Fracciones y decimales

Observa la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono celular.

1. Escribe la fracción que representa la parte cargada de la batería respecto al total.

2. Simplifica dicha fracción hasta obtener su fracción irreducible.

3. Si la batería tiene una capacidad total de $4000 \text{ mAh}$, ¿cuántos mAh de energía quedan disponibles?

Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Para justificar tu respuesta, utiliza el método del producto cruzado (multiplicar en cruz) o simplifica ambas fracciones hasta obtener la irreductible.

1. a) $\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$
2. b) $\frac{4}{7}$ y $\frac{10}{21}$
3. c) $\frac{-2}{3}$ y $\frac{8}{-12}$

Representa en la siguiente recta numérica, de forma aproximada, los números racionales que se indican a continuación.

Números a representar:

• $A = \frac{3}{2}$

• $B = -\frac{1}{2}$

• $C = \frac{3}{4}$

• $D = -1,5$

Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones. Recuerda simplificar el resultado final siempre que sea posible y respeta la jerarquía de las operaciones (primero paréntesis, luego multiplicaciones/divisiones, y finalmente sumas/restas).

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
2. b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
3. c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$

Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Recuerda simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificando el resultado paso a paso:

$$ \frac{1,1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot 0,1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$

Nota: Recuerda respetar la jerarquía de las operaciones y trabajar con fracciones durante todo el proceso para evitar errores de redondeo.

Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en su correspondiente fracción generatriz.

1. a) $2,5$
2. b) $1,333...$
3. c) $4,1252525...$
4. d) $0,08$

Busca una fracción irreducible positiva $\frac{n}{d}$ que cumpla a la vez las siguientes cuatro condiciones:

• El denominador $d$ es un número de una sola cifra ($d < 10$).

• Al dividir $n$ entre $d$, se obtiene un número decimal periódico puro cuyo periodo tiene una única cifra.

• El valor del número decimal está comprendido estrictamente entre $1,5$ y $2$ ($1,5 < \frac{n}{d} < 2$).

• La suma del numerador y el denominador es igual a $25$ ($n + d = 25$).

• Justifica qué cifras no pueden ser en ningún caso el denominador $d$ si queremos que el decimal sea periódico puro.

• Deduce los valores exactos de $n$ y de $d$ descartando con argumentos matemáticos las opciones que no cumplan todas las pistas.

• Escribe la fracción definitiva, comprueba que es irreducible y exprésala en forma decimal indicando su periodo.

Sea $x$ un número decimal periódico mixto cuya parte entera es 0.

Sabiendo que:

• Su anteperiodo tiene 2 cifras.

• Su periodo tiene 1 cifra.

• La fracción generatriz irreducible de dicho número tiene como denominador 900.

• El número satisface que: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$

Encuentra todos los posibles valores de $x$ y exprésalos como fracción y como número decimal.

Mateo tiene que calcular la fracción generatriz del número decimal periódico mixto $0,3\widehat{8}$ para resolver una actividad de clase. En su cuaderno escribe lo siguiente:

$$0,3\widehat{8} = \frac{38}{90} = \frac{19}{45}$$

1. Localiza el error que ha cometido Mateo en el numerador y explica razonadamente por qué su procedimiento es incorrecto.

2. Aplica la regla deductiva correcta (restando al número sin coma la parte que no se repite) para hallar la fracción generatriz y simplifícala hasta obtener la fracción irreducible.

3. Realiza la división a mano del numerador entre el denominador de tu fracción obtenida para comprobar que efectivamente reproduce el decimal $0,3888\dots$

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales durante el proceso.

$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$

Se quiere diseñar un código numérico a partir de una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ (con $a, b \in \mathbb{N}$ y $a < b$) que cumpla las siguientes condiciones:

• Su desarrollo decimal es periódico mixto, con un anteperiodo de una cifra y un periodo de dos cifras: $0,x\widehat{yz}$.

• La fracción está comprendida en la recta real estrictamente entre $0,15$ y $0,20$.

• El denominador $b$ es el menor número natural posible que permite obtener esa estructura decimal.

• Analiza la fracción generatriz teórica $\frac{N - a}{990}$ y razona qué factores primos debe contener obligatoriamente el denominador simplificado $b$. Demuestra por qué el menor denominador posible no puede ser $22$ y tiene que ser $b = 55$.

• Encuentra el único numerador $a$ que hace que $\frac{a}{55}$ sea irreducible y se sitúe en el intervalo $(0,15;\; 0,20)$. Halla su desarrollo decimal identificando el anteperiodo y el periodo.

