Ecuación de Bernoulli
Durante un huracán, el viento pasa a gran rapidez sobre un techo de zinc y a veces lo arranca hacia arriba, aunque el viento sople en horizontal. ¿Por qué un fluido que se mueve rápido empuja menos que uno que está quieto? La ecuación de Bernoulli lo explica con una idea que ya conoces: la conservación de la energía. Al final de la página volveremos al techo.
Qué dice la ecuación de Bernoulli
En 8.° estudiaste fluidos en reposo, donde la presión solo depende de la profundidad. En el epígrafe anterior viste que en una tubería que se estrecha el agua aumenta su rapidez. Pero para acelerar el agua hace falta una fuerza, y esa fuerza solo puede venir de una diferencia de presión. Bernoulli relaciona las tres cosas: presión, rapidez y altura.
Consideramos un tubo de corriente: una porción de fluido que se mueve por una tubería, entre dos puntos 1 y 2.
Si el fluido es ideal, la energía mecánica se conserva y se cumple en todo el tubo de corriente:
Cada término es una energía por unidad de volumen (se mide en J/m³, que es lo mismo que Pa):
| Término | Nombre | Energía que representa |
|---|---|---|
| $p$ | presión | trabajo de las fuerzas de presión (energía de presión) |
| $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ | presión dinámica | energía cinética |
| $\rho g h$ | presión hidrostática | energía potencial gravitatoria |
Es la conservación de la energía mecánica: si en un punto el fluido gana energía cinética, tiene que perder presión o altura.
Cuándo se puede usar
La forma habitual solo vale si el fluido cumple estas condiciones:
-
Ideal sin viscosidad: no hay rozamiento interno, así que no se pierde energía en calor.
-
Incompresible: la densidad $\rho$ es constante.
-
Flujo estacionario: en cada punto la rapidez y la presión no cambian con el tiempo.
-
Los dos puntos están en la misma línea de corriente (el mismo tubo de corriente).
Escribe la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal que se mueve en un tubo de corriente. Nombra cada uno de los tres términos de la ecuación e indica qué tipo de…
Escribe la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal que se mueve en un tubo de corriente. Nombra cada uno de los tres términos de la ecuación e indica qué tipo de energía por unidad de volumen representa cada uno.
Menciona las condiciones que debe cumplir un fluido para que se pueda aplicar la ecuación de Bernoulli en su forma habitual. Indica, además, cuál de esas condiciones…
Menciona las condiciones que debe cumplir un fluido para que se pueda aplicar la ecuación de Bernoulli en su forma habitual. Indica, además, cuál de esas condiciones deja de cumplirse en un fluido viscoso como la miel.
Tubería horizontal: más rápido, menos presión
Si la tubería es horizontal, $h_1 = h_2$ y el término $\rho g h$ es igual en los dos puntos. Se cancela y queda:
$$p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$$Donde el fluido va más rápido, la presión es menor. Parece raro, pero es lo que pide la energía: para que el agua gane energía cinética al pasar a la parte estrecha, tiene que ser empujada por una presión mayor detrás que delante.
Con la ecuación de continuidad
Muchas veces no te dan la rapidez en la parte estrecha, sino los diámetros o las áreas. Entonces se combinan las dos ecuaciones:
-
Con la continuidad, $A_1 v_1 = A_2 v_2$, calculas $v_2$ (recuerda $A = \pi r^2$, y el área crece con el cuadrado del diámetro).
-
Con Bernoulli calculas $p_2$.
Por una tubería horizontal circula agua. En un punto la velocidad es de $1{,}0\ \text{m/s}$ y en otro es de $3{,}0\ \text{m/s}$. Indica en cuál de los dos puntos la…
Por una tubería horizontal circula agua. En un punto la velocidad es de $1{,}0\ \text{m/s}$ y en otro es de $3{,}0\ \text{m/s}$. Indica en cuál de los dos puntos la presión es menor y explica por qué, usando la ecuación de Bernoulli.
Por una tubería horizontal circula agua de densidad $1\,000\ \text{kg/m}^3$. En una sección ancha la velocidad es de $1{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es de…
Por una tubería horizontal circula agua de densidad $1\,000\ \text{kg/m}^3$. En una sección ancha la velocidad es de $1{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es de $2{,}0 \times 10^5\ \text{Pa}$. En una sección estrecha la velocidad es de $4{,}0\ \text{m/s}$. Calcula la presión en la sección estrecha.
Una tubería horizontal de $10\ \text{cm}$ de diámetro conduce agua a $2{,}0\ \text{m/s}$ con una presión de $1{,}6 \times 10^5\ \text{Pa}$. Luego se estrecha hasta un…
Una tubería horizontal de $10\ \text{cm}$ de diámetro conduce agua a $2{,}0\ \text{m/s}$ con una presión de $1{,}6 \times 10^5\ \text{Pa}$. Luego se estrecha hasta un diámetro de $5{,}0\ \text{cm}$. Calcula la velocidad y la presión en la parte estrecha, usando primero la ecuación de continuidad y después la de Bernoulli. Toma $\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3$.
