Variable estadística

Un grupo de investigadores quiere saber cuál es el grupo de música favorito de los adolescentes cubanos de entre 12 y 16 años. Para ello, realizan una encuesta a 500 alumnos de varias escuelas de La Habana. Indica:

1. a) La población objeto de estudio.
2. b) La muestra elegida.
3. c) El individuo.

Se desea realizar un estudio sobre el consumo de fruta en una escuela. Determina si las siguientes muestras son aleatorias (elegidas al azar y representativas) o sesgadas:

1. a) Preguntar a los 25 alumnos que primero llegan a la escuela por la mañana.
2. b) Elegir al azar a 5 alumnos de la lista de cada uno de los grupos de la escuela.
3. c) Preguntar únicamente a los alumnos que están comprando comida en la cafetería.
4. d) Sortear 50 números de matrícula entre todos los alumnos de la escuela y preguntar a sus dueños.

Para conocer la opinión de los ciudadanos sobre la construcción de un nuevo carril bici en el centro de la ciudad, un periódico local realiza una encuesta en la puerta de una tienda especializada en ciclismo de montaña.

1. a) ¿Crees que la muestra elegida es representativa de la población de la ciudad? Razona tu respuesta.
2. b) ¿Existe algún tipo de sesgo en esta elección? Explica por qué.
3. c) Propón un método de muestreo que sea más adecuado para que los resultados sean fiables.

En una escuela hay $600$ alumnos matriculados. Se quiere extraer una muestra representativa de $60$ alumnos mediante un muestreo estratificado por grados para realizar un estudio sobre hábitos de lectura. La distribución por grados es la siguiente:

• $1º$ grado: $180$ alumnos.

• $2º$ grado: $160$ alumnos.

• $3º$ grado: $140$ alumnos.

• $4º$ grado: $120$ alumnos.

Calcula cuántos alumnos de cada grado se deberían elegir para que la muestra mantenga la proporcionalidad de la población.

Un gobierno municipal quiere saber el grado de aceptación de una nueva norma de tránsito. Para ello, ponen un puesto de información en la puerta de una escuela a las 9:00 de la mañana y preguntan a los 100 primeros adultos que pasan por allí.

1. a) Define la población objeto de estudio.
2. b) Describe la muestra seleccionada.
3. c) Analiza críticamente el método de selección de la muestra. ¿Crees que todos los ciudadanos tuvieron la misma probabilidad de ser elegidos? Propón un método de muestreo aleatorio estratificado que fuera más justo para este estudio.

En un centro con $800$ estudiantes ($200$ de $1.^{\circ}$ de secundaria, $200$ de $2.^{\circ}$, $150$ de $3.^{\circ}$, $150$ de $4.^{\circ}$ y $100$ de preuniversitario), el Consejo de Dirección quiere averiguar el grado de satisfacción con el menú y los precios de la cafetería escolar para decidir si se renueva el contrato del servicio. Disponen de tiempo y presupuesto para encuestar a $80$ estudiantes.

Se proponen tres métodos de muestreo:

• Método A: Entrevistar a los primeros $80$ alumnos que hagan la cola en la cafetería el próximo lunes durante el receso.

• Método B: Dejar una urna con papeletas en la recepción y pedir por los altavoces que acudan a votar voluntariamente $80$ personas.

• Método C: Obtener la lista oficial del centro y seleccionar por sorteo aleatorio a $20$ alumnos de $1.^{\circ}$, $20$ de $2.^{\circ}$, $15$ de $3.^{\circ}$, $15$ de $4.^{\circ}$ y $10$ de preuniversitario.

1. a) Analiza críticamente los métodos A y B: explica qué sesgos presentan y por qué no garantizan una muestra representativa.
2. b) Demuestra matemáticamente que el método C reparte la muestra de forma proporcional al tamaño real de cada grado y justifica por qué es el procedimiento más riguroso de los tres.
3. c) Si la cafetería solo fuera utilizada por alumnos de $3.^{\circ}$, $4.^{\circ}$ y preuniversitario, ¿seguiría siendo adecuada la población definida inicialmente? Redefine la población para ese caso.

