Lei da Gravitação Universal e leis de Kepler
Quando um satélite lançado do Centro de Lançamento de Alcântara (MA) chega ao espaço, o que o impede de sair voando em linha reta? E por que a Lua continua girando em torno da Terra, em vez de cair ou fugir? Neste apartado você vai ver que uma única lei, a da gravitação de Newton, explica a queda de uma maçã, a órbita da Lua e o satélite que transmite TV para todo o Brasil.
A Lei da Gravitação Universal
Todo corpo que tem massa atrai todos os outros. Você e o seu caderno se atraem, mas a força é tão pequena que não se percebe. Só quando um dos corpos é enorme, como a Terra, a atração aparece no dia a dia: é a força peso.
Newton propôs que essa atração é universal: vale na Terra, no Sistema Solar e entre as galáxias. Quanto maiores as massas, maior a força. Quanto mais afastados os corpos, menor a força.
Por que $d^2$? A atração "se espalha" pelo espaço em todas as direções, e a área sobre a qual ela se distribui cresce com o quadrado da distância. Por isso a força cai com o inverso do quadrado da distância.
As duas forças formam um par ação-reação: a Terra puxa a Lua com a mesma intensidade com que a Lua puxa a Terra, em sentidos opostos.
Enuncie a Lei da Gravitação Universal de Newton com suas próprias palavras e escreva a expressão matemática da intensidade da força de atração entre duas massas $m_1$ e…
Enuncie a Lei da Gravitação Universal de Newton com suas próprias palavras e escreva a expressão matemática da intensidade da força de atração entre duas massas $m_1$ e $m_2$ separadas por uma distância $d$, indicando o significado de cada símbolo, inclusive o da constante $G$.
Duas esferas de massas $m_1 = 4{,}0\ \text{kg}$ e $m_2 = 6{,}0\ \text{kg}$ têm os centros separados por $d = 2{,}0\ \text{m}$. Considerando…
Duas esferas de massas $m_1 = 4{,}0\ \text{kg}$ e $m_2 = 6{,}0\ \text{kg}$ têm os centros separados por $d = 2{,}0\ \text{m}$. Considerando $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, calcule a intensidade da força gravitacional que uma esfera exerce sobre a outra.
Como a força varia: proporcionalidade
Você não precisa de calculadora para saber como $F$ muda. Basta ver como cada grandeza aparece na fórmula:
-
$F$ é diretamente proporcional a cada massa: dobrar uma massa dobra $F$.
-
$F$ é inversamente proporcional ao quadrado de $d$: dobrar $d$ divide $F$ por $4$; triplicar $d$ divide por $9$; reduzir $d$ à metade multiplica $F$ por $4$.
| O que acontece | Efeito em $F$ |
|---|---|
| $d$ dobra | $F/4$ |
| $d$ cai à metade | $4F$ |
| uma massa triplica | $3F$ |
| as duas massas dobram | $4F$ |
Dois corpos se atraem com uma força gravitacional de intensidade $F$. Responda, justificando com a expressão da lei de Newton, o que acontece com a intensidade da força…
Dois corpos se atraem com uma força gravitacional de intensidade $F$. Responda, justificando com a expressão da lei de Newton, o que acontece com a intensidade da força nas situações abaixo, tomando cada uma separadamente a partir da situação inicial:
- a) a distância entre os corpos é dobrada;
- b) a massa de um dos corpos é triplicada;
- c) a distância é reduzida à metade e as duas massas são dobradas.
Peso e aceleração da gravidade
Um corpo de massa $m$ na superfície de um planeta de massa $M$ e raio $R$ sofre a atração gravitacional $F = G\dfrac{Mm}{R^2}$. Essa força é o peso, $P = mg$. Igualando:
$$mg = G\frac{Mm}{R^2}\quad\Rightarrow\quad g = \frac{GM}{R^2}$$A massa $m$ do corpo "some" da expressão: por isso todos os corpos caem com a mesma aceleração (sem resistência do ar). O valor de $g$ depende só do planeta, e diminui com o quadrado da distância ao centro dele.
A Terra tem massa $M = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e raio $R = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Use $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. a) Calcule…
A Terra tem massa $M = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e raio $R = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Use $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
- a) Calcule a intensidade da força gravitacional que a Terra exerce sobre a Júlia, de massa $50\ \text{kg}$, que está na superfície.
- b) A partir desse resultado, determine a aceleração da gravidade na superfície terrestre e comente se o valor obtido é coerente com $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$.
