Sistemas de ecuaciones

Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman un sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y clasifícalo en Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para las dos ecuaciones del sistema. Después, indica cuál es la solución común observando los resultados:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Dos amigos, Lucía y Marcos, están acumulando puntos en su videojuego favorito para desbloquear una nueva recompensa. Las misiones de sigilo se representan por la incógnita $x$ y las misiones de asalto por la incógnita $y$. El sistema de ecuaciones que describe los objetivos que deben cumplir hoy es el siguiente:

Comprueba de forma numérica si el par de valores $(x = 3, y = 2)$ es la solución del sistema. A la vista de la siguiente gráfica, indica si los amigos han conseguido encontrar el punto exacto donde se cumplen ambas condiciones (misiones totales y puntos acumulados).

Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y responde a las cuestiones planteadas:

1. a) Indica las coordenadas del punto de corte $P$ de ambas rectas.
2. b) ¿Qué representa ese punto en relación con el sistema de ecuaciones?
3. c) Clasifica el sistema según el número de soluciones que presenta.
4. d) ¿Es el punto $P$ solución del siguiente sistema?

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Explica brevemente por qué lo es o por qué no, verificando ambas igualdades.

Observa la siguiente representación gráfica de dos funciones lineales que forman un sistema de ecuaciones.

1. a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de corte y su pendiente.
2. b) Determina gráficamente la solución del sistema.
3. c) Clasifica el sistema según su número de soluciones (SCD, SCI o SI).

Observa la representación gráfica de las rectas $r$ y $s$ que forman un sistema de ecuaciones.

1. a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de corte con los ejes.
2. b) Determina, analíticamente y mediante el gráfico, si el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible.
3. c) Halla el punto de intersección $(x, y)$.

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema, aprovechando que una de las incógnitas ya se encuentra despejada en la primera ecuación:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Carlos intenta resolver el siguiente sistema de ecuaciones en su cuaderno:

Para ello, escribe los siguientes pasos:

1. Despejo $x$ en la primera ecuación: $x = 8 - 2y$.

2. Sustituyo dicha expresión en la primera ecuación: $(8 - 2y) + 2y = 8$.

3. Opero y obtengo: $8 = 8$.

4. Conclusión: Como $8 = 8$ siempre es cierto, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

1. a) Explica cuál es el error conceptual que ha cometido Carlos en el paso 2 y aclara por qué su conclusión final es falsa.
2. b) Corrige el ejercicio sustituyendo en la ecuación adecuada y calcula la solución real $(x, y)$ del sistema.

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones. Fíjate que la incógnita $x$ ya está despejada en ambas expresiones:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema. Observa que los coeficientes de la incógnita $y$ son iguales pero de signo contrario, por lo que puedes sumar las ecuaciones directamente:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Observa los siguientes dos sistemas de ecuaciones lineales sin resolverlos todavía:

Sistema A: $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Para el Sistema A, justifica por qué el método de sustitución es el camino más directo frente al de reducción.
2. b) Para el Sistema B, justifica por qué el método de reducción es la opción más conveniente a simple vista.
3. c) Elige uno de los dos sistemas y resuélvelo paso a paso aplicando el método que has justificado.

Diseña un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ($x$ e $y$) que cumpla simultáneamente estas tres condiciones:

1. Su única solución debe ser el par ordenado $(x, y) = (3, -2)$.

2. Ninguno de los coeficientes de las incógnitas ni de los términos independientes puede ser igual a $0$, $1$ ni $-1$.

3. Los coeficientes de la incógnita $y$ en ambas ecuaciones deben ser números enteros opuestos (por ejemplo, $4$ y $-4$), de forma que el sistema quede preparado para cancelarla sumando directamente ambas ecuaciones por reducción.

Escribe el sistema que has construido y comprueba formalmente que $(3, -2)$ satisface las dos igualdades.

Traduce al lenguaje algebraico la siguiente situación y plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando claramente qué representa cada variable:

"En una cafetería, un grupo de amigos ha pagado $\$11$ por $2$ refrescos y $3$ bolsas de papas. Otro grupo ha pagado $\$13$ por $4$ refrescos y $1$ bolsa de papas".

En una tienda de videojuegos se venden mandos y juegos de segunda mano. Marcos ha comprado un mando y un juego por $\$50$. Si el precio del juego es el triple que el del mando, ¿cuánto cuesta cada artículo?

Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método que prefieras.

En la organización de un evento de E-sports, se han vendido un total de 250 entradas. Existen dos tipos de localidades: las "Gamer", que cuestan $\$15$, y las "Pro", que cuestan $\$25$. Si la recaudación total ha sido de $\$4\ 700$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántas entradas de cada tipo se han vendido utilizando el método de sustitución.

Dos conocidos streamers están comparando sus años de experiencia en la plataforma. La suma de sus edades actuales es de $44$ años. Dentro de $10$ años, la edad del mayor será exactamente el doble de la edad que el menor tiene en la actualidad.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y averigua la edad actual de cada uno.

Un número de dos cifras tiene una propiedad curiosa: la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si restamos $27$ a dicho número, obtenemos el número resultante de invertir el orden de sus cifras.

Traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones (recuerda expresar el número en forma polinómica: $10x + y$) y halla de qué número se trata.

Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en el patio de la escuela. El arquitecto ha establecido que el perímetro total debe ser de $56$ metros. Además, para que haya espacio suficiente para las canastas, el largo de la zona debe ser $4$ metros menor que el triple del ancho.

Calcula las dimensiones de la zona de juegos planteando un sistema de ecuaciones y resolviéndolo por el método de igualación.

En una tienda de productos a granel, queremos preparar una mezcla especial de $20\ kg$ de frutos secos que salga a un precio de $\$8,50/kg$. Para ello, utilizaremos anacardos que cuestan $\$10/kg$ y cacahuetes que cuestan $\$6/kg$.