Según datos de la Oficina Nacional de Estadística e Información (ONEI), la estructura demográfica por edades de un municipio de $30\,000$ habitantes se divide en: menores de $18$ años ($18\,\%$), adultos de $18$ a $64$ años ($62\,\%$) y personas de $65$ o más años ($20\,\%$). La dirección municipal de transporte encarga un sondeo a pie de calle con un tamaño de muestra de $n = 300$ personas para estimar la frecuencia semanal con la que los vecinos usan la ciclovía.

Antes de realizar el trabajo de campo, el técnico estima que una muestra de $300$ personas será plenamente representativa siempre que refleje proporcionalmente las tres franjas de edad del municipio. Los encuestadores realizan las entrevistas un martes laborable entre las $10:00$ y las $12:30$ de la mañana en el parque central del pueblo, obteniendo una muestra con los siguientes participantes reales: $12$ menores de $18$ años, $114$ personas de entre $18$ y $64$ años, y $174$ personas de $65$ o más años.

1. a) Realiza la comprobación matemática: calcula cuántos individuos de cada grupo de edad deberían haber formado la muestra de $300$ personas para que representara fielmente a la población del municipio según los datos de la ONEI.
2. b) Comprueba la composición porcentual de la muestra que realmente se obtuvo y determina qué grupo poblacional está severamente sobrerrepresentado y cuál está infrarrepresentado.
3. c) Razona detalladamente qué factores del diseño de la recogida de datos (horario, día y ubicación) provocaron esta desviación y, suponiendo que las personas de $65$ o más años usan la ciclovía con menos frecuencia que el resto de vecinos, justifica si la variable objeto de estudio («frecuencia de uso de la ciclovía») resultará sobreestimada o subestimada respecto a la realidad del municipio.

Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas o cuantitativas:

1. a) El color favorito de la carcasa de un celular.
2. b) El número de seguidores en una cuenta de TikTok.
3. c) El tiempo, en minutos, que tardas en llegar desde tu casa a la secundaria.
4. d) La marca de tenis que prefieren los alumnos de tu clase.

Dentro de las variables cuantitativas, debemos distinguir entre discretas y continuas. Indica de qué tipo es cada una de las siguientes:

1. a) El número de primos que tiene cada estudiante.
2. b) La capacidad, en litros, de las botellas de agua que se venden en la cafetería.
3. c) El número de mensajes de WhatsApp que recibes a lo largo de un día.
4. d) El peso de las mochilas de los alumnos de 3º de ESO.

Relaciona cada una de las siguientes situaciones con la naturaleza de su variable estadística (Cualitativa, Cuantitativa Discreta o Cuantitativa Continua):

1. Los deportes que se practican en el combinado deportivo.

2. La temperatura máxima diaria registrada en tu ciudad durante el mes de julio.

3. El número de canales de televisión que se sintonizan en un hogar.

Para cada una de las siguientes preguntas de una encuesta, identifica si la respuesta daría lugar a una variable cualitativa nominal, cuantitativa discreta o cuantitativa continua:

1. a) "¿Qué aplicación de redes sociales utilizas con más frecuencia?"
2. b) "¿Cuántas horas al día (con decimales) pasas estudiando?"
3. c) "¿Cuántas veces has ido al cine en el último mes?"
4. d) "¿Cuál es tu sistema operativo preferido (Android o iOS)?"

Observa la siguiente tabla de datos recogidos sobre los hábitos de lectura de un grupo de estudiantes y clasifica cada columna según el tipo de variable estadística que representa:

1. a) Libros leídos al año.
2. b) Género favorito.
3. c) Tiempo medio de lectura diario.

En la siguiente tabla se presentan varias variables recogidas en una encuesta realizada en un club de e-sports. Clasifica cada una de ellas en cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua:

Imagina que trabajas en el departamento de marketing de una plataforma de streaming de música. Quieres investigar la relación entre la edad de los usuarios y el estilo de música que más escuchan.

Para ello, diseñas una base de datos con los siguientes campos para cada usuario:

1. Edad (años cumplidos).

2. Minutos diarios de escucha.

3. Género musical preferido (Pop, Rock, Trap, Otros).

4. Grado de satisfacción con el servicio (del $1$ al $5$).

1. a) Clasifica cada una de las cuatro variables anteriores (cualitativa o cuantitativa; y, dentro de cada tipo, nominal u ordinal, discreta o continua).

