Números racionales
Tu celular marca 75 % de batería, la receta del congrí pide tres cuartos de libra de arroz y el cartel de la guagua dice que ya hiciste dos tercios del camino a Santiago de Cuba. Todo eso son fracciones: números que sirven para hablar de partes. En esta página las repasas y las usas con soltura, porque son la base de casi todo lo que viene después. Al final volvemos a la batería.
¿Qué es un número racional?
Una fracción $\frac{a}{b}$ tiene dos partes: el denominador $b$ dice en cuántas partes iguales partimos la unidad, y el numerador $a$ dice cuántas tomamos.
La misma fracción se puede leer de tres maneras:
-
Parte de un todo: $\frac{3}{4}$ de cake son 3 porciones de un cake cortado en 4.
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Cociente: $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75$. Por eso tu batería al 75 % está a $\frac{3}{4}$.
-
Operador: $\frac{3}{4}$ de 200 dólares es $200 \cdot \frac{3}{4} = 150$ dólares.
Los enteros también son racionales: $5 = \frac{5}{1}$ y $-2 = \frac{-4}{2}$. Una fracción puede ser negativa: $-\frac{3}{4} = \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4}$ (lo normal es poner el signo delante).
Juega con el numerador y el denominador. Fíjate qué pasa cuando el numerador es mayor que el denominador: la fracción vale más de una unidad.
Los decimales también son racionales
Al dividir numerador entre denominador aparece un decimal, que puede ser:
-
Exacto: termina. $\frac{1}{4} = 0{,}25$.
-
Periódico puro: se repite desde la coma. $\frac{7}{9} = 0{,}\widehat{7}$.
-
Periódico mixto: hay una parte que no se repite y luego un período. $5{,}0\widehat{42} = 5{,}0424242\dots$
Todo decimal exacto o periódico es un racional: tiene una fracción generatriz.
Clasifica los siguientes números decimales según sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, expresa los que sean exactos en forma de fracción…
Clasifica los siguientes números decimales según sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, expresa los que sean exactos en forma de fracción irreducible.
- a) $3,25$
- b) $7,1111\dots$
- c) $0,25$
- d) $5,0424242\dots$
En un videojuego de estrategia, el mapa está dividido en diferentes zonas según el terreno. El mapa total ocupa 1200 píxeles cuadrados. El bosque ocupa $\frac{1}{3}$ del…
En un videojuego de estrategia, el mapa está dividido en diferentes zonas según el terreno.
El mapa total ocupa 1200 píxeles cuadrados.
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El bosque ocupa $\frac{1}{3}$ del mapa.
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El agua ocupa $\frac{1}{4}$ del mapa.
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El resto es desierto.
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¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el bosque?
-
¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el agua?
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Calcula qué fracción irreducible del mapa representa el desierto.
Clasifica los siguientes números decimales (exacto, periódico puro o periódico mixto) y halla su fracción generatriz. Una vez obtenidas las fracciones, realiza la…
Clasifica los siguientes números decimales (exacto, periódico puro o periódico mixto) y halla su fracción generatriz. Una vez obtenidas las fracciones, realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:
$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$Fracciones equivalentes
Medio cake, dos cuartos o cuatro octavos: es la misma cantidad, aunque esté cortada distinto. Son fracciones equivalentes.
Si multiplicas o divides numerador y denominador por el mismo número, obtienes una fracción equivalente. Dividir se llama simplificar. Cuando ya no se puede simplificar más, tienes la fracción irreducible.
Observa la siguiente representación gráfica de una fracción. Tu tarea consiste en: 1. Escribir la fracción irreducible que representa la parte coloreada en naranja…
Observa la siguiente representación gráfica de una fracción. Tu tarea consiste en:
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Escribir la fracción irreducible que representa la parte coloreada en naranja respecto al total del círculo.
-
Indicar si la fracción $\frac{9}{24}$ es equivalente a la representada en la imagen. Justifica tu respuesta simplificando ambas fracciones.
Marta ha comprado una pizza rectangular grande para cenar. Al abrir la caja, ve que la pizza viene cortada en 24 trozos iguales. Marta se come 4 trozos. Su hermano Luis…
Marta ha comprado una pizza rectangular grande para cenar. Al abrir la caja, ve que la pizza viene cortada en 24 trozos iguales.
-
Marta se come 4 trozos.