• Halla la fracción generatriz irreducible del número $0,1\widehat{9}$. A la vista del resultado, clasifícalo en el conjunto numérico más restrictivo al que pertenece ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y escribe un ejemplo de número irracional que esté situado estrictamente entre tu fracción $\frac{a}{55}$ y este número $0,1\widehat{9}$.

Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales.

1. a) $25\%$
2. b) $0,75$
3. c) $10\%$
4. d) $1,5$

En una escuela de 500 alumnos, se ha realizado una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes:

• $\frac{1}{2}$ de los alumnos prefiere el fútbol.

• $\frac{3}{10}$ de los alumnos prefiere el baloncesto.

• El resto de los alumnos prefiere otros deportes.

1. a) ¿Cuántos alumnos prefieren el fútbol?
2. b) ¿Cuántos alumnos prefieren el baloncesto?
3. c) ¿Qué fracción del total de alumnos prefiere "otros deportes"?

Según los datos del boletín hidrológico de una cuenca hidrográfica cubana, un embalse tiene una capacidad máxima de $180\text{ hm}^3$. Tras las últimas lluvias, el agua almacenada se distribuye del siguiente modo:

• El agua destinada al consumo urbano representa el $22,\widehat{2}\%$ de la capacidad total del embalse.

• El agua reservada para riego agrícola equivale exactamente a $\frac{5}{12}$ de la capacidad total del embalse.

• El volumen restante de agua almacenada se reserva como caudal ecológico del río.

• Transforma el porcentaje de consumo urbano ($22,\widehat{2}\%$) en una fracción generatriz irreducible. Recuerda que un porcentaje equivale a una fracción con denominador 100.

• Calcula cuántos hectómetros cúbicos ($\text{hm}^3$) de agua corresponden exactamente a cada uno de los tres usos: urbano, agrícola y caudal ecológico.

• Para evitar sanciones medioambientales, la normativa exige que el caudal ecológico almacenado supere la cuarta parte del volumen total del embalse. A partir de tus cálculos, determina de forma justificada si se cumple dicha exigencia.

Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales (exactos o periódicos), halla su fracción generatriz simplificada.

1. a) $4,25$
2. b) $-7$
3. c) $3,1\widehat{6}$
4. d) $5,\widehat{27}$
5. e) $-\frac{18}{3}$

Una vez obtenidas las fracciones, ordénalas de menor a mayor.

Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo:

$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$

Explica detalladamente el procedimiento que has seguido para encontrarlos y demuestras que, efectivamente, pertenecen a dicho intervalo.

Tres amigos, Ana, Beto y Carla, deciden comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\$120$.

• Ana aporta $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto aporta $\frac{1}{3}$ del total.

• Carla pone el resto.

1. a) ¿Qué fracción del total aporta Carla?
2. b) ¿Cuántos dólares paga cada uno?
3. c) Si hubieran decidido pagar a partes iguales, ¿qué fracción del total habría pagado cada uno y cuánto dinero sería?

Javier ha estado revisando el almacenamiento de su celular, que tiene una capacidad total de $128 \text{ GB}$. Observa la siguiente distribución de sus datos:

1. El sistema operativo y las aplicaciones preinstaladas ocupan $\frac{1}{8}$ del total.

2. Las fotos y videos de sus vacaciones ocupan $\frac{2}{5}$ del resto (lo que queda libre tras contar el sistema).

3. Sus juegos ocupan $\frac{1}{4}$ de lo que quedaba tras guardar las fotos.

¿Qué fracción del total representa el espacio que aún tiene libre? ¿Cuántos Gigabytes (GB) son? Apóyate en el siguiente esquema para visualizar el problema.

Un servidor de almacenamiento en la nube ha sufrido una serie de cargas masivas de datos y borrados accidentales durante el fin de semana.

1. El sábado por la mañana, el servidor estaba lleno hasta los $\frac{3}{4}$ de su capacidad total.

2. Al mediodía, un script automático borró $\frac{1}{5}$ de los datos que había almacenados en ese momento.

3. Por la tarde, se subieron nuevos archivos que ocuparon $\frac{2}{3}$ de la capacidad que había quedado libre tras el borrado.

Si al final del día aún quedaban 120 GB de espacio libre en el disco duro del servidor:

a) ¿Qué fracción del total del disco representa el espacio libre final?

b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del servidor en GB?

Para montar una estantería en el taller de Tecnología, Sofía necesita empalmar dos listones de madera. El primer listón mide $1,\widehat{6}\text{ m}$ de longitud y el segundo listón mide exactamente $\frac{9}{4}\text{ m}$.