1. b) Explica qué tipo de gráfico (diagrama de barras, diagrama de sectores o histograma) crees que sería más adecuado para representar los datos de la variable "Género musical preferido" y por qué. Indica también si alguno de los tres no sería adecuado y razona la respuesta.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un desarrollador de videojuegos está analizando el comportamiento de los jugadores en una fase Beta. Para optimizar el rendimiento, registra los siguientes datos de cada usuario:

1. El nombre del servidor al que se conectan (Norte, Sur, Este, Oeste).

2. El código identificador único de la cuenta (un número de 8 cifras).

3. El tiempo de respuesta o ping medido en milisegundos.

4. El número de veces que el jugador ha pulsado el botón de "pausa" en una hora.

5. El nivel de satisfacción del usuario, puntuado como: "Muy insatisfecho", "Insatisfecho", "Neutral", "Satisfecho" o "Muy satisfecho".

Razona y clasifica cada una de las variables anteriores. Presta especial atención a la variable número 2: ¿el hecho de que sea un número implica que sea una variable cuantitativa? Justifica tu respuesta.

En un laboratorio de biología se estudia el crecimiento de una colonia de bacterias. El investigador decide registrar la temperatura del cultivo cada hora. La temperatura puede tomar valores como $36,42 ^\circ C$, $36,45 ^\circ C$, etc. Sin embargo, para simplificar el informe final, el investigador agrupa los resultados en tres categorías: "Frío" (menos de $30 ^\circ C$), "Óptimo" (entre $30 ^\circ C$ y $40 ^\circ C$) y "Exceso de calor" (más de $40 ^\circ C$).

1. a) ¿Qué tipo de variable es la temperatura medida originalmente?
2. b) ¿Qué tipo de variable es la que finalmente aparece en el informe tras agrupar los datos?
3. c) ¿Se ha perdido información en este proceso? Explica qué ventaja y qué inconveniente tiene realizar esta transformación desde el punto de vista estadístico.

Una plataforma de streaming analiza los datos de sus suscriptores para mejorar sus recomendaciones. Clasifica las siguientes variables que utiliza su algoritmo:

1. a) Tiempo total (en segundos) que un usuario permanece viendo un video antes de cerrarlo.
2. b) Tipo de dispositivo utilizado (Smart TV, Smartphone, Tablet, PC).
3. c) Número de veces que un usuario ha compartido un enlace de la plataforma en el último mes.
4. d) Calificación media de las películas vistas (de 1 a 5 estrellas, permitiendo medias estrellas como 3,5).
5. e) Posición que ocupa una serie en el "Top 10" de lo más visto en el país.

Discute si la variable (d) podría considerarse continua o discreta dependiendo de cómo se recojan los datos originales (votos individuales vs. media calculada).

Marcos ha realizado una pequeña encuesta a sus compañeros de aula para un trabajo de Matemática sobre hábitos de vida y ocio. En su informe preliminar ha clasificado las siguientes cuatro variables:

1. Código postal del domicilio: «Cuantitativa continua, porque está formado por un número de cinco cifras y puede tomar valores muy altos».

2. Número del dorsal de la camiseta de su deportista preferido: «Cuantitativa discreta, porque siempre es un número entero sin decimales».

3. Tiempo diario dedicado al uso del teléfono celular: «Cuantitativa discreta, porque al preguntar a la gente todos responden con números enteros de minutos, como $45$ o $60$ minutos».

4. Nivel de satisfacción con las instalaciones deportivas del reparto (Bajo, Medio, Alto): «Cualitativa».

Identifica los errores conceptuales que ha cometido Marcos, argumenta por qué su justificación es incorrecta en cada caso y escribe la clasificación correcta y completa de las cuatro variables.

La dirección de tu centro quiere llevar a cabo un estudio estadístico sobre la movilidad sostenible y los hábitos de transporte de la comunidad escolar. Diseña tú mismo el cuestionario del estudio cumpliendo exactamente las siguientes condiciones:

1. a) Redacta una pregunta cuya respuesta sea una variable cualitativa nominal (sin ningún orden jerárquico natural).
2. b) Redacta una pregunta cuya respuesta sea una variable cuantitativa discreta, aclarando qué elemento concreto se está contando.
3. c) Redacta una pregunta cuya respuesta sea una variable cuantitativa continua, indicando la unidad física de medida que se empleará.
4. d) Define con precisión cuál es la población completa del estudio, cuál es un individuo concreto y propón un tamaño de muestra razonable si en el centro hay matriculados $750$ estudiantes en total.