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Su hermano Luis se come 6 trozos.
-
Sus padres se comen 8 trozos entre los dos.
-
Escribe la fracción de pizza que se ha comido cada uno (Marta, Luis y padres). Simplifícalas al máximo.
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¿Qué fracción de la pizza ha sobrado? Expresa el resultado como fracción irreducible.
Comparar y ordenar fracciones
¿Quién comió más, quien se come $\frac{3}{4}$ de una tableta de chocolate o quien se come $\frac{5}{7}$? A simple vista no está claro. Mira las barras:
Por poco, $\frac{3}{4}$ es mayor. Pero no siempre puedes dibujar, así que necesitas un procedimiento.
Tres amigos están compitiendo en una carrera de obstáculos de 100 metros. En un momento determinado, sus posiciones son las siguientes: Ana ha recorrido $\frac{2}{5}$…
Tres amigos están compitiendo en una carrera de obstáculos de 100 metros. En un momento determinado, sus posiciones son las siguientes:
-
Ana ha recorrido $\frac{2}{5}$ del total.
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Beto ha recorrido $\frac{3}{4}$ del total.
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Carla ha recorrido $\frac{7}{10}$ del total.
-
Calcula cuántos metros ha recorrido exactamente cada uno.
-
Ordena las fracciones de menor a mayor utilizando el símbolo $<$.
-
Ubica aproximadamente la posición de Ana (A), Beto (B) y Carla (C) en la recta numérica mostrada a continuación.
Representar fracciones en la recta
Cada racional tiene su lugar exacto en la recta numérica. Esa recta, con su orden, es la base del conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, que incluye a los racionales y también a los irracionales (más abajo los ordenamos en una jerarquía de conjuntos). Para ubicar $\frac{7}{4}$:
-
Si es impropia, sácale los enteros: $\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4}$. Está entre 1 y 2.
-
Divide el tramo de 1 a 2 en 4 partes iguales (el denominador).
-
Cuenta 3 de esas partes.
¿Y si hay que dividir un segmento en 3 partes exactas, sin regla graduada? Se usa el teorema de Tales: desde el 0 trazas una semirrecta auxiliar y marcas 3 pasos iguales con el compás. Unes la última marca con el 1 y trazas paralelas a esa unión por las otras marcas: cortan la recta numérica en tercios exactos.
Arrastra el punto y mira qué fracción y qué decimal corresponde a cada posición.
Representa en la recta numérica los números racionales $\frac{7}{4}$ y $-\frac{2}{3}$. Para ello, utiliza el Teorema de Tales o la división de segmentos para ubicar los…
Representa en la recta numérica los números racionales $\frac{7}{4}$ y $-\frac{2}{3}$.
Para ello, utiliza el Teorema de Tales o la división de segmentos para ubicar los puntos de forma exacta, no aproximada.
Dibuja en tu cuaderno una recta como la siguiente, con los números enteros marcados (conviene que la unidad sea grande, por ejemplo 6 cm), y haz sobre ella tu construcción:
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Jerarquía de conjuntos numéricos
Los números se agrupan en conjuntos que se contienen unos a otros: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Los naturales son $0, 1, 2, \dots$; los enteros añaden los negativos; los racionales añaden las fracciones; los reales añaden los irracionales, que no se pueden escribir como fracción y tienen infinitas cifras decimales sin período, como $\sqrt{2}$ o $\pi$.
Sumar y restar fracciones
Sumar fracciones es como sumar monedas de distinto país: antes de juntar, hay que pasar todo a la misma moneda. Aquí la «moneda» es el denominador.
Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Recuerda que para sumar o restar debes obtener primero el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Expresa…
Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Recuerda que para sumar o restar debes obtener primero el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
- a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$
- b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$
- c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$
El almacenamiento de tu celular se reparte de la siguiente manera: Las fotos ocupan $\frac{2}{5}$ del espacio. Las aplicaciones ocupan $\frac{1}{3}$ del espacio. 1. ¿Qué…
El almacenamiento de tu celular se reparte de la siguiente manera:
-
Las fotos ocupan $\frac{2}{5}$ del espacio.
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Las aplicaciones ocupan $\frac{1}{3}$ del espacio.
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¿Qué fracción del total ocupan las fotos y las aplicaciones juntas?
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Si el resto del espacio está libre, ¿qué fracción representa el espacio libre?
