Tú y dos amigos se reparten por igual una barra de pan amasado. Con el celular haces $1 \div 3$: aparece $0{,}3333333333$. Si ahora lo multiplicas por $3$ te da $1$. Pero a mano, $0{,}333\ldots \cdot 3 = 0{,}999\ldots$ ¿Entonces $0{,}999\ldots$ es igual a $1$ o solo se parece mucho? En este apartado repasas los números racionales, aprendes a manejar sus decimales con exactitud y, al final, puedes responder esa pregunta con una cuenta.
Los conjuntos numéricos
Ya conoces los naturales $\mathbb{N}$, los enteros $\mathbb{Z}$ y los racionales $\mathbb{Q}$. Cada conjunto contiene al anterior.
Todo entero es racional: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Todo decimal exacto también: $2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Y los decimales periódicos, como vas a ver en seguida. Hay números que no se pueden escribir como fracción, como $\sqrt{7}$: son los irracionales $\mathbb{I}$, que se estudian en el próximo apartado.
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Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$;…
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1,2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.
Al dividir numerador por denominador siempre se obtiene un decimal. Lo interesante es que se puede predecir de qué tipo es sin dividir, mirando solo el denominador de la fracción irreducible.
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Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$,…
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ y $\frac{3}{14}$.
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu…
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu respuesta utilizando la descomposición factorial del denominador.
Todo decimal exacto o periódico se puede escribir como fracción: esa fracción es su generatriz.
Los decimales exactos son directos: $3{,}45 = \frac{345}{100} = \frac{69}{20}$.
Para los periódicos se usa un truco: multiplicar por potencias de $10$ de modo que las partes periódicas queden alineadas y se cancelen al restar.
Hacer ese razonamiento siempre da el mismo resultado, que se resume en una regla.
Ahora puedes cerrar la pregunta del principio. Con $x = 0{,}\widehat{9}$: $10x = 9{,}\widehat{9}$, y restando, $9x = 9$, es decir $x = 1$. Con la regla: $\frac{9}{9} = 1$. No es una aproximación: $0{,}\widehat{9}$ y $1$ son el mismo número escrito de dos maneras. Por eso $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ es coherente con $0{,}\widehat{3} \cdot 3 = 0{,}\widehat{9}$.
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Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al…
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al número natural $1$.
Las cuatro operaciones con fracciones las conoces. Cuando aparecen decimales periódicos, pásalos primero a fracción: así el resultado es exacto, sin redondeos.
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Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0,2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0,2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible:…
Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible: $\frac{\left( 0,\widehat{3} + \frac{1}{2} \right)^{-1} \cdot 1,1\widehat{6}}{\sqrt{0,25} - \frac{1}{3}}$.
Y valen las propiedades de las potencias: misma base, se suman los exponentes al multiplicar y se restan al dividir. La estrategia es unificar la base.
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Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible:…
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.
Para comparar racionales hay dos caminos: pasarlos a decimal o llevarlos a denominador común. Si hay decimales periódicos, conviene escribir varias cifras para ver dónde difieren.
Para ubicar una fracción $\frac{a}{b}$ en la recta se divide cada unidad en $b$ partes iguales y se cuentan $a$ de ellas desde el cero (hacia la derecha si es positiva, hacia la izquierda si es negativa). Si $a > b$, el punto queda más allá del $1$.
En la recta de arriba, $\frac{7}{3}$ está después del $2$ (cada unidad en tres partes: $2 + \frac{1}{3}$) y $-\frac{5}{4}$ está a la izquierda del $-1$ (unidad en cuatro partes: $-1 - \frac{1}{4}$).
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Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0,83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0,83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Muchos problemas se resuelven con una idea: la fracción de una cantidad se calcula multiplicando, y cuando conoces la parte, divides para encontrar el total. Si algo se «saca del resto», el resto es lo que queda: se calcula como un producto de fracciones.
Si lo que quieres es qué fracción del total es una parte, divide la parte por el total. Por ejemplo, en una jarra de $2$ L con $\frac{3}{5}$ L de jugo y $\frac{1}{4}$ L de limonada, el agua es $2 - \frac{17}{20} = \frac{23}{20}$ L, que es $\frac{23/20}{2} = \frac{23}{40}$ de la jarra.
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En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2,5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer…
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2,5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer y qué fracción de kilo te sobrará?
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos…
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos de tomates cosechó en total?
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta…
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta completar un frasco de $1,5$ litros. ¿Qué fracción del frasco representa el agua destilada?
Una razón como «$3$ de cada $5$» es una fracción: $\frac{3}{5} = 0{,}6$, o sea $60\,\%$. Y si aportas una fracción del total, te corresponde esa misma fracción de las ganancias.
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En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en…
En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en total y cuál es su porcentaje de acierto expresado como número decimal?
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los…
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los $1\,400\,000$ pesos restantes. Al final, el torneo genera $850\,000$ pesos de ingresos por la venta de entradas. Sabiendo que los ingresos se reparten de forma proporcional al dinero aportado, ¿qué fracción de los ingresos le corresponde al segundo amigo y qué cantidad exacta de dinero recibirá?
A veces una cantidad se transforma una y otra vez por una fracción (engranajes, rebotes), o varias cosas actúan a la vez (llaves que llenan y desagües que vacían). En ambos casos las fracciones se multiplican o se suman y restan.
Si en cada paso se multiplica por la misma razón $r$, después de $n$ pasos se multiplicó $n$ veces: $r^n$.
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Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote…
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote anterior. Calcula la altura que alcanzará en el cuarto bote y exprésala como un número decimal exacto.
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por…
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por cada vuelta que da la primera, y la tercera rueda da $\frac{4}{3}$ de vuelta por cada vuelta que da la segunda. ¿Cuántas vueltas completas dará la tercera rueda en $8$ minutos?
Un estanque de agua para riego tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llena en $4$ horas, la segunda llave lo llena en $6$ horas, y el desagüe lo…
Un estanque de agua para riego tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llena en $4$ horas, la segunda llave lo llena en $6$ horas, y el desagüe lo vacía por completo en $8$ horas. Si se abren los tres a la vez cuando el estanque está vacío, ¿qué fracción del estanque se llenará en $1$ hora? ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse por completo?
Cuando mides o usas la calculadora, a menudo reemplazas un racional exacto por un valor aproximado. El error dice cuánto te alejaste.
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Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5,6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo…
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5,6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos en la medición, expresando los resultados como fracciones irreducibles.