Intervalos, semirrectas y entornos
La temperatura del agua de una piscina en La Serena, un IMC saludable, el margen de tolerancia de una pieza: todos son trozos de la recta real. Más adelante, para escribir el dominio de una función o la solución de una inecuación, vas a necesitar un lenguaje preciso para nombrarlos. Eso son los intervalos, las semirrectas y los entornos.
Intervalos y semirrectas
Las semirrectas son intervalos con un solo extremo; el otro "se va" a infinito, que nunca se incluye porque no es un número.
Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$: $-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$
Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$:
$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Entornos
Un entorno describe un intervalo a partir de su centro y de cuánto se aleja hacia cada lado: es la forma natural de hablar de "tolerancia" o "margen de error".
Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.
Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma…
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma de entorno cerrado, calculando previamente su centro y su radio.
Valor absoluto y entornos
El valor absoluto (o módulo) $|x - a|$ mide la distancia entre $x$ y $a$ en la recta, sin importar cuál es mayor. Por eso $|x - a| < r$ se lee "$x$ está a menos de $r$ de $a$": es justamente el entorno $E(a, r)$, o sea $a - r < x < a + r$.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.
Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.…
Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$. Explica brevemente qué representan los parámetros $a$ y $r$ geométricamente en la recta real.
Unión, intersección y diferencia de intervalos
Los intervalos son conjuntos, así que se combinan con las operaciones de conjuntos: la unión ($\cup$) junta todo lo que está en alguno de los dos; la intersección ($\cap$) se queda solo con lo común a ambos; la diferencia $A - B$ se queda con lo de $A$ que no está en $B$.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.
Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.
Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.
Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.
Intervalos en situaciones reales
Con entornos y valor absoluto se modelan márgenes de error: una pieza, un medidor, el pH de una piscina. Lo importante es pasar del lenguaje cotidiano al simbólico y comprobar que el resultado tenga sentido.
Amplitud de un intervalo y porcentajes
La amplitud (o longitud) de un intervalo de extremos $a < b$ es $b - a$, sin importar si los extremos están incluidos o no. Sirve para decir qué parte de un rango cumple una condición: se divide la amplitud del tramo que te interesa por la amplitud del rango total.
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos…
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos que superen los $5500\text{ kg}$. Determina el intervalo real de cargas que pueden circular por el puente cumpliendo ambas condiciones.
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error…
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error absoluto máximo de $0,1$, determina en qué intervalo debe dar la lectura el aparato para que tengamos la certeza absoluta de que el pH real es seguro. Exprésalo también como entorno.
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían…
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían uniformemente en el intervalo $[29,2; 30,8]$. ¿Qué porcentaje del rango de longitudes de este lote será rechazado por el control de calidad?
Vuelve al principio: el rango de temperaturas de la piscina, el IMC o la tolerancia de una pieza son intervalos, y la mejor manera de describirlos es con corchetes, paréntesis y entornos.