Función logarítmica
En un concierto en Santiago el sonido llega a 100 decibelios y en una conversación tranquila a 60. ¿Es el concierto «un poco más de una vez y media» más fuerte? En Chile los sismos son parte de la vida: un sismo de magnitud 8 en la escala de Richter, ¿es el doble de fuerte que uno de 4? Estas escalas no se comportan como las que conoces: usan logaritmos. En esta página aprenderás qué son, cómo se operan y cómo es su función. Al final podrás contestar esas preguntas.
Qué es un logaritmo
Ya sabes que $2^5 = 32$. Si te preguntan «¿a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 32?», la respuesta es 5. Esa pregunta tiene nombre: es el logaritmo.
Dos bases tienen nombre propio y teclas en la calculadora: $\log N$ significa $\log_{10} N$ (logaritmo decimal) y $\ln N$ significa $\log_e N$ (logaritmo natural, con $e \approx 2{,}718$).
Dos resultados valen en cualquier base: $\log_a 1 = 0$ (porque $a^0=1$) y $\log_a a = 1$ (porque $a^1=a$).
Si lo que falta es la base o el argumento, también se pasa a la forma exponencial. Por ejemplo, $\log_x 49 = 2$ significa $x^2=49$, y como la base es positiva, $x=7$.
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora: a) $\log_2 32$ b) $\log_3 \frac{1}{9}$ c) $\log 10000$
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:
a) $\log_2 32$
b) $\log_3 \frac{1}{9}$
c) $\log 10000$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo: a) $\log_x 25 = 2$ b) $\log_5 x = 3$ c) $\log_2 64 = x$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:
a) $\log_x 25 = 2$
b) $\log_5 x = 3$
c) $\log_2 64 = x$
Propiedades de los logaritmos
Como el logaritmo es un exponente, las propiedades de las potencias se traducen. Por ejemplo, $2^3\cdot 2^4=2^7$: al multiplicar potencias, los exponentes se suman. Con logaritmos:
Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.
Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de…
Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:
$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$
Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos: $2 \log a + \log b - 3 \log c$
Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos:
$2 \log a + \log b - 3 \log c$
Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la…
Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).
Cambio de base
La calculadora científica solo trae $\log$ (base 10) y $\ln$ (base $e$). Para calcular un logaritmo en otra base se usa:
Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.
Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.
Dominio y asíntota vertical
Ahora estudiamos el logaritmo como función.
Mueve el deslizador de la base y mira cómo cambia el gráfico:
Si el argumento es una expresión, el dominio se obtiene planteando que el argumento sea mayor que cero.
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas: a) $f(x) = \log(x - 5)$ b) $g(x) = \ln(2x + 8)$
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:
a) $f(x) = \log(x - 5)$
b) $g(x) = \ln(2x + 8)$
Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$: a) Determina su dominio analíticamente. b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical. c) ¿Hacia qué dirección…
Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:
a) Determina su dominio analíticamente.
b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.
c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.
Creciente o decreciente según la base
Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes: a) $f(x) = \log_3 x$ b)…
Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:
a) $f(x) = \log_3 x$
b) $g(x) = \log_{0,5} x$
c) $h(x) = \ln x$
Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus…
Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:
1) $y = \log_2 x$
2) $y = \log_{1/2} x$
Inversa de la exponencial
Elevar a una potencia y sacar el logaritmo se deshacen mutuamente: $\log_a(a^x)=x$ y $a^{\log_a x}=x$.
La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$. a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$. b) Explica el significado…
La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.
a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.
b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.
c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.
Traslaciones: $y=\log_a(x+b)$
Como en cualquier función, sumar algo dentro del argumento desplaza el gráfico en horizontal.
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$: a) Indica el valor de $b$…
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:
a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.
b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.
c) Escribe la expresión analítica completa de la función.
Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$. Plantea un sistema de…
Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.
Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.
Ecuaciones con logaritmos
Hay dos estrategias: pasar a la forma exponencial, o usar las propiedades hasta tener un logaritmo de cada lado y igualar los argumentos. En ambos casos hay que verificar, porque un argumento puede quedar negativo o cero.
Cuando hay una resta de logaritmos en un sistema, se agrupa en un cociente. Por ejemplo, $\log x-\log y=1$ equivale a $\dfrac xy=10$, o sea $x=10y$, y de ahí se sigue por sustitución.
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas: a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$ b) $\log_2(x - 4) = 3$
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas:
a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$
b) $\log_2(x - 4) = 3$
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas: $\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas:
$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
Aplicaciones: exponentes y escalas
Los logaritmos sirven para despejar un exponente. Si $a^t=N$, entonces $t=\dfrac{\log N}{\log a}$.
Muchas escalas son logarítmicas: la de decibelios ($d=10\log\frac I{I_0}$) y la de Richter ($M=\log\frac A{A_0}$). Para saber cuánto vale la magnitud mayor, se despeja el argumento pasando a forma exponencial. Por ejemplo, $\log\frac A{A_0}=5$ significa $\frac A{A_0}=10^5$.
En un algoritmo de ordenamiento con $T(n)=k\cdot n\cdot\log_2 n$, por ejemplo, el logaritmo se evalúa con la definición: $\log_2 8=3$ y $\log_2 32=5$.
Vuelve al principio: un sismo de magnitud 8 tiene una amplitud 10.000 veces la de uno de magnitud 4, no el doble. Y 100 dB frente a 60 dB significa una intensidad $10^{4}$ veces mayor, porque cada 10 dB multiplican la intensidad por 10.
Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es…
Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \cdot 1,04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $2\,000\,000$ pesos, determina cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $3\,000\,000$ pesos. Usa logaritmos para despejar la incógnita.
La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los…
La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda…
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.
Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.
La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función…
La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.
Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.
En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenamiento depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo…
En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenamiento depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia del computador.
Si al procesar $n = 8$ datos el computador tarda $T = 24$ milisegundos:
a) Calcula el valor de la constante $k$.
b) ¿Cuánto tiempo tardará el mismo computador en procesar $n = 32$ datos?