Progresiones geométricas

Analiza las siguientes secuencias numéricas. Tu tarea es identificar cuáles de ellas son progresiones geométricas. Para las que lo sean, indica cuál es su razón ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Imagina que un video viral en una red social se comparte muy rápido. Una persona sube el video (minuto 0). En el minuto 1, lo ven 5 personas nuevas. En el minuto 2, cada una de esas 5 personas lo comparte con otras 5 personas nuevas, y así sucesivamente.

1. Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión de nuevos espectadores por minuto.

2. ¿Cuál es la razón $r$ de crecimiento?

3. Escribe la fórmula del término general $a_n$.

Tenemos una hoja de papel con un grosor inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Si doblamos la hoja por la mitad, el grosor se duplica. Si la volvemos a doblar, se vuelve a duplicar.

Considera $a_1$ como el grosor tras el primer doblez.

1. Calcula el grosor de la hoja tras 1, 2, 3 y 4 dobleces.

2. ¿Qué grosor tendrá la pila de papel después de 10 dobleces? Expresa el resultado en milímetros.

Dada una progresión geométrica donde el primer término es $a_1 = 3$ y la razón es $r = 2$:

1. a) Calcula el valor del término que ocupa la posición 7 ($a_7$).
2. b) Calcula el valor del término que ocupa la posición 10 ($a_{10}$).

Utiliza la fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Observa la siguiente figura. Partimos de un cuadrado grande de lado $8 \text{ cm}$. El siguiente cuadrado se forma con una longitud de lado que es la mitad del anterior, y así sucesivamente.

Calcula la longitud del lado de los primeros 4 cuadrados y escribe el término general $a_n$ de la sucesión que forman estas longitudes.

Una pelota de goma se deja caer desde una cierta altura. En cada rebote, la pelota alcanza una altura que es la mitad de la altura anterior.

Si en el primer rebote ($a_1$) alcanza una altura de $160 \text{ cm}$:

1. a) Escribe la sucesión de las alturas en los primeros 5 rebotes.
2. b) ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión?
3. c) ¿Qué altura alcanzará en el octavo rebote?

Tenemos una progresión geométrica formada por fracciones. Sabemos que los primeros términos son:

1. a) Identifica el primer término $a_1$ y la razón $r$.
2. b) Calcula el término $a_6$ sin necesidad de multiplicar uno a uno, usando la fórmula general.

David está resolviendo un ejercicio de clase: «Halla el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 6$ y cuya razón es $r = 3$». En su cuaderno ha escrito lo siguiente:

1. a) Identifica y explica con claridad el error conceptual y de jerarquía de operaciones que ha cometido David.
2. b) Escribe la fórmula del término general de forma correcta y calcula el valor real de $a_6$.
3. c) Si David hubiera aplicado su procedimiento erróneo para calcular únicamente el segundo término ($a_2$), ¿qué resultado habría obtenido frente al valor real? Explica por qué el fallo de David hace que el error se dispare de forma desorbitada al aumentar el índice $n$.

Diseña una progresión geométrica que cumpla simultáneamente estas tres condiciones:

1. Sus términos alternan de signo: el primero es positivo, el segundo negativo, el tercero positivo, etc.

2. El tercer término vale exactamente $a_3 = 12$.

3. El quinto término vale exactamente $a_5 = 48$.

1. a) Plantea la relación matemática entre $a_3$ y $a_5$ mediante la razón $r$, deduce los dos posibles valores numéricos de $r$ y justifica cuál de ellos debes elegir para que se cumpla la condición de alternancia de signos.
2. b) A partir del valor de la razón, determina razonadamente el primer término $a_1$.
3. c) Escribe los primeros cuatro términos de tu progresión geométrica y razona por qué, en una progresión con razón negativa y primer término positivo, resulta imposible que un término con subíndice impar sea negativo.

En un videojuego de rol, la experiencia necesaria para subir de nivel sigue una progresión geométrica. Sabemos que para alcanzar el nivel 2 necesitas 150 puntos de experiencia, y para alcanzar el nivel 5 necesitas 1200 puntos.

