigkeitskomponente von $30\ \text{m/s}$. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ und beachten Sie, dass die senkrechte Geschwindigkeit im höchsten Punkt null ist.

1. a) Berechnen Sie die Steigzeit.
2. b) Berechnen Sie die maximale Höhe, die er über dem Abschusspunkt erreicht.

Ein Golfball verlässt das Tee mit $v_0 = 50\ \text{m/s}$ unter $37^\circ$ zur Waagerechten. Verwenden Sie $\sin 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ und $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Die Flugbahn des Schlags zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie die Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie die Flugdauer.
3. c) Berechnen Sie die Wurfweite auf waagerechtem Gelände.
4. d) Berechnen Sie die maximale Höhe.

Ein Handball-Torwart wirft den Ball mit $v_0 = 20\ \text{m/s}$ unter $30^\circ$ zur Waagerechten. Verwenden Sie $\sin 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ und $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie die Flugdauer, bis der Ball wieder die Abwurfhöhe erreicht.
3. c) Berechnen Sie die Wurfweite.
4. d) Berechnen Sie die maximale Höhe.

Ein Volleyballspieler schlägt auf mit $v_0 = 25\ \text{m/s}$ unter $53^\circ$ zur Waagerechten. Verwenden Sie $\sin 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ und $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Begründen Sie, welchen Wert die senkrechte Geschwindigkeitskomponente im höchsten Punkt hat, und berechnen Sie dort den Betrag der Geschwindigkeit.
3. c) Berechnen Sie die maximale Höhe und die Zeit, die der Ball bis dahin braucht.

Ein Rugbyspieler kickt den Ball vom Boden mit $v_0 = 30\ \text{m/s}$ unter $53^\circ$ zur Waagerechten. Verwenden Sie $\sin 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ und $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Die Abbildung zeigt die Flugbahn des Balls und die Torstangen.

1. a) Berechnen Sie die Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Die Torstangen stehen $36\ \text{m}$ vom Abschusspunkt entfernt. Berechnen Sie, in welcher Höhe der Ball die Torlinie passiert, und entscheiden Sie, ob er die Querlatte in der Höhe $3\ \text{m}$ überquert.
3. c) Berechnen Sie die maximale Höhe, die der Ball erreicht.
4. d) Berechnen Sie die Wurfweite des Balls und entscheiden Sie, ob er über die Endlinie fliegen würde, die $80\ \text{m}$ vom Abschusspunkt entfernt liegt.

Für einen Wurf auf waagerechtem Gelände ist die Wurfweite durch $x = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}$ gegeben, wobei $\theta$ der Abwurfwinkel ist.

1. a) Begründen Sie anhand dieses Ausdrucks, dass die Wurfweite maximal ist, wenn $\theta = 45^\circ$ gilt.
2. b) Eine Speerwerferin möchte $80\ \text{m}$ weit werfen, und zwar unter $45^\circ$; verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ und berechnen Sie die erforderliche Anfangsgeschwindigkeit.
3. c) Berechnen Sie mit derselben Anfangsgeschwindigkeit die Wurfweite, wenn der Wurf unter $30^\circ$ erfolgt, und prüfen Sie, ob sie $80\ \text{m}$ erreicht. Verwenden Sie $\sin 60^\circ \approx 0,87$.

Bei einer historischen Nachstellung feuert eine Kanone Geschosse mit $v_0 = 40\ \text{m/s}$ ab. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ und beachten Sie, dass $\sin(2\theta) = 2 \cdot \sin\theta \cdot \cos\theta$ gilt.

1. a) Berechnen Sie die Wurfweite für einen Abschusswinkel von $37^\circ$.
2. b) Berechnen Sie die Wurfweite für den Komplementärwinkel $53^\circ$ und vergleichen Sie beide Ergebnisse.
3. c) Berechnen Sie die maximale Höhe und die Flugdauer in beiden Fällen.
4. d) Erklären Sie, welche Eigenschaft Paare von Komplementärwinkeln beim schiefen Wurf haben und was man gewinnt und verliert, wenn man den größeren Winkel wählt.

Eine Bogenschützin schießt einen Pfeil mit $v_0 = 25\ \text{m/s}$ unter $37^\circ$ zur Waagerechten ab. Verwenden Sie $\sin 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ und $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit.
2. b) Schreiben Sie die Gleichungen $x(t)$ und $y(t)$ auf, eliminieren Sie die Zeit und leiten Sie die Bahngleichung $y(x)$ her.
3. c) Eine Werbetafel der Höhe $5\ \text{m}$ steht $20\ \text{m}$ vom Abschusspunkt entfernt: Berechnen Sie, in welcher Höhe der Pfeil sie passiert, und entscheiden Sie, ob er sie überfliegt.
4. d) Berechnen Sie die Wurfweite des Pfeils auf waagerechtem Gelände.

Themenprojekt. Untersuchen Sie die Kinematik eines waagerechten Wurfs und analysieren Sie den Einfluss der Umgebung.