Cuando cambia la altura
Si la tubería sube o baja, el término $\rho g h$ cambia. Si la rapidez es la misma en los dos puntos (sección constante), los términos $\tfrac12\rho v^2$ se cancelan:
$$p_1 + \rho g h_1 = p_2 + \rho g h_2 \quad\Rightarrow\quad p_2 = p_1 - \rho g\,(h_2 - h_1)$$Es la misma fórmula de la presión hidrostática que estudiaste en 8.°. Ahora sabes que es un caso particular de Bernoulli, el de $v = 0$ (o constante).
Si cambian a la vez la altura y la rapidez, se escriben los tres términos en cada punto y se despeja la incógnita. No hay que memorizar casos: siempre se parte de la ecuación completa.
Una tubería lleva agua desde un punto A hasta un punto B situado $6{,}0\ \text{m}$ más arriba. En A la velocidad es de $2{,}0\ \text{m/s}$ y la presión de…
Una tubería lleva agua desde un punto A hasta un punto B situado $6{,}0\ \text{m}$ más arriba. En A la velocidad es de $2{,}0\ \text{m/s}$ y la presión de $3{,}0 \times 10^5\ \text{Pa}$; en B la velocidad es la misma. Calcula la presión en B. Usa $\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3$ y $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.
Algunas aplicaciones
Con la ecuación de Bernoulli se explican muchos aparatos y fenómenos. Veremos los más sencillos.
Salida por un orificio (teorema de Torricelli)
Un tanque abierto tiene agua hasta una altura $h$ sobre un orificio lateral. Tomamos el punto 1 en la superficie y el 2 en el orificio:
-
Los dos puntos están a la presión atmosférica: $p_1 = p_2 = p_0$.
-
La superficie baja muy lentamente, porque el tanque es mucho más ancho que el orificio (continuidad): $v_1 \approx 0$.
-
La diferencia de alturas es $h_1 - h_2 = h$.
Entonces $\rho g h = \tfrac12\rho v_2^2$, y queda:
Por ejemplo, con $h = 3{,}2\ \text{m}$ y $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$: $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 3{,}2} = \sqrt{62{,}72} \approx 7{,}9\ \text{m/s}$. Observa que no depende de la densidad del líquido.
Un tanque abierto a la atmósfera contiene agua hasta una altura de $5{,}0\ \text{m}$ sobre un pequeño orificio situado en su pared lateral. Aplicando la ecuación de…
Un tanque abierto a la atmósfera contiene agua hasta una altura de $5{,}0\ \text{m}$ sobre un pequeño orificio situado en su pared lateral. Aplicando la ecuación de Bernoulli, calcula la velocidad con que sale el agua por el orificio. Usa $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ y desprecia la viscosidad.
Tubo de Venturi: medir la rapidez
Un tubo de Venturi es una tubería horizontal con un estrechamiento. Dos manómetros miden la presión en la parte ancha ($p_1$) y en la estrecha ($p_2$). Conociendo $\Delta p = p_1 - p_2$ y las áreas se halla la rapidez:
-
Continuidad: $v_2 = \dfrac{A_1}{A_2}\,v_1$.
-
Bernoulli horizontal: $\Delta p = \tfrac12\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$.
-
Se sustituye (1) en (2), se despeja $v_1$ y el caudal es $Q = A_1 v_1$.
Un tubo de Venturi horizontal se usa para medir la velocidad del agua en una tubería. La sección ancha tiene $A_1 = 40\ \text{cm}^2$ y la estrecha…
Un tubo de Venturi horizontal se usa para medir la velocidad del agua en una tubería. La sección ancha tiene $A_1 = 40\ \text{cm}^2$ y la estrecha $A_2 = 10\ \text{cm}^2$. Un manómetro indica que la diferencia de presión entre ambas secciones es de $1{,}5 \times 10^4\ \text{Pa}$. Calcula la velocidad del agua en la sección ancha y el caudal que circula por el tubo. Toma $\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3$ y expresa el caudal en $\text{L/s}$.
Otros ejemplos con la misma idea
-
Atomizador (pulverizador de perfume o de insecticida): el aire sopla muy rápido sobre la boca de un tubito. Allí la presión baja por debajo de la atmosférica y el líquido sube por el tubo empujado por la presión atmosférica, y sale hecho gotas.
-
Tubo de Pitot: se coloca de frente al flujo. En la abertura frontal el aire se frena ($v = 0$) y la presión es mayor que en el costado. De la diferencia de presiones se obtiene la rapidez; así miden la rapidez de los aviones.
-
Sustentación: el ala de un avión desvía el aire para que vaya más rápido por arriba que por abajo. Arriba la presión es menor, abajo mayor, y la diferencia da una fuerza hacia arriba.
Volvamos al techo de zinc
Durante un huracán, el viento corre muy rápido por encima del techo y dentro de la casa el aire está casi quieto. Por Bernoulli, la presión fuera, arriba del techo, es menor que la de dentro. Esa diferencia de presión, multiplicada por el área, da una fuerza hacia arriba que puede arrancar el techo. Es el mismo efecto que levanta un avión, y por eso en la temporada ciclónica se aconseja asegurar bien las cubiertas.