Exercícios: A energia no movimento oscilatório

Uma massa oscila horizontalmente presa a uma mola, sem atrito, entre as posições $x = -A$ e $x = +A$. A figura mostra o oscilador com essas posições indicadas.

1. a) Em que posição ou posições é máxima a energia potencial elástica?
2. b) Em que posição é máxima a energia cinética?
3. c) Em que posições a energia cinética é nula? Justifique as respostas com as fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ e $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

As roldanas e o arco de um arco de tiro esportivo comportam-se em conjunto como uma mola de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Ao ser puxada, a corda se desloca $x = 0,1\ \text{m}$. Calcule a energia potencial elástica armazenada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

A energia mecânica de um oscilador massa-mola é $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, onde $A$ é a amplitude. No laboratório, um oscilador tem $k = 200\ \text{N/m}$ e oscila com amplitude $A = 0,05\ \text{m}$. Calcule a sua energia mecânica.

O vibrador de um celular armazena uma energia mecânica de $2\ \text{J}$ enquanto oscila.

1. a) Quanto vale a sua energia cinética máxima? Em que posição ela é atingida?
2. b) Quanto vale a sua energia potencial elástica máxima? Em que posições ela é atingida?
3. c) Que relação existe entre esses dois valores e a energia mecânica? Justifique.

Um carrinho de $m = 0,5\ \text{kg}$ ligado a uma mola passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule a sua energia cinética nesse ponto.
2. b) Quanto vale nesse ponto a sua energia potencial elástica? E a sua energia mecânica? Justifique.

Num pêndulo de Newton (o pêndulo de esferas de aço de escritório), uma esfera de $m = 0,3\ \text{kg}$ é elevada $h = 0,2\ \text{m}$ acima do seu ponto mais baixo antes de ser solta (considere $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra a esfera elevada, prestes a ser solta.

1. a) Calcule a sua energia potencial gravitacional em relação ao ponto mais baixo, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) Em que se transformará essa energia ao soltar a esfera? Quanto valerá a energia cinética ao passar pelo ponto mais baixo?

Um oscilador massa-mola tem uma energia mecânica constante $E_m$.

1. a) Descreva como varia a energia potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ com a posição: que forma tem o seu gráfico em função de $x$ entre $-A$ e $+A$?
2. b) A energia cinética em cada ponto é $E_c = E_m - E_p$. Descreva como varia $E_c$ com a posição.
3. c) O que representa o ponto onde se cruzam os gráficos de $E_c$ e $E_p$? Desenhe no caderno os três gráficos ($E_p$, $E_c$ e $E_m$) em função da posição.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma ginasta salta sobre um trampolim e oscila verticalmente, sem perder o contato com a tela, entre um ponto mais alto e um ponto mais baixo.

1. a) Em que ponto da oscilação é máxima a sua energia potencial gravitacional?
2. b) Em que ponto é máxima a energia potencial elástica armazenada pela tela?
3. c) Onde é máxima a sua energia cinética? Justifique as três respostas com base na troca de energias.

Um carrinho de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscila sobre uma mesa sem atrito preso a uma mola de $k = 400\ \text{N/m}$, com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. A figura mostra como a energia do oscilador se distribui em função da posição.

1. a) Calcule a energia mecânica do oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcule a energia potencial elástica quando a elongação é $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcule a energia cinética nesse mesmo ponto e, a partir dela, a velocidade do carrinho.

Um oscilador massa-mola oscila com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. Deseja-se determinar a posição em que a energia cinética e a energia potencial elástica são iguais.

1. a) Estabeleça a condição $E_c = E_p$ considerando que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, e demonstre que nesse ponto $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Isole a elongação e calcule o seu valor numérico.
3. c) Verifique que o resultado é menor do que a amplitude: isso é razoável?

A membrana de um alto-falante pode ser modelada como um oscilador massa-mola de massa $m = 0,4\ \text{kg}$ e constante elástica efetiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra com amplitude $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcule a energia mecânica da vibração.
2. b) Toda essa energia é cinética ao passar pelo equilíbrio: calcule a velocidade máxima da membrana.
3. c) Verifique que coincide com o valor obtido pela expressão $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

A bola de aço de uma máquina de demolição está suspensa por um cabo de $l = 2\ \text{m}$ e é largada do repouso quando o cabo faz um ângulo de $60^\circ$ com a vertical (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). A altura que desce em relação ao ponto mais baixo é $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. A situação é mostrada na figura.

1. a) Calcule essa altura $h$.
2. b) Aplique a conservação da energia, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, e calcule a velocidade da bola ao passar pelo ponto mais baixo.
3. c) Essa velocidade depende da massa da bola? Justifique.

A mola do lançador de um fliperama tem uma constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. A figura mostra como a energia potencial elástica aumenta com a compressão.

1. a) Calcule a energia potencial elástica armazenada quando se comprime $0,1\ \text{m}$ e quando se comprime $0,2\ \text{m}$.
2. b) Que energia adicional é necessário fornecer para passar de uma compressão para a outra?
3. c) Por que não é correto dizer que «o dobro da compressão é o dobro da energia»? Justifique com a fórmula.

O tambor de uma máquina de lavar roupa, durante a centrifugação, vibra com uma energia mecânica de $1,44\ \text{J}$. Os amortecedores que o sustentam se comportam como uma mola de constante efetiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Isole a amplitude na fórmula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcule a amplitude da vibração, em metros, e expresse-a também em centímetros.