Calcula:

1. a) La razón $r$ de la progresión.
2. b) La experiencia necesaria para el primer nivel ($a_1$).
3. c) La experiencia necesaria para alcanzar el nivel 10.

Calcula el producto de los 6 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es $a_1 = 3$ y que el cuarto término es $a_4 = 24$.

Tenemos una progresión geométrica de la que desconocemos la razón $r$ y el primer término $a_1$. Sin embargo, sabemos que el tercer término vale 12 ($a_3 = 12$) y el sexto término vale 96 ($a_6 = 96$).

1. Plantea un sistema de ecuaciones o utiliza la fórmula del término general para hallar la razón $r$.

2. Una vez tengas la razón, calcula el primer término $a_1$.

3. Calcula el producto de los 6 primeros términos de la sucesión ($P_6$).

Queremos interpolar (intercalar) 4 números entre el 3 y el 96 para formar una progresión geométrica de 6 términos en total. Es decir, buscamos construir la secuencia:

1. Identifica qué posición ocupan el 3 y el 96 en la progresión ($a_1$ y $a_n$).

2. Utiliza la fórmula del término general para despejar y calcular la razón $r$.

3. Escribe los cuatro números que hemos interpolado.

4. Si quisiéramos sumar todos estos 6 números, ¿cuál sería el resultado?

Un abuelo decide ahorrar para su nieto siguiendo una regla matemática curiosa. El primer mes guarda 2 dólares en una alcancía. El segundo mes guarda 6 dólares. El tercer mes guarda 18 dólares.

Si continúa con esta lógica:

1. Comprueba que es una progresión geométrica y halla la razón $r$.

2. Calcula cuánto dinero tendrá que meter en la alcancía el quinto mes.

Miguel quiere comprarse una patineta eléctrica que cuesta 400 dólares. Decide ahorrar siguiendo un plan estricto: la primera semana ahorra 2 dólares, la segunda semana 4 dólares, la tercera 8 dólares, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada semana.

1. a) ¿Cuánto dinero tendrá que ahorrar la semana número 8?
2. b) ¿Cuánto dinero habrá acumulado en total al finalizar la semana 8?
3. c) ¿Habrá conseguido dinero suficiente para comprar la patineta al terminar la semana 8? Si no es así, ¿cuántas semanas necesita en total?

Tenemos un cuadrado de lado 10 cm. Unimos los puntos medios de sus lados para formar un segundo cuadrado inscrito. Repetimos el proceso con el segundo cuadrado para formar un tercero, y así sucesivamente.

1. a) Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del anterior, escribe la sucesión de las áreas de los 5 primeros cuadrados.
2. b) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? Identifica el primer término y la diferencia o razón.
3. c) Calcula la suma de las áreas de los 10 primeros cuadrados generados.

Un famoso youtuber lanza una campaña benéfica. El primer día dona 10 dólares. Se compromete a que cada día siguiente donará una cantidad tal que la suma de lo donado ese día y el día anterior sea el triple de lo que donó el día anterior.

Nota: Lee bien el enunciado, es un acertijo matemático sobre la razón $r$.

1. Calcula cuánto dona el segundo y el tercer día.

2. Demuestra que las cantidades donadas día a día forman una progresión geométrica y halla su razón $r$.

3. ¿Cuánto dinero habrá donado en total al cabo de una semana (7 días)?

Una empresa de tecnología ofrece dos tipos de contrato salarial para un puesto de programador durante 5 años:

• Contrato A: Salario inicial de 24.000 dólares anuales, con un aumento fijo de 2.000 dólares cada año (Progresión Aritmética).

• Contrato B: Salario inicial de 22.000 dólares anuales, con un aumento del 8% cada año respecto al año anterior (Progresión Geométrica).

• Escribe el término general $a_n$ para el Contrato A y $b_n$ para el Contrato B.

• Calcula el sueldo anual en el quinto año para ambos contratos. ¿Cuál paga más ese año en concreto?