-
Si la capacidad total del celular es de 60 GB, ¿cuántos GB quedan libres?
Multiplicar y dividir fracciones
Multiplicar es más fácil que sumar: numerador por numerador y denominador por denominador. El dibujo lo explica: $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ es la zona donde se cruzan las dos franjas.
Calcula los siguientes productos y divisiones de fracciones. Recuerda simplificar el resultado final si es posible. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$ b)…
Calcula los siguientes productos y divisiones de fracciones. Recuerda simplificar el resultado final si es posible.
- a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$
- b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$
- c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$
Nota: Recuerda la regla de los signos y que un número entero tiene denominador 1.
Tres amigos compran un regalo de cumpleaños que cuesta 60 dólares. Ana aporta $\frac{1}{3}$ del precio total. Berto aporta $\frac{2}{5}$ del precio total. Carla paga el…
Tres amigos compran un regalo de cumpleaños que cuesta 60 dólares.
-
Ana aporta $\frac{1}{3}$ del precio total.
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Berto aporta $\frac{2}{5}$ del precio total.
-
Carla paga el resto.
- a) ¿Qué fracción del total paga Carla?
- b) ¿Cuánto dinero en dólares pone cada uno?
Se deja caer una pelota de goma desde una altura de 27 metros. En cada rebote, la pelota sube una altura equivalente a $\frac{2}{3}$ de la altura anterior. a) Escribe la…
Se deja caer una pelota de goma desde una altura de 27 metros. En cada rebote, la pelota sube una altura equivalente a $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.
- a) Escribe la fracción y la altura en metros que alcanza tras el primer rebote.
- b) Escribe la fracción y la altura en metros que alcanza tras el segundo rebote.
- c) ¿A qué altura subirá después del tercer rebote?
Potencias de fracciones y exponentes negativos
Una potencia con exponente natural es una multiplicación repetida, y con fracciones se aplica a numerador y denominador:
$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$$Si las potencias tienen la misma base, se cumplen estas propiedades:
Con una pelota que sube cada vez $\frac{2}{3}$ de la altura anterior, después de $n$ rebotes la altura es $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ de la inicial.
Una pelota de goma muy elástica se deja caer desde una altura de 243 cm. Cada vez que rebota en el suelo, la pelota asciende a una altura que es igual a $\frac{2}{3}$ de…
Una pelota de goma muy elástica se deja caer desde una altura de 243 cm.
Cada vez que rebota en el suelo, la pelota asciende a una altura que es igual a $\frac{2}{3}$ de la altura desde la que cayó anteriormente.
- a) Escribe la secuencia de alturas (en forma de potencias y fracciones) que alcanza la pelota en el primer, segundo y tercer rebote.
- b) ¿A qué altura subirá después del quinto rebote? Expresa el resultado como fracción irreducible y luego pásalo a decimal.
- c) ¿Qué distancia total habrá recorrido la pelota (sumando bajadas y subidas) justo cuando toque el suelo por cuarta vez?
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para ello, debes convertir previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para ello, debes convertir previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificar cada paso antes de operar. Ten cuidado con la jerarquía de las operaciones y los signos negativos.
$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{5}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$Nota: Recuerda que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Operaciones combinadas
Cuando se mezclan operaciones hay un orden obligatorio. Si no se respeta, cada persona obtiene un resultado distinto con la misma cuenta.
Dentro de un mismo nivel, de izquierda a derecha.
Calcula el valor de la siguiente operación combinada, respetando la jerarquía de las operaciones (paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas).…
Calcula el valor de la siguiente operación combinada, respetando la jerarquía de las operaciones (paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas). Debes simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.
$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$Tu celular tiene una capacidad de almacenamiento total desconocida. El sistema operativo ocupa $\frac{1}{6}$ de la memoria total. De lo que queda libre, tus aplicaciones…
Tu celular tiene una capacidad de almacenamiento total desconocida. El sistema operativo ocupa $\frac{1}{6}$ de la memoria total. De lo que queda libre, tus aplicaciones y juegos ocupan $\frac{3}{5}$. Si al final te quedan libres 32 GB para tus fotos y videos:
- a) ¿Qué fracción del total representa la memoria libre para fotos?
- b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del celular en GB?
