Ley de Stokes y coeficiente de viscosidad
Dejas caer una bolita de acero en un vaso de agua y otra igual en un pomo de miel. En el agua llega al fondo enseguida; en la miel baja despacio, como en cámara lenta. ¿Qué fuerza frena a la bolita y de qué depende? Al final de la página podrás calcularla.
Viscosidad: el rozamiento interno de los fluidos
Hasta ahora, con las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli, trabajaste con un fluido ideal: incompresible y sin viscosidad. Un fluido real no es así. Cuando una capa de fluido se desliza sobre otra, aparece un rozamiento entre ellas. A esa propiedad la llamamos viscosidad.
Por eso un fluido real no cumple la ecuación de Bernoulli: el rozamiento interno disipa energía mecánica en forma de calor, así que la suma $p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h$ no se conserva a lo largo de una línea de corriente, sino que disminuye en el sentido del flujo. Para mantener un líquido viscoso en movimiento por una tubería hay que seguir aportándole energía, por ejemplo con una bomba.
La miel, la glicerina y el aceite de motor son muy viscosos: fluyen con dificultad. El agua, el alcohol y el aire son poco viscosos: fluyen con facilidad.
La viscosidad se mide con el coeficiente de viscosidad $\eta$ (letra griega «eta»). Su unidad en el SI es el pascal por segundo:
$$[\eta] = \text{Pa·s}$$Cuanto mayor es $\eta$, más viscoso es el fluido. Valores aproximados a unos 20 °C:
| Fluido | $\eta$ (Pa·s) |
|---|---|
| Aire | $0{,}000018$ |
| Agua | $0{,}0010$ |
| Aceite de motor | $0{,}1$ a $0{,}3$ |
| Glicerina | $1{,}4$ |
La viscosidad depende de la temperatura: la miel o el aceite caliente fluyen mucho mejor que fríos. Por eso un motor se calienta antes de exigirle.
Explica con tus palabras qué es la viscosidad de un fluido. Pon un ejemplo de un líquido muy viscoso y otro poco viscoso de los que conoces en la vida diaria.
Explica con tus palabras qué es la viscosidad de un fluido. Pon un ejemplo de un líquido muy viscoso y otro poco viscoso de los que conoces en la vida diaria.
La ley de Stokes
Cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido real, el fluido se opone a su movimiento con una fuerza de resistencia. Para una esfera que se mueve lentamente en un fluido viscoso, el físico británico George Stokes encontró:
Porqué tiene esa forma: la resistencia viene del rozamiento entre capas del fluido que rodean la esfera. Es mayor si el fluido es más viscoso ($\eta$), si hay más superficie en contacto ($r$) y si el deslizamiento es más rápido ($v$). La fuerza es proporcional a la rapidez: si $v$ se duplica, $F$ se duplica.
Comprueba las unidades: $\text{Pa·s}\cdot\text{m}\cdot\text{m/s}=\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}\cdot\text{m}^2 = \text{N}$. Cuadra.
La ley solo vale para esferas pequeñas, a velocidades bajas y sin remolinos en el fluido. Una guagua o un auto rápido en el aire no la cumplen.
Escribe la expresión de la ley de Stokes para la fuerza de resistencia que actúa sobre una esfera que se mueve lentamente en un fluido viscoso. Indica qué representa…
Escribe la expresión de la ley de Stokes para la fuerza de resistencia que actúa sobre una esfera que se mueve lentamente en un fluido viscoso. Indica qué representa cada símbolo y sus unidades en el Sistema Internacional.
Una esfera de radio $2{,}0\ \text{mm}$ se mueve a $0{,}10\ \text{m/s}$ en un aceite de coeficiente de viscosidad $\eta = 0{,}20\ \text{Pa·s}$. Calcula la fuerza de…
Una esfera de radio $2{,}0\ \text{mm}$ se mueve a $0{,}10\ \text{m/s}$ en un aceite de coeficiente de viscosidad $\eta = 0{,}20\ \text{Pa·s}$. Calcula la fuerza de resistencia sobre la esfera con la ley de Stokes $F = 6\pi\eta r v$.
Una esfera pequeña de radio $1{,}0\ \text{mm}$ cae en glicerina, cuyo coeficiente de viscosidad es $\eta = 1{,}4\ \text{Pa·s}$. En cierto instante su velocidad es de…
Una esfera pequeña de radio $1{,}0\ \text{mm}$ cae en glicerina, cuyo coeficiente de viscosidad es $\eta = 1{,}4\ \text{Pa·s}$. En cierto instante su velocidad es de $0{,}020\ \text{m/s}$. Calcula la fuerza de resistencia en ese instante y explica cómo cambia esa fuerza si la velocidad se duplica.
