Representación de funciones
Josefa pide un taxi por aplicación en Santiago y ve en pantalla la tarifa: una bajada de bandera y una cantidad fija por kilómetro. Esa misma información se puede dar como una fórmula, como una tabla o como una gráfica. Son tres representaciones de la misma función, y saber pasar de una a otra es tan importante como calcular con la fórmula. Al final de la página verás cuántos datos necesitas para reconstruir una función a partir de su gráfica.
De la tabla a la gráfica
Antes de tabular hay que saber dónde existe la función. Eso se llama su dominio: los valores de $x$ para los que se puede calcular $f(x)$.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el tiempo que tarda en caer un objeto soltado desde $4,9$ metros de altura.
Funciones lineales
La función inversa de una función afín
Piensa en la función como una máquina: entra $x$, sale $f(x)$. La inversa es la máquina que deshace el trabajo: entra $f(x)$ y sale $x$. En la tabla, se intercambian las columnas. En el gráfico, la inversa es el reflejo de la recta respecto de la recta $y=x$.
Un taxista cobra una bajada de bandera de $3\,000$ pesos y $1\,500$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el…
Un taxista cobra una bajada de bandera de $3\,000$ pesos y $1\,500$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con los kilómetros recorridos.
Observa el gráfico de la recta y determina su pendiente, su coeficiente de posición y su expresión algebraica.
Observa el gráfico de la recta y determina su pendiente, su coeficiente de posición y su expresión algebraica.
Parábolas y polinomiales
Traslaciones de la parábola
La parábola $y=(x-h)^2+k$ es la parábola base $y=x^2$ desplazada $h$ unidades a la derecha y $k$ hacia arriba (si son negativos, a la izquierda o hacia abajo). Su vértice es $(h, k)$ y el vector de traslación es $(h, k)$.
El efecto de $a$ y la inversa de $f(x)=ax^2$
En $f(x)=ax^2$, si $|a|$ es grande la parábola es más angosta, y si $|a|$ es pequeño es más abierta. Si $a<0$ abre hacia abajo. Por ejemplo, la altura de un objeto que cae se modela con $h=-5t^2$ aproximadamente, y la distancia de frenado de un auto crece con el cuadrado de la velocidad.
La función $f(x)=x^2$ con $x\ge 0$ tiene inversa: $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$. Su gráfico es el reflejo de la rama derecha de la parábola respecto de $y=x$.
Polinomiales de grado 3
Con un polinomio de grado mayor ya no hay una fórmula única del vértice. Se usa una tabla de valores o un programa como GeoGebra.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica…
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.
Optimizar con el vértice
Cuando una situación se modela con una cuadrática, el vértice responde la pregunta «¿cuánto conviene hacer para ganar lo máximo (o gastar lo mínimo)?».
Oferta y demanda: el ingreso
El ingreso es precio por cantidad. Si la demanda baja al subir el precio, el ingreso es una cuadrática y su vértice da el precio que más conviene.
El beneficio de la venta de poleras de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -2\,000x^2 + 120\,000x - 1\,000\,000$, donde $x$ es el número…
El beneficio de la venta de poleras de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -2\,000x^2 + 120\,000x - 1\,000\,000$, donde $x$ es el número de poleras vendidas en cientos. ¿Cuántas poleras deben vender para maximizar el beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe…
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?
Funciones racionales (proporcionalidad inversa)
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
El arriendo de un bus para una excursión escolar cuesta $600\,000$ pesos. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos…
El arriendo de un bus para una excursión escolar cuesta $600\,000$ pesos. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos $x$ que asistan. Si a última hora se dan de baja $5$ alumnos, escribe la nueva función de costo por alumno y halla cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ alumnos.
Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una…
Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.
La función inversa de una racional
Para hallar $f^{-1}$ se escribe $y=f(x)$, se despeja $x$ y se intercambian los nombres de las variables. Las asíntotas de $f$ y de $f^{-1}$ se intercambian entre sí.
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las…
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.
Funciones exponenciales
Cuando una cantidad cambia siempre en el mismo porcentaje en cada intervalo de tiempo (interés compuesto, depreciación, desintegración), su modelo es una función exponencial.
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que…
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que proporciona los puntos en función del número de rondas $r$ superadas.
Se invierten $5\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital…
Se invierten $5\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y…
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?
Funciones logarítmicas
Si el argumento es $x-a$, el dominio exige $x-a>0$, es decir $x>a$.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la…
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.
Funciones definidas por partes
Para leer una gráfica a trozos, identifica cada tramo, halla su fórmula (pendiente y ordenada si es recta) y escribe el intervalo donde vale.
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$,…
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
El costo mensual de la cuenta del agua en una comuna se calcula mediante una función definida por tramos: una cuota fija de $10\,000$ pesos que incluye los primeros…
El costo mensual de la cuenta del agua en una comuna se calcula mediante una función definida por tramos: una cuota fija de $10\,000$ pesos que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $500$ pesos por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $1\,200$ pesos por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribe la expresión analítica de la función costo $C(x)$ en función de los metros cúbicos totales consumidos $x$.
Valor absoluto como función a trozos
$|u|=u$ si $u\ge 0$ y $|u|=-u$ si $u<0$. Para quitar el valor absoluto, hay que saber dónde la expresión de adentro es negativa.
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era…
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.
Funciones periódicas
Para $f(t)=D+A\operatorname{sen}(Bt)$: el valor máximo es $D+|A|$, el mínimo es $D-|A|$ y el periodo es $T=\dfrac{2\pi}{B}$.
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por…
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la noria? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?
De la gráfica a la fórmula
Vuelve al principio: la tarifa del taxi es una función afín, $C(x)=mx+n$, con la bajada de bandera como $n$ y el precio por kilómetro como $m$; con dos datos de la tarifa ya queda determinada.
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura…
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de…
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.