Ecuación de estado del gas ideal
En La Habana, un ciclista infla la goma de su bicicleta por la mañana y la deja al sol del mediodía. Al volver, la goma está mucho más dura, aunque nadie le echó más aire. ¿Qué ha cambiado dentro? ¿Cuánto sube la presión? En este epígrafe encontrarás la ecuación que lo explica y aprenderás a usarla.
El modelo del gas ideal
Un gas es un conjunto enorme de moléculas que se mueven sin parar en todas direcciones. Para estudiarlo con sencillez, la Teoría Cinético-Molecular (TCM) usa un modelo: el gas ideal.
¿De dónde sale la presión? Cada molécula que choca con la pared le da un pequeño golpe. Un solo golpe no se nota, pero son millones de millones por segundo. El efecto medio de todos esos golpes sobre cada metro cuadrado de pared es la presión del gas.
La presión depende de tres cosas, y todas tienen sentido con este modelo:
-
Más moléculas (mayor $n$): más choques por segundo, mayor presión.
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Menor volumen $V$: las moléculas llegan más seguido a cada pared, mayor presión.
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Mayor temperatura $T$: las moléculas van más rápido, chocan más a menudo y con más fuerza, mayor presión.
En 1827, el botánico Robert Brown vio al microscopio que granos de polen en agua se agitaban sin parar. Es el movimiento browniano: los granos reciben choques desiguales de moléculas invisibles. Es una prueba experimental de que las moléculas existen y se mueven al azar.
Temperatura y escala kelvin
Según la TCM, la temperatura de un gas ideal mide la energía cinética media de traslación de sus moléculas: la temperatura absoluta es proporcional a esa energía cinética media. Si $T$ se duplica, la energía cinética media se duplica.
Por eso hace falta una escala que empiece donde la energía cinética media sería cero. Es la escala termodinámica (kelvin). Su cero, $0\ \text{K}$, es el cero absoluto. Un grado kelvin tiene el mismo tamaño que un grado Celsius, y los valores se relacionan así:
Los 273 K son el valor de $0\ ^\circ\text{C}$. Así, $27\ ^\circ\text{C} \to 300\ \text{K}$ y $100\ ^\circ\text{C} \to 373\ \text{K}$.
¿Por qué en las fórmulas de los gases no sirve Celsius? Porque el $0\ ^\circ\text{C}$ es una elección arbitraria: a esa temperatura las moléculas se mueven bastante. Si usáramos $t = 0$, la fórmula diría que la presión es cero con las moléculas en movimiento, y eso es falso. La presión es proporcional a $T$ en kelvin, que sí parte de cero.
Mueve la temperatura en el interactivo: las moléculas se aceleran y la presión sube.
En el laboratorio del preuniversitario, Daniela mide la temperatura de un gas encerrado en un recipiente y obtiene $27\ ^\circ\text{C}$. Expresa esa temperatura en la…
En el laboratorio del preuniversitario, Daniela mide la temperatura de un gas encerrado en un recipiente y obtiene $27\ ^\circ\text{C}$. Expresa esa temperatura en la escala termodinámica (kelvin) y explica por qué en la ecuación de estado del gas ideal no se puede usar la temperatura en grados Celsius.
La ecuación de estado
Resumiendo lo anterior: $p$ crece con $n$ y con $T$, y disminuye al crecer $V$. Los experimentos confirman que, para un gas ideal, todo esto se resume en una sola igualdad.
Para que $R$ valga eso, hay que usar las unidades del SI. Recuerda: $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$ y $1\ \text{cm}^3 = 10^{-6}\ \text{m}^3$. La cantidad de sustancia se halla con la masa: $n = \dfrac{m}{M}$, con $M$ la masa molar.
Escribe la ecuación de estado del gas ideal $pV = nRT$ e indica qué magnitud representa cada símbolo y en qué unidades del Sistema Internacional se expresa. Menciona…
Escribe la ecuación de estado del gas ideal $pV = nRT$ e indica qué magnitud representa cada símbolo y en qué unidades del Sistema Internacional se expresa. Menciona además el valor de la constante universal de los gases $R$ en unidades del SI.
Un recipiente rígido contiene $2{,}0$ mol de un gas ideal a una temperatura de $300\ \text{K}$ y ocupa un volumen de $0{,}025\ \text{m}^3$. Escribe la expresión que…
Un recipiente rígido contiene $2{,}0$ mol de un gas ideal a una temperatura de $300\ \text{K}$ y ocupa un volumen de $0{,}025\ \text{m}^3$. Escribe la expresión que permite calcular la presión del gas y calcula su valor. Usa $R = 8{,}31\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$.