• Calcula la suma total de dinero ganado en los 5 años con cada contrato ($S_5$). ¿Qué contrato es más beneficioso a largo plazo (en el total acumulado)?

El departamento de matemáticas plantea el siguiente reto: «En una progresión geométrica se conoce que el cuarto término es $a_4 = 24$ y el séptimo término es $a_7 = 192$. Calcula la suma de los primeros 7 términos ($S_7$)».

Dos alumnos de la clase proponen estrategias distintas:

• Marta propone usar la relación directa $a_7 = a_4 \cdot r^{7-4}$ para hallar la razón $r$, retroceder desde $a_4$ dividiendo entre $r^3$ para encontrar $a_1$, y finalmente calcular la suma con la fórmula cerrada $S_7 = \frac{a_1(r^7 - 1)}{r - 1}$.

• Hugo propone plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $\begin{cases} 24 = a_1 \cdot r^3 \\ 192 = a_1 \cdot r^6 \end{cases}$, resolverlo despejando $a_1$ en la primera y sustituyendo en la segunda, y a continuación calcular a mano uno a uno los 7 términos ($a_1, a_2, \ldots, a_7$) para sumarlos directamente, evitando usar la fórmula de la suma.

1. a) Resuelve el problema aplicando minuciosamente los dos métodos y comprueba si ambos conducen al mismo resultado numérico.
2. b) Compara los dos caminos: ¿cuáles son los puntos débiles del procedimiento de Hugo frente a la estrategia de Marta en cuanto a eficacia y riesgo de error?
3. c) Imagina que los datos fuesen $a_{10} = 50$, $a_{30} = 51.200$ y se solicitara la suma de los primeros 40 términos ($S_{40}$). Justifica razonadamente por qué el método de Hugo se vuelve inviable en la práctica y cuál de los dos enfoques evidencia una comprensión algebraica madura.

Una emprendedora de Valencia busca financiación para arrancar su proyecto durante los primeros 6 meses. Dos incubadoras de empresas le ofrecen sendas propuestas de ayuda mensual a fondo perdido:

• Plan A (Programa Acelera): Recibe $\$600$ el primer mes, y cada mes posterior la cuantía aumenta en una cantidad fija de $\$100$ respecto al anterior ($\$600, \$700, \$800, \dots$).

• Plan B (Fondo Impulso): Recibe $\$300$ el primer mes, y cada mes siguiente la cuantía se incrementa un $30\,\%$ respecto a la del mes previo ($r = 1,30$).

1. a) Identifica qué tipo de progresión (aritmética o geométrica) describe cada una de las modalidades y escribe la expresión matemática del término general de la mensualidad recibida en el mes $n$ para ambos planes.
2. b) Calcula la cuantía que cobraría mes a mes en cada plan durante los 6 meses de duración del programa. ¿En qué mes concreto la mensualidad individual del Plan B supera por primera vez a la del Plan A?
3. c) Utiliza las fórmulas de suma correspondientes para calcular la cantidad económica total acumulada tras los 6 meses completos con cada uno de los dos planes. A la vista del resultado, ¿cuál de los dos planes le proporciona más dinero en total y por qué el crecimiento geométrico no siempre resulta ser la opción más ventajosa en plazos cortos aunque a largo plazo sea exponencialmente superior?

Observa la siguiente figura fractal. Comenzamos con un triángulo equilátero de área $64\text{ cm}^2$ (Etapa 1). En cada paso siguiente, en cada uno de los triángulos que quedan sin pintar, pintamos el triángulo central formado por los puntos medios de sus lados (triángulo invertido), el cual tiene un área igual a $1/4$ del triángulo donde se encuentra.

Considerando la sucesión formada por el área total de los triángulos nuevos que se colorean en cada etapa (a partir de la Etapa 2):

1. a) Escribe los tres primeros términos de la sucesión.
2. b) ¿Cuál es la razón de esta progresión?
3. c) Calcula la suma de las áreas de todos los triángulos coloreados si repitiéramos el proceso infinitas veces.

Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de 20 metros. En cada rebote, la pelota pierde energía y solo alcanza el 80% de la altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcula la altura que alcanza la pelota después del tercer rebote.
2. b) Calcula la distancia total recorrida por la pelota (hacia abajo y hacia arriba) en el momento en que toca el suelo por cuarta vez.

Nota: Ten en cuenta que la primera caída es de 20 m, pero luego sube y baja.

En el laboratorio de Ciencias de un preuniversitario de Gijón se realiza un ensayo dejando caer una pelota desde una altura de $3\text{ m}$. Tras cada bote contra el suelo, la pelota rebota alcanzando una altura máxima equivalente al $60\,\%$ de la altura lograda en el bote anterior.

1. a) Estima antes de calcular: Si la pelota realizara infinitos botes ideales, ¿crees que la suma de todas las alturas alcanzadas en los rebotes ($a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$) superará los $10\text{ metros}$ o será inferior a $6\text{ metros}$? Justifica brevemente tu intuición inicial sin usar fórmulas.
2. b) Modela la situación: halla la altura alcanzada en el primer rebote ($a_1$) y escribe la expresión del término general $a_n$ de la altura correspondiente al bote número $n$.
3. c) Aplica la fórmula de la suma de los infinitos términos ($S_\infty$) para obtener la suma teórica total de las alturas de todos los rebotes.
4. d) Compara el valor exacto obtenido con tu estimación inicial. ¿Cómo le explicarías a un compañero con tus propias palabras que la suma de infinitas cantidades positivas pueda dar un número exacto y finito?

Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura de 2 metros. Debido a la pérdida de energía, cada vez que rebota contra el suelo, asciende solo al 80% de la altura desde la que cayó anteriormente.

Este comportamiento genera una sucesión de alturas máximas alcanzadas tras cada bote.

1. Calcula la altura que alcanza la pelota tras el quinto bote.

2. Imagina que dejamos que la pelota bote indefinidamente hasta detenerse. Calcula la distancia total (hacia abajo y hacia arriba) que habrá recorrido la pelota desde que se soltó hasta que se para por completo. Ten cuidado: la primera caída es única, pero los rebotes implican subir y bajar la misma distancia.

Estamos diseñando un logotipo artístico basado en una sucesión de cuadrados inscritos.

Partimos de un cuadrado exterior de lado $L_1 = 20 \text{ cm}$.

El segundo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del primero. El tercer cuadrado une los puntos medios del segundo, y así sucesivamente.

1. Utiliza el Teorema de Pitágoras para hallar el lado del segundo cuadrado ($L_2$) y del tercero ($L_3$).

2. Determina la razón de la progresión geométrica que forman las áreas de estos cuadrados.

3. Si pudiéramos dibujar infinitos cuadrados hacia adentro siguiendo este patrón, ¿cuánto valdría la suma de las áreas de todos los cuadrados (el área total coloreada)?

El Triángulo de Sierpinski es un fractal famoso que se construye a partir de un triángulo equilátero.

El proceso es el siguiente (en la figura, los triángulos «negros» se dibujan en verde):

• Paso 0: Tenemos un triángulo equilátero negro de área $80 \text{ cm}^2$.

• Paso 1: Recortamos (quitamos) el triángulo central invertido, cuya área es $1/4$ del triángulo anterior. Nos quedan 3 triángulos negros más pequeños.

• Paso 2: De cada uno de los 3 triángulos negros restantes, volvemos a recortar el triángulo central (que es $1/4$ del área de su triángulo contenedor).

1. Escribe la sucesión que representa el área negra total que permanece en la figura en cada paso ($A_0, A_1, A_2, ...$).

2. ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión geométrica decreciente?

3. Calcula qué área negra quedará después de aplicar el proceso 5 veces (Paso 5).

Un video de una famosa streamer se ha vuelto viral. La primera hora tuvo 5 visualizaciones. Debido al algoritmo de la plataforma, cada hora que pasa, el número de nuevas visualizaciones se multiplica por 3 respecto a la hora anterior.

