Semejanza
Un mapa de Chile, la maqueta de un edificio o la sombra que proyectas al sol son, en el fondo, el mismo fenómeno matemático: dos figuras con la misma forma pero distinto tamaño. A esa relación la llamamos semejanza, y en II medio la vas a usar para medir lo que no puedes medir directamente, como la altura de un árbol o el ancho de un río.
El teorema de Tales
Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. Los segmentos determinados en $r$ miden $5 \text{ cm}$ y $x \text{ cm}$. Los segmentos correspondientes…
Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. Los segmentos determinados en $r$ miden $5 \text{ cm}$ y $x \text{ cm}$. Los segmentos correspondientes determinados en $s$ miden $7 \text{ cm}$ y $21 \text{ cm}$. Calcula el valor de $x$.
Halla los valores de $x$ e $y$ en la siguiente figura, sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos.
Halla los valores de $x$ e $y$ en la siguiente figura, sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos.
Calcula el valor de $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las tres rectas horizontales son paralelas.
Calcula el valor de $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las tres rectas horizontales son paralelas.
Criterios de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos o si sus lados son proporcionales. No hace falta comprobarlo todo: basta uno de estos criterios.
Comprueba si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados del primero miden $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$, y los del segundo miden…
Comprueba si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados del primero miden $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$, y los del segundo miden $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ y $18 \text{ cm}$. Justifica tu respuesta indicando el criterio de semejanza utilizado.
Los lados de un cuadrilátero miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Construimos un cuadrilátero semejante a él cuyo perímetro es de…
Los lados de un cuadrilátero miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Construimos un cuadrilátero semejante a él cuyo perímetro es de $99 \text{ cm}$. Calcula la longitud de cada uno de los lados del nuevo cuadrilátero.
Escalas: de mapas a maquetas
Una escala $1:n$ significa que la realidad es $n$ veces más grande que el dibujo. Dibujo y realidad son dos figuras semejantes con razón $k = n$.
En un mapa a escala $1:250\,000$, la distancia entre dos ciudades es de $8 \text{ cm}$. Calcula la distancia real entre ambas ciudades expresada en kilómetros.
En un mapa a escala $1:250\,000$, la distancia entre dos ciudades es de $8 \text{ cm}$. Calcula la distancia real entre ambas ciudades expresada en kilómetros.
El plano de una vivienda está dibujado a escala $1:120$. Si la superficie del salón en el plano es de $60 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la superficie real del salón expresada…
El plano de una vivienda está dibujado a escala $1:120$. Si la superficie del salón en el plano es de $60 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la superficie real del salón expresada en metros cuadrados ($m^2$)?
Perímetro, área y volumen según $k$
Dos pentágonos regulares son semejantes con una razón de semejanza de $k = 4$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del…
Dos pentágonos regulares son semejantes con una razón de semejanza de $k = 4$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del pentágono mayor?
Una maqueta de un depósito industrial está construida a escala $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0,5 \text{ litros}$, ¿cuál es el volumen real del depósito…
Una maqueta de un depósito industrial está construida a escala $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0,5 \text{ litros}$, ¿cuál es el volumen real del depósito expresado en metros cúbicos ($m^3$)?
Dos esferas son semejantes y la razón entre sus áreas (superficies) es $9$. Si el volumen de la esfera más pequeña es de $20 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la…
Dos esferas son semejantes y la razón entre sus áreas (superficies) es $9$. Si el volumen de la esfera más pequeña es de $20 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la esfera más grande?
Una estatua de bronce de $1,2 \text{ m}$ de altura pesa $150 \text{ kg}$ y el costo de pintarla con una capa protectora es de $\$40\,000…
Una estatua de bronce de $1,2 \text{ m}$ de altura pesa $150 \text{ kg}$ y el costo de pintarla con una capa protectora es de $\$40\,000$. Se encarga una réplica exacta de la estatua, hecha del mismo material, pero con una altura de $3,6 \text{ m}$. Calcula cuánto pesará la nueva estatua y cuánto costará pintarla.
Una copa tiene forma de cono invertido con una altura interior de $15 \text{ cm}$. Se vierte agua hasta alcanzar una altura de $10 \text{ cm}$ desde el vértice inferior.…
Una copa tiene forma de cono invertido con una altura interior de $15 \text{ cm}$. Se vierte agua hasta alcanzar una altura de $10 \text{ cm}$ desde el vértice inferior. ¿Qué fracción del volumen total de la copa está llena de agua? Expresa el resultado como una fracción irreducible.
El plano de una parcela está dibujado a escala $1:400$. Se realiza una fotocopia del plano aplicando una ampliación al $150\%$ (cada longitud de la copia mide el $150\%$…
El plano de una parcela está dibujado a escala $1:400$. Se realiza una fotocopia del plano aplicando una ampliación al $150\%$ (cada longitud de la copia mide el $150\%$ de la original). ¿Cuál es la nueva escala del plano resultante? Si en la fotocopia la parcela ocupa una superficie de $12 \text{ cm}^2$, ¿cuál es su área real en metros cuadrados?