Velocidad límite
Suelta una esfera en un líquido viscoso. Al inicio $v = 0$ y no hay resistencia: acelera. A medida que gana rapidez, la resistencia de Stokes crece. Sobre la esfera actúan tres fuerzas:
-
el peso $P$, hacia abajo;
-
el empuje $E$ (Arquímedes), hacia arriba;
-
la resistencia $F$, hacia arriba, que aumenta con $v$.
Llega un momento en que $E + F = P$. Entonces la fuerza neta es cero, la aceleración es cero y, por la primera ley de Newton, la esfera sigue con rapidez constante: la velocidad límite $v_l$.
Escribimos el equilibrio con $P = \rho_e V g$ y $E = \rho_f V g$, siendo $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$:
$$6\pi\eta r v_l = (\rho_e - \rho_f)\,\tfrac{4}{3}\pi r^3 g$$Despejando:
Observa: $v_l$ crece con el cuadrado del radio y disminuye cuando $\eta$ aumenta. Por eso la bolita baja tan despacio en la miel.
Una esfera cae dentro de un líquido viscoso y alcanza la velocidad límite. Explica qué fuerzas actúan sobre ella en ese momento, cómo se relacionan entre sí y por qué la…
Una esfera cae dentro de un líquido viscoso y alcanza la velocidad límite. Explica qué fuerzas actúan sobre ella en ese momento, cómo se relacionan entre sí y por qué la esfera deja de acelerar.
Una bolita de acero de radio $1{,}5\ \text{mm}$ y densidad $7\,800\ \text{kg/m}^3$ cae en un aceite de densidad $900\ \text{kg/m}^3$ y viscosidad…
Una bolita de acero de radio $1{,}5\ \text{mm}$ y densidad $7\,800\ \text{kg/m}^3$ cae en un aceite de densidad $900\ \text{kg/m}^3$ y viscosidad $\eta = 0{,}25\ \text{Pa·s}$. Calcula la velocidad límite con la expresión $v_l = \dfrac{2r^2(\rho_e - \rho_f)\,g}{9\eta}$. Usa $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.
Comparar esferas y medir la viscosidad
Comparar esferas. Como $v_l \propto r^2$, si el radio se duplica la velocidad límite se multiplica por $2^2 = 4$ (mismo material y mismo líquido). La esfera mayor baja más rápido.
Medir $\eta$. Si dejas caer una esfera conocida, mides la distancia recorrida a velocidad constante y el tiempo, obtienes $v_l = d/t$. Despejando de la fórmula:
$$\eta = \frac{2\,r^2\,(\rho_e - \rho_f)\,g}{9\,v_l}$$Es el principio del viscosímetro de bola, que se usa en laboratorios como el del IPVCE.
Lázaro deja caer dos esferas de igual material en un mismo líquido viscoso: la esfera A tiene radio $r$ y la esfera B tiene radio $2r$. Ambas alcanzan la velocidad…
Lázaro deja caer dos esferas de igual material en un mismo líquido viscoso: la esfera A tiene radio $r$ y la esfera B tiene radio $2r$. Ambas alcanzan la velocidad límite. Determina la razón entre las velocidades límite $v_B/v_A$ y argumenta si la esfera mayor llega antes al fondo de un recipiente muy alto. Considera válida la ley de Stokes en ambos casos.
En un laboratorio se mide la viscosidad de un líquido dejando caer una esfera de vidrio de radio $2{,}0\ \text{mm}$ y densidad $2\,500\ \text{kg/m}^3$ en un líquido de…
En un laboratorio se mide la viscosidad de un líquido dejando caer una esfera de vidrio de radio $2{,}0\ \text{mm}$ y densidad $2\,500\ \text{kg/m}^3$ en un líquido de densidad $1\,200\ \text{kg/m}^3$. La esfera recorre $0{,}30\ \text{m}$ a velocidad constante en $6{,}0\ \text{s}$. Calcula la velocidad límite, el coeficiente de viscosidad $\eta$ del líquido y analiza si el valor obtenido es razonable para un líquido espeso como la glicerina ($\eta \approx 1{,}4\ \text{Pa·s}$). Usa $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.