1. a) Escribe los cinco primeros términos de la sucesión que representa las nuevas visualizaciones por hora.
2. b) ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión geométrica?
3. c) Escribe el término general $a_n$ que permite calcular las visualizaciones en la hora $n$.
4. d) ¿Cuántas nuevas visualizaciones tendrá el video exactamente en la hora 8?

Un biólogo está estudiando una colonia de bacterias en una placa de Petri. Inicialmente cuenta 500 bacterias. Observa que la población aumenta un 20% cada hora.

1. a) Explica por qué este crecimiento se corresponde con una progresión geométrica y determina la razón $r$.
2. b) Escribe el término general $a_n$ que describe el número de bacterias tras $n$ horas. (Considera $a_0 = 500$ como el inicio, o ajusta la fórmula para $a_1$ como la cantidad tras 1 hora).
3. c) ¿Cuántas bacterias habrá, aproximadamente, al cabo de 12 horas?

Según los datos sobre reto demográfico del Instituto Nacional de Estadística (INE), un municipio de la provincia de Zamora contaba con $1.250$ habitantes empadronados a 1 de enero de 2018. Debido al envejecimiento poblacional y a la emigración, se observa que su población desciende a un ritmo constante de un $5\,\%$ anual.

1. a) Modela la evolución de la población mediante una progresión geométrica: calcula la razón $r$, indica el valor del término inicial $a_1$ (población en 2018) y formula el término general $a_n$, donde $n=1$ corresponde al año 2018, $n=2$ a 2019, y así sucesivamente.
2. b) Calcula la población prevista para el año 2023 ($n = 6$), redondeando al número entero de personas más próximo.
3. c) La administración autonómica establece que si la población empadronada cae por debajo de los $900$ habitantes, el consultorio médico local pierde la atención presencial diaria. Comprueba numéricamente si para el año 2025 ($n = 8$) el municipio habrá rebasado ya ese umbral crítico o si logrará mantener el servicio.

Un biólogo está estudiando una cepa de bacterias muy agresiva en una placa de Petri. Inicialmente, cuenta 500 bacterias. Observa que la población aumenta un 15% cada hora.

Para que el experimento sea controlable, la población no debe superar los 2.000.000 de bacterias. Utilizando la calculadora y tus conocimientos sobre el término general de una progresión geométrica:

1. Escribe la expresión del término general $a_n$ que describe el número de bacterias en función de las horas transcurridas $n$.

2. Calcula cuántas bacterias habrá exactamente al cabo de 24 horas.

3. Determina cuántas horas completas pueden pasar como máximo antes de que el cultivo supere el límite de seguridad de 2 millones.

Reto del tema. ¿Ahorro constante o multiplicador? Diseña un plan de ahorro a un año para financiar un proyecto personal.

1. Fase 1: Datos reales. Entra en el sitio web de la ONEI (o del Banco Central de Cuba) y consulta el último dato publicado de la inflación interanual (IPC, ej. $2,8\,\%$). Fija una cantidad inicial de ahorro para el primer mes ($a_1 = 20$ dólares).

2. Fase 2: Modelización. Plantea dos opciones para $12$ meses:

3. Plan A (Progresión aritmética): Aumentas tu aportación mensual en una diferencia fija de $d = 3$ dólares. Halla el término general $a_n$ y el capital acumulado mediante la suma $S_{12}$.

4. Plan B (Progresión geométrica): Aumentas tu aportación un $10\,\%$ mensual respecto al mes anterior ($r = 1,10$). Deduce la fórmula de $b_n$ y calcula la suma total $S_{12}$.

5. Fase 3: Simulación y decisión. Crea en una hoja de cálculo (Excel, Calc o Google Sheets) una tabla comparativa mes a mes y un gráfico que represente ambas evoluciones. Redacta un informe breve justificando qué opción te resulta más viable y si el dinero acumulado compensa la subida de precios según el IPC anotado.

Se valorará:

• Deducción y cálculo algebraico riguroso de los términos generales y sumas ($S_{12}$).

• Diseño correcto de la hoja de cálculo, fórmulas automáticas y gráfica comparativa.

• Argumentación crítica y realista de la decisión final vinculada al IPC real.