O martelo de uma campainha elétrica oscila com amplitude $A = 5\ \text{cm}$ impulsionado por uma mola de constante $k = 800\ \text{N/m}$; a sua massa é $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Expresse a amplitude em metros e calcule a energia mecânica do oscilador.
2. b) Calcule a energia cinética máxima do martelo.
3. c) Calcule a velocidade máxima do martelo.

Uma pessoa se balança num cipó de $l = 2\ \text{m}$ e passa pelo ponto mais baixo a $3\ \text{m/s}$ (considere $g = 10\ \text{m/s}^2$). A figura mostra o balanço.

1. a) Calcule a altura máxima que ela atinge em relação ao ponto mais baixo, aplicando $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h$.
2. b) A altura e o ângulo máximo $\theta$ com a vertical satisfazem $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. Calcule o valor de $\cos\theta$ e deduza o ângulo máximo que o cipó atinge.

Um oscilador massa-mola tem $k = 100\ \text{N/m}$ e oscila com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcule a energia mecânica e a energia potencial elástica nos pontos $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ e $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcule a energia cinética nesses mesmos três pontos.
3. c) Com esses valores, desenhe no caderno os gráficos de $E_p(x)$, $E_c(x)$ e $E_m(x)$ entre $-A$ e $+A$ e descreva-os: forma de cada curva, pontos de interseção com os eixos e ponto de cruzamento entre $E_p$ e $E_c$.
4. d) Calcule a posição exata onde os gráficos de $E_p$ e $E_c$ se cruzam.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um oscilador real com atrito perde $10\ \%$ de sua energia mecânica em cada ciclo. Parte de uma energia inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. A figura mostra como a amplitude da oscilação decresce com o tempo.

1. a) Calcule a energia mecânica que lhe resta após $5$ ciclos.
2. b) Considerando que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, ou seja, que a energia é proporcional ao quadrado da amplitude, calcule por qual fator a amplitude se reduziu após esses $5$ ciclos.
3. c) Em que se transformou a energia perdida? Explique por que o período da oscilação, contudo, quase não varia embora a amplitude diminua (dica: de quais grandezas depende $T$?).

Um oscilador de $m = 0,2\ \text{kg}$ e $k = 50\ \text{N/m}$ oscila com amplitude $A = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcule a sua energia mecânica.
2. b) Calcule a energia potencial, a energia cinética e a velocidade quando a elongação é $x = 0,16\ \text{m}$.
3. c) Demonstre, usando $E_c = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (A^2 - x^2)$, que a velocidade é metade da máxima quando $x = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, e calcule essa posição.

Um pêndulo de demonstração de laboratório tem um comprimento $l = 1\ \text{m}$ e é largado do repouso fazendo $60^\circ$ com a vertical (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Lembre-se de que a altura em relação ao ponto mais baixo é $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. A figura mostra o pêndulo nas três posições consideradas.

1. a) Calcule a velocidade máxima que atinge ao passar pelo ponto mais baixo.
2. b) Calcule a sua velocidade quando o fio faz $30^\circ$ com a vertical, aplicando a conservação da energia entre os pontos de $60^\circ$ e $30^\circ$.
3. c) Compare as duas velocidades: por que razão a velocidade a $30^\circ$ é superior à metade da máxima, embora o ângulo seja exatamente metade?

Um oscilador de $m = 1\ \text{kg}$ e $k = 100\ \text{N/m}$ oscila primeiro com amplitude $A = 0,1\ \text{m}$ e depois com amplitude $A' = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcule a energia mecânica em cada caso e o seu quociente $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcule a velocidade máxima em cada caso e o seu quociente $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generalize o resultado: se a amplitude for multiplicada por um fator $n$, por qual fator são multiplicadas a energia mecânica e a velocidade máxima? Justifique com as fórmulas.

Num oscilador harmônico mede-se que, quando a elongação vale $x = \frac{A}{2}$, a energia cinética é de $6\ \text{J}$.

1. a) Demonstre que nesse ponto a energia potencial elástica vale um quarto da energia mecânica, isto é, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir da medição, calcule a energia mecânica do oscilador.
3. c) Calcule a energia cinética ao passar pelo equilíbrio e a energia potencial nos extremos.

Uma esfera de aço de $m = 2\ \text{kg}$ está suspensa por um fio de $l = 2,5\ \text{m}$ e é largada do repouso fazendo $30^\circ$ com a vertical (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; lembre-se de que $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calcule a energia mecânica do pêndulo em relação ao ponto mais baixo da trajetória.
2. b) Calcule a velocidade máxima ao passar pelo ponto mais baixo.
3. c) Se a esfera tivesse o dobro da massa e fosse largada a partir do mesmo ângulo, como variariam a energia mecânica e a velocidade máxima? Justifique com as fórmulas e explique por que uma delas não se altera.

Um brinquedo lança verticalmente uma bola de $m = 0,05\ \text{kg}$ por meio de uma mola de constante $k = 500\ \text{N/m}$ que é comprimida $x = 0,1\ \text{m}$ antes de ser solta (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). O lançamento é mostrado na figura.

1. a) Calcule a energia potencial elástica armazenada na mola comprimida.
2. b) Supondo que toda essa energia se converta em energia cinética da bola, calcule a velocidade de saída dela.
3. c) Calcule a altura máxima que a bola atingirá, aplicando novamente a conservação da energia.
4. d) O brinquedo real atinge uma altura menor do que a calculada. Aponte pelo menos duas causas energéticas que expliquem isso.