Ejercicios: Números racionales

Observa la siguiente representación gráfica de una fracción. Tu tarea consiste en:

1. Escribir la fracción irreducible que representa la parte coloreada en naranja respecto al total del círculo.

2. Indicar si la fracción $\frac{9}{24}$ es equivalente a la representada en la imagen. Justifica tu respuesta simplificando ambas fracciones.

Tres amigos están compitiendo en una carrera de obstáculos de 100 metros. En un momento determinado, sus posiciones son las siguientes:

• Ana ha recorrido $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto ha recorrido $\frac{3}{4}$ del total.

• Carla ha recorrido $\frac{7}{10}$ del total.

• Calcula cuántos metros ha recorrido exactamente cada uno.

• Ordena las fracciones de menor a mayor utilizando el símbolo $<$.

• Ubica aproximadamente la posición de Ana (A), Beto (B) y Carla (C) en la recta numérica mostrada a continuación.

Clasifica los siguientes números decimales según sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, expresa los que sean exactos en forma de fracción irreducible.

1. a) $3,25$
2. b) $7,1111\dots$
3. c) $0,25$
4. d) $5,0424242\dots$

En un videojuego de estrategia, el mapa está dividido en diferentes zonas según el terreno.

El mapa total ocupa 1200 píxeles cuadrados.

• El bosque ocupa $\frac{1}{3}$ del mapa.

• El agua ocupa $\frac{1}{4}$ del mapa.

• El resto es desierto.

• ¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el bosque?

• ¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el agua?

• Calcula qué fracción irreducible del mapa representa el desierto.

Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Recuerda que para sumar o restar debes obtener primero el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

1. b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$

El almacenamiento de tu celular se reparte de la siguiente manera:

• Las fotos ocupan $\frac{2}{5}$ del espacio.

• Las aplicaciones ocupan $\frac{1}{3}$ del espacio.

• ¿Qué fracción del total ocupan las fotos y las aplicaciones juntas?

• Si el resto del espacio está libre, ¿qué fracción representa el espacio libre?

• Si la capacidad total del celular es de 60 GB, ¿cuántos GB quedan libres?

Calcula los siguientes productos y divisiones de fracciones. Recuerda simplificar el resultado final si es posible.

1. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

1. b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$

Nota: Recuerda la regla de los signos y que un número entero tiene denominador 1.

Marta ha comprado una pizza rectangular grande para cenar. Al abrir la caja, ve que la pizza viene cortada en 24 trozos iguales.

• Marta se come 4 trozos.

• Su hermano Luis se come 6 trozos.

• Sus padres se comen 8 trozos entre los dos.

• Escribe la fracción de pizza que se ha comido cada uno (Marta, Luis y padres). Simplifícalas al máximo.

• ¿Qué fracción de la pizza ha sobrado? Expresa el resultado como fracción irreducible.

Marcos está resolviendo un ejercicio de potencias en clase y comete un error muy común. En su libreta aparece escrito lo siguiente:

$$\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = -\left(\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$$

Su compañera Lucía le advierte de que el resultado final está mal porque ha aplicado de forma incorrecta el significado del exponente negativo y el tratamiento del signo de la base.

1. Explica razonadamente qué dos errores conceptuales ha cometido Marcos en su desarrollo.

2. Escribe el desarrollo correcto paso a paso, aplicando las propiedades de las potencias de números racionales, e indica la fracción irreducible resultante.

Antes de calcular de forma exacta el valor de la siguiente expresión:

$$E = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2$$

1. Estima: Sin hacer operaciones numéricas largas sobre el papel, reflexiona y responde de forma justificada:

2. La base $\left(1 - \frac{2}{3}\right)$, ¿es un número menor o mayor que $1$? Al elevarlo al cubo, ¿el resultado se hace más grande o más cercano a cero?

3. La base $\frac{5}{2}$, ¿es mayor o menor que $2$? ¿Cuánto vale aproximadamente su cuadrado?

4. Con estas dos deducciones, estima si el valor final de $E$ será menor que $1$, estará entre $1$ y $2$, o será mayor que $2$.