Sombras y espejos: medir sin subir
Dos objetos verticales, a la misma hora, proyectan sombras que son lados de dos triángulos semejantes: comparten el ángulo del sol con el suelo y el ángulo recto. Esto permite calcular alturas inaccesibles, como la de un edificio en Valparaíso o un árbol del cerro San Cristóbal.
Espejos y líneas visuales que se cruzan
Si dos rectas se cruzan en un punto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Si además hay dos segmentos paralelos (como las dos orillas de un río), se forman dos triángulos semejantes por AA. Así se mide un ancho sin cruzarlo.
Con un espejo en el suelo pasa algo parecido: el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, y tanto tú como el edificio forman un ángulo recto con el suelo. Los dos triángulos rectángulos son semejantes por AA.
Calcula la altura $h$ del árbol sabiendo que, a la misma hora del día, un poste de $2 \text{ m}$ proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$ y el árbol proyecta una sombra de…
Calcula la altura $h$ del árbol sabiendo que, a la misma hora del día, un poste de $2 \text{ m}$ proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$ y el árbol proyecta una sombra de $4,5 \text{ m}$.
Halla la altura $h$ del edificio utilizando la reflexión en un espejo situado en el suelo, sabiendo que el rayo de luz cumple la ley de reflexión (los ángulos de…
Halla la altura $h$ del edificio utilizando la reflexión en un espejo situado en el suelo, sabiendo que el rayo de luz cumple la ley de reflexión (los ángulos de incidencia y reflexión son iguales).
Calcula la distancia $y$ indicada en la figura y la anchura del río sabiendo que las dos líneas visuales punteadas son rectas que se cruzan en un punto.
Calcula la distancia $y$ indicada en la figura y la anchura del río sabiendo que las dos líneas visuales punteadas son rectas que se cruzan en un punto.
Un proyector de cine muestra una diapositiva que mide $3,5 \text{ cm}$ de alto. La diapositiva está situada a $15 \text{ cm}$ del centro óptico de la lente del…
Un proyector de cine muestra una diapositiva que mide $3,5 \text{ cm}$ de alto. La diapositiva está situada a $15 \text{ cm}$ del centro óptico de la lente del proyector. Si la pantalla de proyección se encuentra a $4,5 \text{ m}$ de la lente, calcula la altura de la imagen proyectada en la pantalla.
En el trapecio de la figura, las bases miden $10 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$, y la altura total es de $21 \text{ cm}$. Las diagonales se cortan en un punto, dividiendo…
En el trapecio de la figura, las bases miden $10 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$, y la altura total es de $21 \text{ cm}$. Las diagonales se cortan en un punto, dividiendo la altura total en dos partes. Calcula el área de los dos triángulos sombreados formados por las bases y las diagonales.
Un pozo cilíndrico seco tiene un diámetro de $1,5 \text{ m}$. Una persona, cuyos ojos se encuentran a $1,6 \text{ m}$ del suelo, se sitúa a $0,5 \text{ m}$ del borde del…
Un pozo cilíndrico seco tiene un diámetro de $1,5 \text{ m}$. Una persona, cuyos ojos se encuentran a $1,6 \text{ m}$ del suelo, se sitúa a $0,5 \text{ m}$ del borde del pozo. Desde esa posición, su línea visual roza el borde del pozo y alcanza exactamente la esquina inferior opuesta del fondo. Calcula la profundidad del pozo.
Una farola tiene una altura de $4,5 \text{ m}$. Una persona de $1,8 \text{ m}$ de estatura arranca desde la base de la farola y se aleja caminando en línea recta a una…
Una farola tiene una altura de $4,5 \text{ m}$. Una persona de $1,8 \text{ m}$ de estatura arranca desde la base de la farola y se aleja caminando en línea recta a una velocidad constante de $1,5 \text{ m/s}$. Calcula la longitud de la sombra que proyecta la persona exactamente a los $4 \text{ segundos}$ de haber empezado a caminar.
La altura sobre la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa lo divide en dos triángulos más pequeños, y los tres son semejantes entre sí. De ahí salen dos fórmulas muy útiles.
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos (proyecciones) que miden $3 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Calcula la medida…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos (proyecciones) que miden $3 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Calcula la medida de dicha altura.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25 \text{ cm}$ y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide $9 \text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25 \text{ cm}$ y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide $9 \text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto (el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella) para hallar la longitud de dicho cateto.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $10 \text{ cm}$ y $24 \text{ cm}$. Calcula la longitud de la hipotenusa, la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa…
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $10 \text{ cm}$ y $24 \text{ cm}$. Calcula la longitud de la hipotenusa, la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa y las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la misma.
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa mide $6 \text{ cm}$. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos proyecciones cuyas longitudes son $x$ y…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa mide $6 \text{ cm}$. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos proyecciones cuyas longitudes son $x$ y $x+5$ centímetros. Plantea una ecuación, halla el valor de $x$ y calcula la medida de los tres lados del triángulo rectángulo.
Vuelve al principio: la sombra de un árbol, un mapa o una maqueta se resuelven igual, con una razón de semejanza $k$ entre figuras de la misma forma.