Ecuaciones cuadráticas

Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Desarrolla los productos notables, agrupa los términos semejantes y resuelve la siguiente ecuación:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:

$3x^2 + 15x = 0$

Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.

Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.

Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.

Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.

Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.

El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantea una ecuación de segundo grado y calcula de qué número se trata.

Para reformar el salón rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total del salón es de $35\text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la estancia.

Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.

La venta de entradas del musical del colegio deja una ganancia $B$ (en decenas de pesos) que depende del número de entradas vendidas $x$ (en decenas) según la ecuación $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcula cuántas entradas se deben vender exactamente para que la ganancia sea nula (el punto de equilibrio).

En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el cateto mayor. Plantea una ecuación de segundo grado utilizando el teorema de Pitágoras y calcula la longitud de los tres lados de la rampa.

Resuelve la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que anulen los denominadores:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del conjunto (fotografía más paspartú) debe ser exactamente de $500\text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la anchura $x$ del paspartú.

En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos viene dado por la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, y que al finalizar la temporada se han disputado un total de $105$ partidos, plantea la ecuación correspondiente y averigua cuántos equipos participaron en la liga.

Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un depósito de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría $5\text{ horas}$ más que la manguera gruesa en llenar el depósito por sí sola. Plantea una ecuación cuadrática sumando las fracciones de depósito que llena cada manguera en una hora, y calcula cuánto tiempo tardaría cada manguera trabajando individualmente.

Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos trozos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el trozo mayor, es decir, $x > 1-x$). Desea hacerlo de tal forma que la proporción entre la varilla completa y el trozo mayor sea igual a la proporción entre el trozo mayor y el trozo menor. Plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $x$.

El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, expresa $y$ en función de $x$ usando el dato del área. A continuación, sustituye en el teorema de Pitágoras para la diagonal y resuelve la ecuación bicuadrada resultante para hallar las dimensiones exactas del rectángulo.

Resuelve la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para descartar posibles raíces falsas:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Un grupo de estudiantes arrienda un bus para una excursión por un costo total de $\$400\,000$. A última hora se suman $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente tenga que pagar $\$4\,000$ menos. Plantea una ecuación cuadrática para calcular cuántos estudiantes iban a ir al principio y resuélvela.

Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Asegúrate de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvides el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.