Ayúdate del siguiente esquema gráfico para visualizar el problema:
Disponemos de un bidón de aceite con una capacidad de 120 litros. Queremos envasar todo el aceite en dos tipos de recipientes: Llenamos 40 botellas de $\frac{3}{4}$ de…
Disponemos de un bidón de aceite con una capacidad de 120 litros.
Queremos envasar todo el aceite en dos tipos de recipientes:
-
Llenamos 40 botellas de $\frac{3}{4}$ de litro cada una.
-
El resto del aceite lo envasamos en garrafas de $1,5$ litros.
¿Cuántas garrafas de 1,5 litros necesitaremos para envasar el aceite restante?
Nota: Recuerda que 1,5 litros se puede expresar como la fracción $\frac{3}{2}$.
Problemas con decimales, errores y desigualdades
Los últimos ejercicios combinan todo lo anterior. Tres herramientas extra.
Error absoluto y relativo. Si mides algo y obtienes un valor distinto del real:
$$\text{error absoluto} = |\text{valor medido} - \text{valor real}| \qquad \text{error relativo} = \frac{\text{error absoluto}}{\text{valor real}}$$El error relativo se suele dar en porcentaje y sirve para comparar la precisión de mediciones de distinto tamaño.
Valor absoluto. $|x - a| \leq r$ significa que $x$ está a distancia $r$ o menos de $a$, es decir $a - r \leq x \leq a + r$. Es un intervalo centrado en $a$.
Problemas «de lo que queda». Cada fracción se aplica a lo que quedó del paso anterior, no al total. Conviene ir calculando qué fracción del total queda después de cada etapa, o trabajar hacia atrás desde el dato conocido.
En el laboratorio de Física hemos medido la longitud de una mesa y el grosor de una moneda. Los resultados han sido: Longitud de la mesa: valor real $120 \text{ cm}$,…
En el laboratorio de Física hemos medido la longitud de una mesa y el grosor de una moneda. Los resultados han sido:
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Longitud de la mesa: valor real $120 \text{ cm}$, valor medido $118 \text{ cm}$.
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Grosor de la moneda: valor real $2 \text{ mm}$, valor medido $2,5 \text{ mm}$.
Calcula el error absoluto y el error relativo (en porcentaje) de cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones ha sido más precisa? Justifica tu respuesta basándote en el error relativo.
Un grupo de estudiantes de 3º de ESO está organizando la financiación para su viaje de fin de curso. Han diseñado un plan de recaudación por etapas: 1. En la primera…
Un grupo de estudiantes de 3º de ESO está organizando la financiación para su viaje de fin de curso. Han diseñado un plan de recaudación por etapas:
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En la primera etapa (venta de lotería), consiguieron recaudar $\frac{2}{5}$ del coste total del viaje.
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En la segunda etapa (torneo de e-sports), recaudaron $\frac{3}{4}$ de lo que les faltaba por conseguir tras la primera etapa.
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En la tercera etapa (mercadillo solidario), consiguieron $\frac{2}{3}$ del nuevo resto que les quedaba.
Si después de estas tres etapas todavía les faltan 150 dólares para cubrir el coste total:
- a) ¿Qué fracción del total representa lo recaudado en la tercera etapa?
- b) ¿Cuál es el coste total del viaje?
- c) ¿Cuánto dinero recaudaron en el torneo de e-sports?
Apóyate en el siguiente diagrama de barras para visualizar las fracciones de resto:
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un biólogo está preparando un cultivo de bacterias y necesita una temperatura ambiente muy específica. El termostato del laboratorio tiene una escala un poco extraña…
Un biólogo está preparando un cultivo de bacterias y necesita una temperatura ambiente muy específica.
El termostato del laboratorio tiene una escala un poco extraña marcada en fracciones de grado.
La temperatura ideal $T$ debe cumplir la siguiente condición de distancia (valor absoluto):
$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$- a) Representa en la recta numérica el conjunto de todos los valores posibles de temperatura $T$ (intervalo).
- b) Escribe el intervalo solución usando desigualdades y fracciones.
- c) ¿Sería válida una temperatura de $6,65^\circ \text{C}$? Justifica tu respuesta operando con fracciones.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Volviendo al principio: la batería al $75\,\%$ es $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$, la misma fracción que la de arroz de la receta, y los dos tercios del camino a Santiago de Cuba son $0{,}\widehat{6}$ del viaje: un decimal periódico, también racional.