Un equipo de sociología de la educación quiere investigar los hábitos digitales de los jóvenes de entre $12$ y $16$ años de una provincia que cuenta con $120\,000$ personas en esa franja de edad. Antes de comenzar la recogida de datos surgen dos debates metodológicos:

Debate 1: Definición operativa de la variable

• La investigadora A propone preguntar: «¿Cuántas horas enteras dedicas al día a las pantallas? (Opciones cerradas: $1$, $2$, $3$, $4$ o más de $4$)».

• El investigador B propone solicitar a los participantes que consulten el registro de la aplicación de 'Bienestar digital' de su teléfono y anoten el tiempo total exacto de pantalla del día anterior, registrado en minutos y segundos (por ejemplo, $194\text{ min } 35\text{ s}$).

Clasifica rigurosamente el tipo de variable estadística que genera cada propuesta. Argumenta cuál de las dos opciones aporta mayor precisión matemática y qué pérdida de información o distorsión sufre el estudio si se adopta la propuesta de A.

Debate 2: Elección del método de muestreo

Se dispone de recursos para encuestar a $600$ jóvenes. Se barajan dos opciones:

• Opción 1: Lanzar una campaña patrocinada en redes sociales con un formulario web abierto, deteniendo la encuesta en cuanto se alcancen las $600$ respuestas recibidas.

• Opción 2: Seleccionar por sorteo $15$ centros de la provincia garantizando que haya centros de secundaria básica y de preuniversitario, de ámbito rural y urbano, y elegir en cada uno a $40$ estudiantes al azar de las listas de matrícula.

Compara ambas opciones analizando los tres requisitos de una muestra representativa: selección aleatoria, cobertura de grupos relevantes y control de las ausencias de respuesta. Justifica cuál de las dos opciones debe elegirse.

Un equipo de investigadores quiere realizar un estudio sobre el consumo de bebidas energéticas en los adolescentes de una ciudad de $50\,000$ habitantes. Para ello, seleccionan a $250$ estudiantes de entre $12$ y $18$ años de diferentes escuelas y les preguntan cuántas latas han consumido en la última semana.

Identifica los siguientes elementos del estudio estadístico:

1. a) La población objeto de estudio.
2. b) La muestra elegida.
3. c) El individuo.
4. d) El tamaño de la muestra.
5. e) La variable estadística y su tipo.

Un biólogo está midiendo el crecimiento de una especie de helecho en un invernadero. Al cabo de un mes, anota las alturas (en cm) de $20$ ejemplares. Los datos obtenidos son una variable cuantitativa continua. El histograma muestra las alturas agrupadas en intervalos de $5$ cm.

1. a) Explica la diferencia entre una variable cuantitativa discreta y una continua usando este ejemplo.

1. b) Si los datos se agrupan en intervalos como $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$..., ¿cuál sería la marca de clase del segundo intervalo?

1. c) ¿Qué valor representa la marca de clase en los cálculos estadísticos?

Se realiza un estudio sobre la calidad del aire en diferentes puntos de una provincia. Para ello, se instalan estaciones de medición que registran la concentración de partículas $PM_{10}$ (en $\mu g/m^3$).

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando cada respuesta:

1. a) La variable "concentración de partículas" es cualitativa porque indica la calidad del aire.
2. b) Si medimos la concentración en $15$ puntos elegidos al azar, el individuo es cada uno de esos puntos de medición.
3. c) El número de habitantes de las zonas donde se mide es una variable cuantitativa continua.
4. d) La variable "nivel de contaminación" con valores (Bajo, Medio, Alto) es una variable cualitativa ordinal.

El gobierno municipal quiere saber el número de mascotas que hay en los hogares de un reparto nuevo donde viven $1\,200$ familias. Para no preguntarle a todo el mundo, deciden enviar una encuesta a las $120$ familias que viven en los primeros domicilios de la lista alfabética de calles.

