Función lineal y función afín. Polinomio de primer grado
Un taxi en Santiago te cobra una bajada de bandera y después una cantidad fija por cada kilómetro. ¿Cómo se escribe esa regla con una fórmula y qué dice cada número de ella? En esta página vas a ver que una sola expresión, $mx + n$, describe todas las situaciones de este tipo.
El polinomio de primer grado como función
Según los valores de $m$ y $n$ hay tres casos:
Mueve $m$ y $n$ y fíjate qué cambia: $m$ inclina la recta y $n$ la sube o la baja.
Identifica la pendiente $m$ y el coeficiente de posición $n$ de las siguientes funciones lineales: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Identifica la pendiente $m$ y el coeficiente de posición $n$ de las siguientes funciones lineales:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Escribe la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuyo coeficiente de posición es $-2$.
Escribe la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuyo coeficiente de posición es $-2$.
Clasifica las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal), función afín o función constante: a) $f(x) = 3x - 1$ b) $g(x) = \frac{x}{4}$ c)…
Clasifica las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal), función afín o función constante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Imágenes y antiimágenes
Calcular la imagen de $a$ es hallar $f(a)$: se reemplaza $x$ por $a$. Calcular la antiimagen de $b$ es hallar los $x$ tales que $f(x) = b$: hay que resolver la ecuación $mx + n = b$.
Esto sirve para hallar las intersecciones con los ejes. El coeficiente de posición es $f(0) = n$: el punto $(0, n)$. La raíz (o cero) es la antiimagen de $0$: se resuelve $mx + n = 0$, o sea $x = -\dfrac{n}{m}$.
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 1\,500x + 3\,000$, donde $C(x)$ es el costo en pesos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará…
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 1\,500x + 3\,000$, donde $C(x)$ es el costo en pesos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un viaje de $8$ kilómetros?
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Pertenencia de un punto al gráfico
Un punto $P(a, b)$ pertenece al gráfico de $f$ si y solo si $f(a) = b$. Se reemplaza y se compara.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Hallar la ecuación de la recta
Para escribir $y = mx + n$ se necesitan dos datos. Los casos más comunes:
Pendiente y coeficiente de posición: se escribe directo.
Pendiente y un punto $(x_0, y_0)$: se reemplaza en $y = mx + n$ y se despeja $n$.
Dos puntos: primero la pendiente, $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, y después $n$ como en el caso anterior.
¿Por qué? La pendiente mide cuánto sube $y$ por cada unidad que avanza $x$; en una recta ese cociente es el mismo entre cualquier par de puntos.
También se puede leer la recta de un gráfico: el coeficiente de posición es donde corta al eje $y$, y la pendiente se obtiene con dos puntos claros de la recta.
Rectas paralelas: tienen la misma pendiente. Rectas coincidentes: misma pendiente y mismo coeficiente de posición. Para saber dónde se cortan dos rectas, igualas sus fórmulas y resuelves.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
A partir del siguiente gráfico, determina la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.
A partir del siguiente gráfico, determina la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente…
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente gráfica.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el…
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el primer cuadrante.
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su coeficiente de posición es la mitad del coeficiente de posición de $r$.…
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su coeficiente de posición es la mitad del coeficiente de posición de $r$. Determina la ecuación de la recta $s$.
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta…
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta (rectas coincidentes).
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de…
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.
Modelizar con funciones de primer grado
Al leer un enunciado, busca primero si hay un valor fijo que no depende de $x$ (eso es $n$) y después cuánto cambia $y$ por cada unidad de $x$ (eso es $m$). Si hay valor fijo distinto de cero, la función es afín. Si el valor disminuye con el tiempo, $m$ es negativa.
(El gráfico está en miles de pesos.)
Cuando hay costos e ingresos, se arman dos funciones y se estudia su diferencia (la ganancia). Si una condición dice "al menos", se resuelve una inecuación de primer grado: $G(x) \geq$ valor pedido.
Si dos magnitudes se relacionan linealmente, dos pares de valores alcanzan para hallar la fórmula (como en la conversión de grados Celsius a Fahrenheit).
Las tarifas que cambian de regla después de cierto tiempo (como un estacionamiento) usan una función definida por partes: una fórmula afín para cada tramo, con la condición sobre $t$ al lado. Si te dan un gráfico hecho de segmentos, cada segmento es un tramo: su pendiente se calcula con dos de sus puntos y, cuando $y$ es distancia y $x$ es tiempo, esa pendiente es la rapidez.
Un gásfiter cobra $30\,000$ pesos por el traslado a domicilio, más $15\,000$ pesos por cada hora de trabajo. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona…
Un gásfiter cobra $30\,000$ pesos por el traslado a domicilio, más $15\,000$ pesos por cada hora de trabajo. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo con el tiempo trabajado y calcula cuánto cobrará por una reparación que le toma $3,5$ horas.
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de…
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de agua en el depósito con el tiempo transcurrido y calcula en qué minuto el depósito se vaciará por completo.
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a…
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, y hierve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encuentra la función lineal que permite convertir grados Celsius ($x$) a grados Fahrenheit ($y$).
Una fábrica de zapatillas tiene unos costos fijos mensuales de $5\,000\,000$ pesos. Además, producir cada par de zapatillas cuesta $15\,000$ pesos. Si la empresa vende…
Una fábrica de zapatillas tiene unos costos fijos mensuales de $5\,000\,000$ pesos. Además, producir cada par de zapatillas cuesta $15\,000$ pesos. Si la empresa vende cada par a $40\,000$ pesos, escribe las funciones de costo $C(x)$ e ingresos $R(x)$. ¿Cuántos pares de zapatillas deben vender al mes para obtener una ganancia de al menos $2\,000\,000$ pesos?
Un estacionamiento cobra $2\,500$ pesos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $50$ pesos por cada minuto adicional. Escribe la…
Un estacionamiento cobra $2\,500$ pesos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $50$ pesos por cada minuto adicional. Escribe la función definida por tramos $C(t)$ que representa el costo total en pesos en función del tiempo $t$ en minutos que un vehículo está estacionado.
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la…
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la función $d(t)$ y calcula cuál fue la velocidad constante del ciclista durante el viaje de regreso.
Volvamos al taxi del principio: la bajada de bandera es la ordenada al origen $n$ y el precio por kilómetro es la pendiente $m$. Con $C(x) = 1.500\,x + 3.000$, un viaje de $8$ km cuesta $15.000$ pesos.
La función inversa de una función afín
Piensa en $f$ como una máquina: entra un $x$, se hacen operaciones y sale $y = f(x)$. La función inversa $f^{-1}$ es la máquina que va al revés: entra $y$ y devuelve el $x$ que lo produjo. Para que exista, cada resultado debe salir de un solo $x$.
Si $f(x) = 2x + 3$, la máquina multiplica por $2$ y luego suma $3$. La inversa deshace los pasos en orden contrario: resta $3$ y luego divide por $2$.
Las dos rectas son simétricas respecto de la recta $y = x$: si $(a, b)$ está en el gráfico de $f$, entonces $(b, a)$ está en el de $f^{-1}$. En una tabla, la inversa intercambia las columnas.
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de…
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de la función inversa $p(L)$ y utilízala para calcular qué peso se ha colgado si el muelle mide exactamente $22$ cm.