As leis de Kepler
Antes de Newton, Johannes Kepler analisou observações de Marte e descobriu três regularidades nos movimentos dos planetas. Newton mostrou depois que elas decorrem da gravitação.
Pela 2ª lei, para varrer a mesma área no mesmo tempo, o planeta precisa ser mais rápido quando está perto do Sol (periélio) e mais lento quando está longe (afélio). A força gravitacional é maior perto do Sol, e ela acelera o planeta nessa região.
A 3ª lei permite comparar planetas: com $T$ em anos e $r$ em unidades astronômicas (raio médio da órbita da Terra), $T^2 = r^3$ para o Sol.
Enuncie a Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas) e a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas). Em seguida, diga em que ponto da órbita elíptica de um planeta ao redor do…
Enuncie a Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas) e a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas). Em seguida, diga em que ponto da órbita elíptica de um planeta ao redor do Sol a velocidade do planeta é maior: no periélio ou no afélio.
A Terceira Lei de Kepler afirma que $T^2 / r^3$ é constante para os planetas que orbitam o Sol, em que $T$ é o período e $r$ o raio médio da órbita. Considere que um…
A Terceira Lei de Kepler afirma que $T^2 / r^3$ é constante para os planetas que orbitam o Sol, em que $T$ é o período e $r$ o raio médio da órbita. Considere que um planeta hipotético orbita o Sol com raio médio igual a 4 vezes o raio médio da órbita da Terra.
- a) Determine o período desse planeta, em anos terrestres.
- b) Explique por que esse planeta se move, em média, mais lentamente que a Terra.
Satélites e órbitas circulares
Um satélite em órbita circular de raio $r$ em torno de um planeta de massa $M$ está em queda livre: ele cai o tempo todo, mas com velocidade lateral tão grande que "erra" o planeta. A única força relevante é a gravitacional, e ela faz o papel de resultante centrípeta:
$$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$O período é o tempo de uma volta, $T = \dfrac{2\pi r}{v}$. Elevando ao quadrado e substituindo $v^2 = GM/r$:
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$$Esse resultado é a 3ª lei de Kepler, agora com a constante $\dfrac{4\pi^2}{GM}$ explícita: ela depende só da massa $M$ do astro central.
Note que a massa $m$ do satélite cancela nas contas. Um satélite pequeno e uma estação espacial na mesma órbita têm a mesma velocidade e o mesmo período. Quanto maior o raio, menor a velocidade e maior o período.
Um caso importante é o satélite geoestacionário, usado em TV e telecomunicações. Ele tem período de 24 h, igual ao de rotação da Terra, e órbita sobre o equador. Visto do solo, ele parece parado, por exemplo, sobre Fortaleza.
Um satélite artificial de massa $m$ descreve uma órbita circular de raio $r$ em torno de um planeta de massa $M$. Considere que a força gravitacional é a resultante…
Um satélite artificial de massa $m$ descreve uma órbita circular de raio $r$ em torno de um planeta de massa $M$. Considere que a força gravitacional é a resultante centrípeta.
- a) Mostre que a velocidade orbital do satélite é $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
- b) Mostre que o período satisfaz $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\, r^3$, relacionando esse resultado com a Terceira Lei de Kepler.
- c) Explique por que a velocidade e o período não dependem da massa $m$ do satélite.
Um satélite de comunicações em órbita circular ao redor da Terra permanece sempre sobre o mesmo ponto do equador, sobre Fortaleza, por exemplo, o que significa que seu…
Um satélite de comunicações em órbita circular ao redor da Terra permanece sempre sobre o mesmo ponto do equador, sobre Fortaleza, por exemplo, o que significa que seu período é de 24 h ($T = 8{,}64 \times 10^{4}\ \text{s}$). Dados: $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, massa da Terra $M = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e raio da Terra $R = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Considere $\pi^2 \approx 10$ e $\sqrt[3]{x}$ obtida com calculadora.
- a) Determine o raio da órbita desse satélite e a sua altitude em relação à superfície da Terra.
- b) Calcule a velocidade orbital do satélite.
- c) Um segundo satélite, de massa maior, é colocado na mesma órbita. Argumente se o período dele seria igual ou diferente do primeiro, justificando com as relações da gravitação.
Resumo
Voltando ao começo: o satélite não escapa em linha reta nem cai no chão porque a gravidade o puxa continuamente para o centro da Terra, funcionando como força centrípeta de uma órbita circular.