Aplica el método de reducción para averiguar cuántos kilogramos de anacardos y cuántos de cacahuetes debemos mezclar.

Dos ciclistas, Paula y Sergio, recorren una pista circular de $400$ metros. Si corren en sentidos opuestos, se cruzan cada $20$ segundos. Si corren en el mismo sentido, Paula (que es más rápida) adelanta a Sergio cada $100$ segundos.

Sabiendo que el espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo ($e = v \cdot t$), plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad de cada ciclista en metros por segundo.

Una cooperativa agrícola envasa garrafas de $5$ litros mezclando dos tipos de aceite: aceite de oliva virgen extra (AOVE), con un costo de producción de $9,00$ dólares el litro, y aceite de girasol, con un costo de $2,00$ dólares el litro. Se desea que el costo medio resultante del litro de mezcla en cada garrafa sea exactamente de $4,80$ dólares (lo que supone un costo total de $24,00$ dólares por garrafa).

1. a) Antes de calcular nada, estima de forma justificada si en la garrafa habrá más de $2,5$ litros de AOVE o más de $2,5$ litros de girasol. Para ello, compara la cercanía del precio medio ($4,80$ dólares) a los precios de cada uno de los componentes.
2. b) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales para calcular con exactitud cuántos litros de AOVE y cuántos de girasol contiene cada garrafa. ¿Confirma el resultado tu estimación previa?
3. c) Si la cooperativa pretendiera obtener una mezcla de $5$ litros cuyo costo final fuese de $48,00$ dólares usando exclusivamente estos dos tipos de aceite, analiza algebraicamente qué ocurriría al resolver el sistema y explica qué significado físico tiene ese resultado en la práctica.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a la simplificación de las fracciones y al signo negativo que precede a los paréntesis:

Estudia el discriminante de la siguiente ecuación de segundo grado y determina para qué valor del parámetro $k$ la ecuación tiene una única solución real (solución doble). Una vez hallado $k$, resuelve la ecuación:

Halla las dimensiones de un marco rectangular de madera sabiendo que su perímetro es de $60\text{ cm}$ y que su área es de $216\text{ cm}^2$. Para resolverlo, deberás plantear un sistema donde una de las ecuaciones sea de segundo grado o resolverlo mediante una ecuación de segundo grado usando la relación entre la suma y el producto de las raíces.

En un laboratorio de química se quieren mezclar dos soluciones salinas. La primera tiene una concentración del $15\%$ de sal y la segunda del $40\%$. Si se necesitan obtener exactamente $20$ litros de una mezcla con una concentración del $30\%$, ¿cuántos litros de cada solución se deben utilizar? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones.

Dos ciclistas, Ioana y Boris, participan en una carrera de larga distancia. Boris sale de la meta a una velocidad constante de $24\text{ km/h}$. Media hora más tarde, Ioana sale en su persecución a una velocidad de $32\text{ km/h}$.

1. a) ¿Cuánto tiempo tardará Ioana en alcanzar a Boris?
2. b) ¿A qué distancia de la línea de meta se producirá el encuentro?

Sugerencia: Utiliza el sistema de ecuaciones basado en la fórmula $e = v \cdot t$.

Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $12$ y que, si se invierte el orden de dichas cifras, el número resultante es $18$ unidades mayor que el número original.

Nota: Recuerda que un número de cifras $xy$ se escribe algebraicamente como $10x + y$.

Una empresa de mensajería utiliza drones y furgonetas para sus repartos. Sabemos que el doble del número de drones excede en 2 unidades al triple del número de furgonetas. Además, si compraran 2 drones más y perdieran una furgoneta, tendrían el triple de drones que de furgonetas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y halla cuántos vehículos de cada tipo tiene la empresa.

Dos empresas de mensajería urgente aplican las siguientes tarifas para el reparto de paquetes:

• Empresa Veloz: cobra una cuota fija de $12,00$ dólares más $0,80$ dólares por cada kilómetro recorrido.

• Empresa Rápida: cobra una cuota fija de $k$ dólares más un precio por kilómetro de $m$ dólares/km.

Llamamos $x$ a los kilómetros de distancia del trayecto e $y$ al costo final en dólares.

1. a) Escribe la ecuación que modela el costo de la Empresa Veloz.
2. b) Determina razonadamente qué valores deben tener los parámetros $k$ y $m$ para que el sistema formado por las dos tarifas sea:

• Incompatible (las dos rectas son paralelas y nunca coinciden en el precio para ningún kilometraje). Explica la consecuencia para el cliente.

• Compatible indeterminado (ambas tarifas resultan idénticas en cualquier distancia).

1. c) Si la Empresa Rápida fija $k = 18,00$ dólares y $m = 0,50$ dólares/km, plantea el sistema de ecuaciones, halla el punto de corte e interpreta a partir de cuántos kilómetros contratados resulta más económica la Empresa Rápida frente a la Empresa Veloz.

En una oficina de turismo se ponen a la venta dos tipos de abonos de transporte urbano: el abono 'Básico' a $8,50$ dólares y el abono 'Plus' a $15,00$ dólares. Al cierre de caja se han vendido un total de $50$ abonos y la recaudación total ha sido de $542,00$ dólares.

1. a) Identifica con precisión las incógnitas y plantea el sistema de dos ecuaciones lineales que representa la situación.
2. b) Resuelve el sistema por el método algebraico que consideres más adecuado para determinar cuántos abonos de cada clase se han vendido.
3. c) Si por una errata informática la recaudación registrada hubiese sido de $540,00$ dólares, demuestra algebraicamente por qué ese importe no sería posible en la realidad con esos precios y ese número de abonos.