Repartos proporcionales
Tres amigos, Sofía, Benjamín e Isidora, ponen plata para abrir un puesto en la feria vecinal: $\$15.000$, $\$20.000$ y $\$25.000$. Al final del año hay ganancias. ¿Se reparten en partes iguales? No parece justo: quien puso más debería llevarse más. Eso es un reparto proporcional, y puede ser directo, inverso o con dos criterios a la vez.
Reparto directo e inverso
Con la barra se ve la idea: si se reparte $450$ pesos de forma directa a $2$, $3$ y $4$, hay $9$ partes en total, así que $k = 450 : 9 = 50$ y los tres reciben $100$, $150$ y $200$ pesos.
Reparte la cantidad de $450\,000$ pesos de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte la cantidad de $450\,000$ pesos de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ pesos, $20000$ pesos y $25000$ pesos respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa…
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ pesos, $20000$ pesos y $25000$ pesos respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa genera un beneficio neto de $14400$ pesos. Calcula qué cantidad de los beneficios le corresponde a cada socio si el reparto se realiza de forma directamente proporcional al capital invertido.
Los repartos y las funciones proporcionales
Los repartos son funciones proporcionales disfrazadas, las mismas que vas a usar en Física y en Química.
En un reparto directo, la parte $y$ que recibe cada uno depende de su coeficiente $x$ así: $y = k \cdot x$. Es una función de proporcionalidad directa: su gráfica es una recta que pasa por el origen, y $k$ es la pendiente. Si el coeficiente se duplica, la parte se duplica.
En un reparto inverso, la parte es $y = \dfrac{k'}{x}$, con $k' = \dfrac{T}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$. Es una función de proporcionalidad inversa: su gráfica es una hipérbola. Si el coeficiente se duplica, la parte se reduce a la mitad.
Un abuelo decide repartir $120\,000$ pesos entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de…
Un abuelo decide repartir $120\,000$ pesos entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero que recibe cada uno.
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $3\,400\,000$ pesos de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros…
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $3\,400\,000$ pesos de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros clasificados en llegar a la meta. Si han cruzado la línea de meta en $12$, $15$ y $20$ minutos respectivamente, determina el premio económico que se lleva cada corredor.
Repartos con fracciones o decimales
Cuando los coeficientes son fracciones o decimales, conviene pasarlos a números enteros proporcionales: el reparto no cambia.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las…
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las temperaturas a las que se encuentran. Las temperaturas son $\frac{1}{2}$ ºC, $\frac{2}{3}$ ºC y $\frac{3}{4}$ ºC. Calcula la cantidad exacta de compuesto que se depositará en cada recipiente.
Tres tuberías distintas llenan un estanque industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$…
Tres tuberías distintas llenan un estanque industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$ son directamente proporcionales a los números $2$, $3$ y $4$. Los costos de mantenimiento de las tuberías ascienden a $1\,300\,000$ pesos y se decide repartirlos de forma inversamente proporcional al tiempo que tarda cada una en llenar el estanque. Determina cuánto se debe pagar de mantenimiento por cada tubería.
Dos criterios combinados
A veces el reparto depende de dos cosas: una directa y otra inversa, o dos fases con criterios distintos.
Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días…
Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días a $5$ horas diarias y el cuarto, $3$ días a $10$ horas diarias. Si cobran en total $3\,680\,000$ pesos y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al total de horas trabajadas por cada uno, halla cuánto cobrará cada operario.
Un bono de productividad de $2\,530\,000$ pesos se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de…
Un bono de productividad de $2\,530\,000$ pesos se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa ($4$, $5$ y $8$ años) e inversamente proporcional al número de días de ausencia durante el año ($2$, $3$ y $4$ días). Calcula la bonificación que recibe cada uno de los empleados.
Una empresa tecnológica reparte $50\,000\,000$ pesos de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma…
Una empresa tecnológica reparte $50\,000\,000$ pesos de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma directamente proporcional a las horas extra trabajadas: $120$, $150$ y $130$ horas. En la segunda fase, el $60$% restante se reparte de forma inversamente proporcional al número de incidencias técnicas reportadas: $2$, $4$ y $5$ incidencias. Calcula el beneficio total final que recibe cada uno de los tres departamentos sumando ambas fases.
Planteamiento algebraico
Muchas veces falta un dato: se conoce una sola parte, o un número del reparto es una incógnita. Entonces se arma una ecuación con la constante $k$.
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $120\,000$ pesos. Calcula la cantidad total que se ha…
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $120\,000$ pesos. Calcula la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben las otras dos personas.
Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $3\,500\,000$ pesos…
Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $3\,500\,000$ pesos más que el que recibe la menor parte, calcula el valor total de la herencia y la cantidad asignada a cada una de las tres partes.
Se ha repartido una cantidad de $8\,700\,000$ pesos de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido…
Se ha repartido una cantidad de $8\,700\,000$ pesos de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido $4\,000\,000$ pesos, $3\,000\,000$ pesos y $1\,700\,000$ pesos respectivamente. Sabiendo que el menor de los tres números originales es $51$, determina el valor de los otros dos números.
Cuando los coeficientes llevan incógnitas
El método es el mismo aunque los coeficientes sean expresiones con $x$ y hasta lo que se reparte sea una expresión: $k = \dfrac{N}{\text{suma de coeficientes}}$. La diferencia es que $k$ queda como una expresión algebraica, y conviene factorizar para simplificar.
Cuando los números del reparto son incógnitas, por ejemplo $x$, $x+1$ y $x+2$, se usa lo que se sabe (la constante $k$, una parte o el total) para armar una ecuación y resolverla. Después se verifica que las soluciones sirvan para el problema, por ejemplo que sean enteros positivos.
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de…
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de proporcionalidad inversa del reparto es $k = 120$:
- a) Plantea la ecuación correspondiente y halla los tres números enteros.
- b) Determina el valor de cada una de las tres partes obtenidas en el reparto.
Un premio de $6\,000\,000$ pesos se va a repartir entre tres ciclistas al finalizar una gran vuelta. Las bases establecen que el reparto se hará de forma directamente…
Un premio de $6\,000\,000$ pesos se va a repartir entre tres ciclistas al finalizar una gran vuelta. Las bases establecen que el reparto se hará de forma directamente proporcional al número de etapas ganadas ($3$, $4$ y $5$ etapas) e inversamente proporcional al número de caídas sufridas ($1$, $2$ y $x$ caídas). Si el ciclista que ganó $4$ etapas y sufrió $2$ caídas recibió exactamente $2\,000\,000$ pesos, determina el número de caídas $x$ del tercer ciclista y la cantidad de dinero que cobró.
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función…
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función de $x$ y simplifica al máximo los polinomios obtenidos.
Vuelve al principio: para repartir la ganancia del puesto entre los tres socios se hace un reparto directo al capital: cada uno recibe $k \cdot c$, con $k = \dfrac{\text{ganancia}}{15.000 + 20.000 + 25.000}$. Es decir, $15.000 : 20.000 : 25.000$ es lo mismo que $3 : 4 : 5$, y a cada uno le tocan $3$, $4$ y $5$ partes de las $12$ en que se divide la ganancia.