Un balón de $10\ \text{L}$ contiene oxígeno a $20\ ^\circ\text{C}$ y a una presión de $2{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$. Considera el oxígeno como gas ideal y usa…
Un balón de $10\ \text{L}$ contiene oxígeno a $20\ ^\circ\text{C}$ y a una presión de $2{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$. Considera el oxígeno como gas ideal y usa $R = 8{,}31\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$.
- a) Calcula la cantidad de sustancia de oxígeno en el balón.
- b) Si la masa molar del oxígeno es $32\ \text{g/mol}$, determina la masa del gas.
Comparar dos estados del mismo gas
Muchas veces no conoces $n$, ni quieres calcularlo. Si la cantidad de gas no cambia, $nR$ es la misma antes y después. Entonces, para el estado 1 y el estado 2:
$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$Esta relación sale de dividir $pV = nRT$ entre $T$: el cociente $pV/T = nR$ no cambia. Ventaja: las unidades de $p$ y de $V$ solo tienen que ser las mismas en los dos miembros, porque se cancelan. Pero $T$ siempre en kelvin.
Si una magnitud no cambia, sale de la ecuación. Por ejemplo, con $V$ constante: $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, y la presión es proporcional a $T$. Esto explica la goma del ciclista. Las leyes de los gases (siguiente apartado) son casos particulares de esta relación.
Alejandro llena una pelota con aire a $15\ ^\circ\text{C}$ y la deja al sol, donde la temperatura del aire encerrado sube a $45\ ^\circ\text{C}$. Suponiendo que el…
Alejandro llena una pelota con aire a $15\ ^\circ\text{C}$ y la deja al sol, donde la temperatura del aire encerrado sube a $45\ ^\circ\text{C}$. Suponiendo que el volumen de la pelota no cambia y que no escapa aire, determina cuántas veces mayor es la presión final respecto a la inicial. Expresa las temperaturas en la escala termodinámica y justifica tu resultado con la ecuación de estado.
Un gas ideal se encuentra en un cilindro a la presión de $1{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$ y a $27\ ^\circ\text{C}$, con un volumen de $4{,}0\ \text{L}$. Luego se coloca en…
Un gas ideal se encuentra en un cilindro a la presión de $1{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$ y a $27\ ^\circ\text{C}$, con un volumen de $4{,}0\ \text{L}$. Luego se coloca en otro recipiente, donde su presión es de $2{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$ y su volumen de $3{,}0\ \text{L}$. Sin que cambie la cantidad de gas, calcula la temperatura final en kelvin y en grados Celsius.
Cuando cambia la cantidad de gas o el sistema es un émbolo
A veces el gas no se conserva: se abre una válvula, se infla un neumático. Entonces hay que hallar $n$ en cada estado con $n = \dfrac{pV}{RT}$. Si $V$ y $T$ no cambian, $n$ es proporcional a $p$: el gas que queda es la misma fracción que la presión que queda.
Gas bajo un émbolo. Un émbolo móvil de área $S$ mantiene el gas a una presión que se obtiene del equilibrio de fuerzas sobre él. Si su peso es despreciable y sobre él actúan la atmósfera y una pesa de peso $F$:
$$p = p_0 + \frac{F}{S}$$El volumen es $V = S \cdot h$, con $h$ la altura del émbolo.
Un tanque de $50\ \text{L}$ contiene un gas ideal a $300\ \text{K}$ y a una presión de $6{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$. Se abre una válvula y escapa parte del gas hasta…
Un tanque de $50\ \text{L}$ contiene un gas ideal a $300\ \text{K}$ y a una presión de $6{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$. Se abre una válvula y escapa parte del gas hasta que la presión baja a $4{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$, mientras la temperatura se mantiene en $300\ \text{K}$. Usa $R = 8{,}31\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$.
- a) Calcula la cantidad de sustancia inicial y la final.
- b) Determina qué fracción del gas inicial escapó y explica por qué esa fracción coincide con la disminución relativa de la presión.
Un cilindro vertical cerrado por un émbolo móvil contiene $0{,}50$ mol de un gas ideal a $300\ \text{K}$. El émbolo tiene un área de $2{,}0\times10^{-2}\ \text{m}^2$, su…
Un cilindro vertical cerrado por un émbolo móvil contiene $0{,}50$ mol de un gas ideal a $300\ \text{K}$. El émbolo tiene un área de $2{,}0\times10^{-2}\ \text{m}^2$, su peso es despreciable y sobre él actúa la presión atmosférica de $1{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$. Usa $R = 8{,}31\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$.
- a) Calcula el volumen del gas y la altura a la que se encuentra el émbolo respecto al fondo.
- b) Se coloca sobre el émbolo una pesa de $400\ \text{N}$ y el gas se enfría hasta $280\ \text{K}$. Determina la nueva altura del émbolo y compárala con la inicial. Razona qué efecto tiene cada cambio (la pesa y la temperatura).