5. Comprueba: Realiza ahora el cálculo exacto de $E$ respetando la jerarquía de las operaciones, obtén la fracción irreducible y calcula su valor decimal redondeado a dos cifras para comprobar si tu estimación inicial era correcta.

Calcula el valor de la siguiente operación combinada, respetando la jerarquía de las operaciones (paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas). Debes simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$

Tu celular tiene una capacidad de almacenamiento total desconocida. El sistema operativo ocupa $\frac{1}{6}$ de la memoria total. De lo que queda libre, tus aplicaciones y juegos ocupan $\frac{3}{5}$. Si al final te quedan libres 32 GB para tus fotos y videos:

1. a) ¿Qué fracción del total representa la memoria libre para fotos?
2. b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del celular en GB?

Ayúdate del siguiente esquema gráfico para visualizar el problema:

Clasifica los siguientes números decimales (exacto, periódico puro o periódico mixto) y halla su fracción generatriz. Una vez obtenidas las fracciones, realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:

$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$

En el laboratorio de Física hemos medido la longitud de una mesa y el grosor de una moneda. Los resultados han sido:

• Longitud de la mesa: valor real $120 \text{ cm}$, valor medido $118 \text{ cm}$.

• Grosor de la moneda: valor real $2 \text{ mm}$, valor medido $2,5 \text{ mm}$.

Calcula el error absoluto y el error relativo (en porcentaje) de cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones ha sido más precisa? Justifica tu respuesta basándote en el error relativo.

Representa en la recta numérica los números racionales $\frac{7}{4}$ y $-\frac{2}{3}$.

Para ello, utiliza el Teorema de Tales o la división de segmentos para ubicar los puntos de forma exacta, no aproximada.

Dibuja en tu cuaderno una recta como la siguiente, con los números enteros marcados (conviene que la unidad sea grande, por ejemplo 6 cm), y haz sobre ella tu construcción:

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Tres amigos compran un regalo de cumpleaños que cuesta 60 dólares.

• Ana aporta $\frac{1}{3}$ del precio total.

• Berto aporta $\frac{2}{5}$ del precio total.

• Carla paga el resto.

1. a) ¿Qué fracción del total paga Carla?
2. b) ¿Cuánto dinero en dólares pone cada uno?

Se deja caer una pelota de goma desde una altura de 27 metros. En cada rebote, la pelota sube una altura equivalente a $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.

1. a) Escribe la fracción y la altura en metros que alcanza tras el primer rebote.
2. b) Escribe la fracción y la altura en metros que alcanza tras el segundo rebote.
3. c) ¿A qué altura subirá después del tercer rebote?

Disponemos de un bidón de aceite con una capacidad de 120 litros.

Queremos envasar todo el aceite en dos tipos de recipientes:

• Llenamos 40 botellas de $\frac{3}{4}$ de litro cada una.

• El resto del aceite lo envasamos en garrafas de $1,5$ litros.

¿Cuántas garrafas de 1,5 litros necesitaremos para envasar el aceite restante?

Nota: Recuerda que 1,5 litros se puede expresar como la fracción $\frac{3}{2}$.

En un examen de 3.º de ESO se plantea simplificar al máximo la siguiente operación combinada con potencias:

$$A = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right)^{-2}}{\left(\frac{8}{27}\right)^{-1}}$$

Dos alumnos proponen caminos distintos para llegar a la fracción irreducible:

• Método de Sergio: Desarrollar directamente los números naturales (elevar $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, invertir $(-4/9)$ a $(-9/4)^2 = 81/16$, etc.), multiplicar las fracciones resultantes y finalmente simplificar dividiendo entre el máximo común divisor.

• Método de Irene: Descomponer todos los números que aparecen en factores primos ($4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$), expresar cada potencia con bases $2$ y $3$, gestionar los signos de las bases y operar sumando o restando exponentes mediante las propiedades de las potencias.

• Resuelve la expresión utilizando el Método de Irene detallando cada paso.

• Compara ambos métodos y justifica por qué el de Irene es mucho más conveniente y seguro que el de Sergio cuando trabajamos con números racionales y potencias elevadas.