1. a) Indica cuál es la población y cuál es la muestra.
2. b) ¿Es este un método de muestreo aleatorio simple? ¿Por qué?
3. c) Identifica la variable y di de qué tipo es.
4. d) Si en la muestra el $15\%$ de las familias no tienen mascota, ¿cuántas familias del reparto se estima que sí tienen al menos una mascota?

El Instituto de Meteorología (INSMET) dispone de estaciones automáticas de medición repartidas por todo el país. Durante un episodio de ola de calor en julio, un equipo de analistas recopila datos a las $16:00\text{ h}$ de $45$ estaciones seleccionadas en la región oriental de Cuba para estudiar el impacto de las temperaturas extremas. De cada estación se anotan los siguientes datos:

• La provincia en la que se ubica.

• La temperatura del aire registrada a la sombra (en $^{\circ}\text{C}$, con precisión de décimas).

• El número de rachas de viento superiores a $40\text{ km/h}$ registradas en las últimas tres horas.

• La altitud sobre el nivel del mar a la que está instalada la estación (en metros).

• El nivel del aviso meteorológico vigente emitido para esa zona (Verde, Amarillo, Naranja, Rojo).

1. a) Identifica la población del estudio, la muestra seleccionada, el tamaño de la muestra y el individuo.
2. b) Clasifica cada una de las cinco variables registradas en cualitativa (especificando si es nominal u ordinal) o cuantitativa (especificando si es discreta o continua).
3. c) Justifica si tendría sentido sustituir este estudio muestral por un censo completo y argumenta una ventaja y un inconveniente que tendría realizar dicho censo.

Una empresa de mensajería quiere mejorar su eficiencia. Para ello, define la población como "todos los paquetes enviados en Cuba durante un año". Al ser imposible estudiarlos todos, seleccionan una muestra de 500 paquetes.

De cada paquete anotan: peso en kg, volumen en $m^3$, provincia de destino y número de intentos de entrega.

1. a) Identifica la población, la muestra y los individuos del estudio.
2. b) Clasifica las variables registradas.
3. c) Si de los 500 paquetes de la muestra, 450 se recogieron únicamente en una oficina de una zona exclusiva de La Habana, ¿podemos decir que la muestra es representativa para sacar conclusiones sobre el servicio en toda Cuba? Justifica tu respuesta usando el concepto de sesgo estadístico.

Imagina que quieres realizar un estudio estadístico sobre el uso de redes sociales entre los adolescentes de tu ciudad. Debes diseñar una encuesta que contenga exactamente:

1. Una variable cualitativa nominal.

2. Una variable cualitativa ordinal.

3. Una variable cuantitativa discreta.

4. Una variable cuantitativa continua.

Redacta una pregunta para cada caso que sea realista y útil para tu investigación. Explica por qué cada pregunta corresponde al tipo de variable solicitado.

A menudo, las variables cuantitativas continuas se presentan como discretas debido a la precisión de los instrumentos de medida. Un sensor de precisión mide el grosor de unas láminas de acero producidas en una fábrica. El sensor muestra valores como $2,00$ mm, $2,01$ mm, $2,02$ mm...

1. a) Aunque el sensor solo muestre dos decimales, ¿por qué el grosor se considera una variable cuantitativa continua y no discreta?
2. b) Si la fábrica produce 10.000 láminas al día y el control de calidad decide medir solo aquellas láminas que se fabrican entre las 12:00 y las 12:15, ¿será la muestra representativa de la producción total del día? Razona tu respuesta mencionando posibles factores que podrían variar a lo largo de la jornada.

Se realiza un estudio sobre la salud auditiva de los jóvenes. Se mide la intensidad del volumen al que escuchan música con auriculares (en decibelios, dB).

La figura muestra el intervalo en el que se encuentran los valores medidos y el umbral de 85 dB que fija el equipo médico.

1. Clasifica la variable "Intensidad de sonido en dB".

2. Si los valores obtenidos oscilan entre $65,4$ dB y $105,9$ dB, explica por qué no tendría sentido tratar esta variable como una variable cualitativa nominal.

3. El equipo de médicos decide que, si la intensidad supera los $85$ dB, el riesgo es "Alto", y si es inferior, el riesgo es "Bajo". Clasifica esta nueva variable "Riesgo auditivo".