1. Antes de realizar cálculos con fracciones, realiza una estimación mental aproximando cada medida a un número decimal con una sola cifra decimal (décimas) y súmalos. ¿Cuánto mide aproximadamente la unión de ambos listones?

2. Halla la fracción generatriz irreducible de $1,\widehat{6}$ y calcula la suma exacta con la fracción $\frac{9}{4}$, expresando el resultado final como una fracción irreducible.

3. Convierte la fracción irreducible resultante a forma decimal y compárala con tu estimación inicial. ¿Fue una estimación razonable? Justifica a qué se debe la pequeña diferencia.

Se quiere vallar un terreno rectangular. Sabemos que la longitud de su base es de $\frac{15}{2}$ metros y su altura mide $\frac{2}{3}$ de la medida de la base.

1. a) Calcula el perímetro del rectángulo en forma de fracción y en forma decimal.
2. b) Calcula el área del terreno en metros cuadrados ($\text{m}^2$).
3. c) Si el metro de valla cuesta $\$8,50$, ¿cuánto costará cercar todo el terreno?

Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Inicialmente, en un cultivo hay un número determinado de bacterias que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacidad total de la placa de Petri.

1. a) Si cada hora se duplica la población, ¿qué fracción de la placa estará ocupada después de 3 horas? Expresa el resultado como una potencia de base 2.
2. b) ¿Cuántas horas en total tendrán que pasar (desde el inicio) para que la placa esté completamente llena (es decir, la fracción sea 1)?
3. c) Si al inicio había 500 bacterias (correspondientes a ese $\frac{1}{64}$), ¿cuántas bacterias habrá cuando la placa esté a la mitad de su capacidad?

Observa la siguiente figura geométrica que representa un terreno cuadrado dividido en diferentes parcelas de cultivo.

Calcula qué fracción del área total del cuadrado representa la zona sombreada (color naranja). Expresa el resultado como una fracción irreducible.

Tres llaves ($A$, $B$ y $C$) vierten agua a un depósito, y un desagüe ($D$) permite vaciarlo.

• La llave $A$ llena el depósito en 4 horas si funciona sola.

• La llave $B$ llena el depósito en 6 horas si funciona sola.

• La llave $C$ llena el depósito en 12 horas si funciona sola.

• El desagüe $D$ vacía el depósito lleno en 8 horas.

El depósito está inicialmente vacío. Se abren las tres llaves ($A$, $B$, $C$) y el desagüe ($D$) simultáneamente. Sin embargo, a las 2 horas de funcionamiento, se cierra la llave $A$ por una avería, dejando las otras dos y el desagüe funcionando.

Calcula el tiempo total (en horas y minutos) que tardará el depósito en llenarse por completo desde el inicio.

Un joyero dispone de dos lingotes de una aleación de oro y cobre.

• El primer lingote tiene una pureza tal que por cada 5 partes de oro hay 2 de cobre.

• El segundo lingote es de menor calidad, teniendo 3 partes de oro por cada 4 partes de cobre.

El joyero funde una cierta cantidad del primer lingote con una cierta cantidad del segundo para obtener un nuevo lingote de 420 gramos. Si desea que la fracción final de oro en el nuevo lingote sea exactamente $\frac{2}{3}$ del peso total:

¿Cuántos gramos debe cortar y fundir de cada uno de los dos lingotes originales?

Tenemos dos básculas diferentes.

• Báscula A: Se utiliza en un laboratorio y al pesar una probeta nos da un valor de $24,5 \text{ g}$. El valor real exacto es $\frac{49}{2} \text{ g}$.

• Báscula B: Se utiliza en un almacén y al pesar una caja nos da un valor de $5,4 \text{ kg}$. El valor real exacto es $\frac{16}{3} \text{ kg}$.

Calcula el error absoluto y el error relativo cometido en cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones es más precisa? Justifica tu respuesta basándote en el error relativo.

En un laboratorio de química se están realizando mediciones de precisión. Dos estudiantes, Álex y Bea, miden la longitud de una fibra microscópica.

• El valor real de la longitud de la fibra es $2,345 \cdot 10^{-4}$ metros.

• Álex obtiene una medida de $2,3 \cdot 10^{-4}$ metros.

• Bea obtiene una medida de $2,4 \cdot 10^{-4}$ metros.

Responde justificando tus respuestas con cálculos:

a) Calcula el error absoluto cometido por cada estudiante. Expresa el resultado en notación científica.

b) Calcula el error relativo de cada medición y exprésalo como un porcentaje.

c) Basándote en el error relativo, ¿cuál de las dos mediciones es más precisa y por qué?

d) Si truncamos el valor real a las diezmilésimas, ¿coincide con el redondeo a las diezmilésimas? Explícalo.