Debido a un prolongado periodo sin precipitaciones en el sur de España, los técnicos del Ministerio para la Transición Ecológica analizan la reserva de agua de un embalse que tiene una capacidad máxima de $160\text{ hm}^3$. A comienzos de junio, el embalse se encuentra a $\frac{3}{4}$ de su capacidad total.

Durante los meses de junio, julio y agosto, el agua no recibe aportes de lluvia y, debido al riego y a la evaporación, el volumen retenido al final de cada mes pasa a ser exactamente los $\frac{4}{5}$ del volumen que había al final del mes precedente.

1. Modela la situación escribiendo una única expresión matemática con potencias de fracciones que represente la fracción de la capacidad máxima total del embalse que queda al término de los tres meses.

2. Las normativas de cuenca obligan a activar un protocolo de emergencia si las reservas caen por debajo de los $65\text{ hm}^3$. Calcula el volumen exacto de agua disponible al finalizar agosto (en forma de fracción irreducible y en valor decimal con coma) y determina de manera justificada si es necesario activar dicho protocolo.

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para ello, debes convertir previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificar cada paso antes de operar. Ten cuidado con la jerarquía de las operaciones y los signos negativos.

$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{5}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$

Nota: Recuerda que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Un grupo de estudiantes de 3º de ESO está organizando la financiación para su viaje de fin de curso. Han diseñado un plan de recaudación por etapas:

1. En la primera etapa (venta de lotería), consiguieron recaudar $\frac{2}{5}$ del coste total del viaje.

2. En la segunda etapa (torneo de e-sports), recaudaron $\frac{3}{4}$ de lo que les faltaba por conseguir tras la primera etapa.

3. En la tercera etapa (mercadillo solidario), consiguieron $\frac{2}{3}$ del nuevo resto que les quedaba.

Si después de estas tres etapas todavía les faltan 150 dólares para cubrir el coste total:

1. a) ¿Qué fracción del total representa lo recaudado en la tercera etapa?
2. b) ¿Cuál es el coste total del viaje?
3. c) ¿Cuánto dinero recaudaron en el torneo de e-sports?

Apóyate en el siguiente diagrama de barras para visualizar las fracciones de resto:

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dos impresoras 3D están trabajando para imprimir las piezas de un proyecto de tecnología.

• La impresora modelo A (más antigua) tardaría 6 horas en imprimir todas las piezas ella sola.

• La impresora modelo B (de última generación) tardaría solo 4 horas en realizar el mismo trabajo completo en solitario.

Para acelerar el proceso, se ponen ambas a funcionar simultáneamente. Sin embargo, tras 1 hora y media funcionando juntas, la impresora B se avería y se detiene.

1. a) ¿Qué fracción del trabajo total han completado juntas antes de la avería?
2. b) ¿Qué fracción del trabajo queda pendiente?
3. c) ¿Cuánto tiempo extra tardará la impresora A en terminar el trabajo restante ella sola? Expresa el resultado en horas y minutos.

Tenemos una pieza cuadrada de material conductor para un circuito. Se realizan cortes sucesivos siguiendo un patrón geométrico fractal:

1. El cuadrado original se divide en 4 cuadrados iguales y se elimina (se colorea de negro) el cuadrado superior izquierdo.

2. De los 3 cuadrados verdes restantes, cada uno se vuelve a dividir en 4 cuadrados iguales y se elimina el superior izquierdo de cada uno de ellos.

Observa la figura generada tras el segundo paso:

1. a) Escribe la operación combinada de fracciones que calcula qué parte del área total ha sido eliminada (zonas sombreadas) después del segundo paso.
2. b) Si el lado del cuadrado original mide $1 \text{ m}$, ¿cuántos $\text{cm}^2$ de material "blanco" (no eliminado) quedan tras el segundo paso?

Encuentra una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ tal que sea el resultado de operar:

$$ 2,3\widehat{1} - 0,\widehat{5} + \frac{1}{11} \cdot 0,5 $$

Si intentas hacer esta operación convirtiendo a decimales y operando, obtendrás un error de aproximación. Demuestra algebraicamente, usando fracciones generatrices, que el resultado es exacto.

