A energia no movimento oscilatório

Uma massa oscila horizontalmente presa a uma mola, sem atrito, entre as posições $x = -A$ e $x = +A$. A figura mostra o oscilador com essas posições indicadas.

1. a) Em que posição ou posições é máxima a energia potencial elástica?
2. b) Em que posição é máxima a energia cinética?
3. c) Em que posições a energia cinética é nula? Justifique as respostas com as fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ e $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

As roldanas e o arco de um arco de tiro esportivo comportam-se em conjunto como uma mola de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Ao ser puxada, a corda se desloca $x = 0,1\ \text{m}$. Calcule a energia potencial elástica armazenada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

A mola do lançador de um fliperama tem uma constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. A figura mostra como a energia potencial elástica aumenta com a compressão.

1. a) Calcule a energia potencial elástica armazenada quando se comprime $0,1\ \text{m}$ e quando se comprime $0,2\ \text{m}$.
2. b) Que energia adicional é necessário fornecer para passar de uma compressão para a outra?
3. c) Por que não é correto dizer que «o dobro da compressão é o dobro da energia»? Justifique com a fórmula.

A energia mecânica de um oscilador massa-mola é $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, onde $A$ é a amplitude. No laboratório, um oscilador tem $k = 200\ \text{N/m}$ e oscila com amplitude $A = 0,05\ \text{m}$. Calcule a sua energia mecânica.

Um carrinho de $m = 0,5\ \text{kg}$ ligado a uma mola passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule a sua energia cinética nesse ponto.
2. b) Quanto vale nesse ponto a sua energia potencial elástica? E a sua energia mecânica? Justifique.

A membrana de um alto-falante pode ser modelada como um oscilador massa-mola de massa $m = 0,4\ \text{kg}$ e constante elástica efetiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra com amplitude $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcule a energia mecânica da vibração.
2. b) Toda essa energia é cinética ao passar pelo equilíbrio: calcule a velocidade máxima da membrana.
3. c) Verifique que coincide com o valor obtido pela expressão $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Um oscilador massa-mola tem uma energia mecânica constante $E_m$.

1. a) Descreva como varia a energia potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ com a posição: que forma tem o seu gráfico em função de $x$ entre $-A$ e $+A$?
2. b) A energia cinética em cada ponto é $E_c = E_m - E_p$. Descreva como varia $E_c$ com a posição.
3. c) O que representa o ponto onde se cruzam os gráficos de $E_c$ e $E_p$? Desenhe no caderno os três gráficos ($E_p$, $E_c$ e $E_m$) em função da posição.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um carrinho de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscila sobre uma mesa sem atrito preso a uma mola de $k = 400\ \text{N/m}$, com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. A figura mostra como a energia do oscilador se distribui em função da posição.

1. a) Calcule a energia mecânica do oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcule a energia potencial elástica quando a elongação é $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcule a energia cinética nesse mesmo ponto e, a partir dela, a velocidade do carrinho.

Um oscilador massa-mola oscila com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. Deseja-se determinar a posição em que a energia cinética e a energia potencial elástica são iguais.

1. a) Estabeleça a condição $E_c = E_p$ considerando que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, e demonstre que nesse ponto $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Isole a elongação e calcule o seu valor numérico.
3. c) Verifique que o resultado é menor do que a amplitude: isso é razoável?

Um oscilador massa-mola tem $k = 100\ \text{N/m}$ e oscila com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcule a energia mecânica e a energia potencial elástica nos pontos $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ e $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcule a energia cinética nesses mesmos três pontos.
3. c) Com esses valores, desenhe no caderno os gráficos de $E_p(x)$, $E_c(x)$ e $E_m(x)$ entre $-A$ e $+A$ e descreva-os: forma de cada curva, pontos de interseção com os eixos e ponto de cruzamento entre $E_p$ e $E_c$.
4. d) Calcule a posição exata onde os gráficos de $E_p$ e $E_c$ se cruzam.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Num pêndulo de Newton (o pêndulo de esferas de aço de escritório), uma esfera de $m = 0,3\ \text{kg}$ é elevada $h = 0,2\ \text{m}$ acima do seu ponto mais baixo antes de ser solta (considere $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra a esfera elevada, prestes a ser solta.

1. a) Calcule a sua energia potencial gravitacional em relação ao ponto mais baixo, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) Em que se transformará essa energia ao soltar a esfera? Quanto valerá a energia cinética ao passar pelo ponto mais baixo?

A bola de aço de uma máquina de demolição está suspensa por um cabo de $l = 2\ \text{m}$ e é largada do repouso quando o cabo faz um ângulo de $60^\circ$ com a vertical (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). A altura que desce em relação ao ponto mais baixo é $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. A situação é mostrada na figura.

1. a) Calcule essa altura $h$.
2. b) Aplique a conservação da energia, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, e calcule a velocidade da bola ao passar pelo ponto mais baixo.
3. c) Essa velocidade depende da massa da bola? Justifique.

Um oscilador real com atrito perde $10\ \%$ de sua energia mecânica em cada ciclo. Parte de uma energia inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. A figura mostra como a amplitude da oscilação decresce com o tempo.

1. a) Calcule a energia mecânica que lhe resta após $5$ ciclos.
2. b) Considerando que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, ou seja, que a energia é proporcional ao quadrado da amplitude, calcule por qual fator a amplitude se reduziu após esses $5$ ciclos.
3. c) Em que se transformou a energia perdida? Explique por que o período da oscilação, contudo, quase não varia embora a amplitude diminua (dica: de quais grandezas depende $T$?).