1. Thermodynamische Größen: Rufen Sie auf der Website des Deutschen Wetterdienstes (DWD) die aktuelle Temperatur $T$ ($^\circ\text{C}$) und den aktuellen Druck $P$ ($\text{hPa}$) Ihres Wohnorts ab, um den thermodynamischen Zustand der umgebenden Luft festzuhalten.

2. Geradlinige Bewegung und Kreisbewegung: Verwenden Sie eine schiefe Ebene (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) oder ein umgedrehtes Fahrradrad, das sich gleichförmig dreht (gleichförmige Kreisbewegung), mit bekanntem Radius, zum Beispiel $R = (30,0 \pm 0,1)\text{ cm}$, um eine Murmel mit waagerechter Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ anzustoßen. Bestimmen Sie $v_0$ unabhängig von der Wurfweite: Messen Sie beim Rad $\omega$, indem Sie 10 Umdrehungen stoppen, und verwenden Sie $v_0 = \omega R$; stoppen Sie bei der Rampe den Durchgang der Murmel durch ein waagerechtes Endstück bekannter Länge. Schätzen Sie die Unsicherheit jedes Wertes $v_0$ ab.

3. Zusammengesetzte Bewegung und Messungen: Lassen Sie die Murmel waagerecht von der Kante eines Tisches in der Höhe $h = (80,0 \pm 0,5)\text{ cm}$ wegrollen. Messen Sie mit einem Maßband (Unsicherheit $\pm 0,1\text{ cm}$) die waagerechte Wurfweite $x$ für 5 verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten und führen Sie für jede 3 Wiederholungen durch, um Mittelwert und Streuung zu berechnen.

4. Endprodukt: Erstellen Sie einen kurzen Bericht mit der Tabelle der experimentellen Daten, einem Diagramm der Wurfweite $x$ gegen $v_0$ und einer begründeten Diskussion darüber, ob die Werte der thermodynamischen Umgebungsgrößen merkliche Abweichungen vom idealen Wurf im Vakuum verursachen.

Bewertet werden:

• sorgfältiges Gewinnen experimenteller Messwerte und angemessene Angabe ihrer Unsicherheiten.

• fachliche Qualität bei der Erstellung von Tabelle und kinematischem Diagramm.

• stimmige Verknüpfung der Bewegungsarten (geradlinig, kreisförmig und zusammengesetzt) mit den thermodynamischen Größen.

• kritisches Denken und Klarheit der Darstellung in den Schlussfolgerungen des Berichts.

Ein Boot mit der Eigengeschwindigkeit $4\ \text{m/s}$ überquert einen Fluss der Breite $80\ \text{m}$, wobei der Bug senkrecht zur Strömung zeigt, die mit $1,5\ \text{m/s}$ mitreißt. Betrachten Sie die Skizze der Überquerung:

1. a) Berechnen Sie die Überquerungszeit.
2. b) Berechnen Sie die Abdrift: die Strecke, um die die Strömung das Boot beim Erreichen des anderen Ufers flussabwärts versetzt hat.
3. c) Berechnen Sie den Betrag der gesamten Verschiebung zwischen Start- und Zielpunkt.

Ein Bootsführer möchte einen Fluss der Breite $120\ \text{m}$ überqueren und genau am gegenüberliegenden Punkt ankommen. Sein Boot erreicht in ruhigem Wasser $5\ \text{m/s}$, die Strömung fließt mit $3\ \text{m/s}$. Das Geschwindigkeitsdiagramm zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie den Winkel gegen die Strömung, unter dem er den Bug ausrichten muss, wobei $\sin\theta = \frac{3}{5}$ gilt.
2. b) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit des Bootes relativ zu den Ufern.
3. c) Berechnen Sie die Zeit, die es für die Überquerung braucht.

Ein Boot, das in ruhigem Wasser $5\ \text{m/s}$ fahren kann, soll einen Fluss der Breite $100\ \text{m}$ mit einer Strömung von $3\ \text{m/s}$ überqueren.

1. a) Wenn der Bug senkrecht zum Ufer zeigt, berechnen Sie die Überquerungszeit, die Abdrift und den Betrag der gesamten Verschiebung.
2. b) Wenn es genau den gegenüberliegenden Punkt erreichen will, berechnen Sie den Winkel gegen die Strömung (es gilt $\sin\theta = \frac{3}{5}$), die resultierende Geschwindigkeit und die Überquerungszeit.
3. c) Vergleichen Sie beide Strategien und begründen Sie anhand Ihrer Ergebnisse, welche die Überquerungszeit minimiert und welche die Länge der Bahn relativ zum Ufer minimiert.

Ein Flugzeug fliegt mit der Eigengeschwindigkeit $200\ \text{m/s}$ nach Osten, während der Wind konstant mit $40\ \text{m/s}$ nach Norden weht.

1. a) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zum Boden.
2. b) Berechnen Sie den Abdriftwinkel: den Winkel, um den seine Bahn vom gewünschten Ostkurs abweicht.
3. c) Wenn der Flug $500\ \text{s}$ dauert, berechnen Sie die Position des Flugzeugs (zurückgelegte Strecke nach Osten und nach Norden vom Startpunkt aus) und den Abstand zu dem Punkt, den es ohne Wind erreicht hätte.