A continuación, calcula el error absoluto y el error relativo (en %) que se cometería si aproximáramos el número $2,3\widehat{1}$ simplemente por $2,31$ antes de empezar a operar.

Un biólogo está preparando un cultivo de bacterias y necesita una temperatura ambiente muy específica.

El termostato del laboratorio tiene una escala un poco extraña marcada en fracciones de grado.

La temperatura ideal $T$ debe cumplir la siguiente condición de distancia (valor absoluto):

$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$

1. a) Representa en la recta numérica el conjunto de todos los valores posibles de temperatura $T$ (intervalo).
2. b) Escribe el intervalo solución usando desigualdades y fracciones.
3. c) ¿Sería válida una temperatura de $6,65^\circ \text{C}$? Justifica tu respuesta operando con fracciones.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Tenemos tres depósitos de jugo con distintas capacidades:

• Depósito A: Lleno hasta $\frac{3}{5}$ de su capacidad.

• Depósito B: Lleno hasta $\frac{5}{6}$ de su capacidad.

• Depósito C: Vacío, con una capacidad de 100 litros.

Sabemos que la capacidad total del depósito A es $\frac{2}{3}$ de la capacidad del depósito B.

Si vertemos el contenido actual de A y de B dentro del depósito C, la mezcla ocupa exactamente $\frac{11}{20}$ de la capacidad de C.

Calcula la capacidad máxima (volumen total) de los depósitos A y B.

Una pelota de goma muy elástica se deja caer desde una altura de 243 cm.

Cada vez que rebota en el suelo, la pelota asciende a una altura que es igual a $\frac{2}{3}$ de la altura desde la que cayó anteriormente.

1. a) Escribe la secuencia de alturas (en forma de potencias y fracciones) que alcanza la pelota en el primer, segundo y tercer rebote.
2. b) ¿A qué altura subirá después del quinto rebote? Expresa el resultado como fracción irreducible y luego pásalo a decimal.
3. c) ¿Qué distancia total habrá recorrido la pelota (sumando bajadas y subidas) justo cuando toque el suelo por cuarta vez?

Se tiene la siguiente igualdad en la que interviene una potencia con exponente entero desconocido $x$:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{-2} : \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$$

1. Expresa todas las potencias y el resultado final como potencias de una única fracción base de la forma $\frac{3}{2}$. Aplica las propiedades de las potencias de exponente negativo y de potencias de una potencia.

2. Plantea una ecuación sencilla con los exponentes y deduce de forma justificada el valor entero de $x$.

3. Encuentra ahora una fracción irreducible positiva $\frac{a}{b}$ y un exponente entero estrictamente negativo $n < 0$ tales que al multiplicar $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ por el resultado de la expresión original ($\frac{27}{8}$) se obtenga exactamente la unidad ($1$). Justifica tu elección.

El departamento de tecnología de un centro de estudios compra un lote de computadoras portátiles valorado en $\$9\,600$. Por el uso intensivo y el desfase tecnológico, los equipos sufren una amortización continua: cada año pierden una tercera parte del valor contable que tenían el año anterior.

El centro baraja dos opciones para cuando los equipos cumplan cierta antigüedad:

• Plan de renovación a los 3 años ($t = 3$): Vender el lote a una empresa de reacondicionamiento por el valor contable exacto que tengan en ese momento.

• Plan de renovación a los 4 años ($t = 4$): Mantener las computadoras un año más en el centro y venderlas a los 4 años por su valor contable en esa fecha, pero añadiendo una ayuda fija institucional de reciclaje digital dotada con $\$300$ para el centro escolar.

• Escribe la fórmula que exprese el valor contable $V(t)$ en función de los años transcurridos $t$, utilizando una potencia de base racional irreducible.

• Calcula el valor contable exacto del lote al cabo de $3$ años y al cabo de $4$ años, simplificando las fracciones antes de obtener el importe en dólares.

• Analiza cuál de los dos planes reporta mayores ingresos económicos al centro y calcula la diferencia económica exacta entre ambas opciones.